Gymnázium, Havířov -Město, Komenského 2, p.o .

1. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. IV/2-2-2-03MATEMATICKÁ INDUKCE Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne 4. 9. 2013 • Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“

2. Metody důkazů • V matematice existuje mnoho důkazových metod, např.: • přímý či nepřímý důkaz • důkaz sporem • důkaz indukcí • důkaz geometrický • důkaz výpočtem • V souvislosti s dokazováním vět a tvrzení platných pro všechna přirozená čísla nejčastěji používáme metodu matematické indukce. Matematická indukce2

3. Matematická indukce Matematická indukce je věta. Nechť V(n) je výroková forma proměnné n  N. (p(V(1) = 1)  (k  N:p(V(k)) = 1 p(V(k + 1)) = 1)  n  N: p(V(n)) = 1.   Matematická indukce3

4. Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 1. krok (p(V(1) = 1) tzn. dokážeme, že V(n) platí pro n = 1 V(1) platí n = 1 1 < 21 1 < 2 Matematická indukce4

5. Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 2. krok (k  N:p(V(k)) = 1 p(V(k + 1)) = 1) tedy dokážeme, že pro každé k  N platí: platí-liV(k), pak platí V(k + 1) k < 2k k + 1 < 2k + 1   k + 1 < 2k + 1 k < 2k < 2k + 2k = 2 × 2k = 2k + 1 k + 1 < 2k + 1 Matematická indukce5

6. Struktura důkazu MI Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí n < 2n. 3. krok n  N: p(V(n)) = 1. Podle věty o matematické indukci je tvrzení pravdivé pro každé přirozené číslo n. n < 2n cbd Matematická indukce6

7. Úlohy Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí 1 + 3 + 5+ ... + (2n – 1) = n2. n = 1  1 = 12  platí  kN: 1 + 3 + ... + (2k – 1) = k2  1 + 3 + ... + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 3.  nN: 1 + 3 + 5+ ... + (2n – 1) = n2 Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí 2n(n + 1). n = 1  21(1 + 1)  platí  kN: 2k(k + 1)  2(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) = k2 + 3k + 2 = k(k + 1) + 2(k + 1) = 2k´ + 2(k + 1) = 2(k´ + k + 1) 3.  nN: 2n(n + 1) Matematická indukce7

8. Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií.1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997. VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-719-6221-X. • Matematická indukce

9. soubor prezentací MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. • Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“