Probabilité d’un événement E  S

1. Rappel probabilité : Définition classique Probabilité d’un événement E  S Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, on appelle probabilité d’un événement E, le nombre réel noté P(E) et défini par :

2. Rappel Probabilités : Règles de calcul Soient E et F deux événements relatifs à la même expérience aléatoire, nous avons: • P(E’) = P(Ec) =1 – P(E) • P() = 0 • P(S)=1 • Si E  F alors P(E)  P(F) • 0  P(E) 1 • P(E  F) = P(E) - P(E  Fc) = P(F) - P(F  Ec) • P(E  F) = P(E) + P(F) - P(E  F)(règle d’addition ou calcul des probabilités totales) • Lois de Morgan: • P((A  B)c)= P(Ac  Bc) • P((AB)c)= P(Ac  Bc)

3. Rappel Probabilité conditionnelle Si A est un événement associé à une expérience aléatoire et B un événement de probabilité non nulle associé à la même expérience aléatoire, alors la probabilité de réalisation de A lorsque B est réalisé s’appelle la probabilité conditionnelle de A sachant B et l’on note :

4. Rappel Probabilité conditionnelle • Formule des probabilités composées: • Formule de multiplication des probabilités: • Formule des probabilités totales: • Formule de Bayes:

5. Question 1 Une P.M.E. compte 100 employés, dont 60 sont des hommes. Un total de dix (10) de ces employés sont considérés comme des cadres. Le président de l'entreprise croit beaucoup au principe d'équité en matière d'emploi, et ainsi « être un employé de sexe masculin » et « être un employé cadre » sont deux événements indépendants dans cette P.M.E. a) Combien y a-t-il de cadres féminins dans la P.M.E. ? b) Le président doit choisir trois cadres pour participer à une conférence. S'il fait son choix aléatoirement, quelle est la probabilité qu'au moins une femme participe à la conférence ? c) Le président croise un employé masculin en quittant le bureau le vendredi soir, quelle est la probabilité que ce soit un cadre ? d) Le président doit congédier un des employés à sa disposition. Il choisira cette personne parmi les employés non-cadres. Toujours dans une optique d'équité d'emploi, il choisira ce nouveau chômeur au hasard. Quelle est la probabilité de choisir un homme ?

6. Question 2 La communauté urbaine de Québec (CUQ) envisage différents scénarios pour le plan de relance du transport en commun (STCUQ). Entre autres, la possibilité de mise en place d'un tramway électrique a fait la manchette durant les dernières semaines. Voici les trois seuls projets retenus en conseil d'administration au sujet de la relance de la STCUQ : PROJET A : Coût : 35 millions Échéance: juin 2002 Objectifs: Rajeunir la flotte d'autobus, Améliorer les parcours existants et en ajouter des nouveaux, Augmenter la fréquence sur tous les parcours. PROJET B : Coût : 120 millions Échéance: juin 2005 Objectifs: Acheter 50 tramways, Installer une ligne de tramway dans l'axe Québec–Sainte-Foy. PROJET C : Coût : 250 millions Échéance: juin 2007 Objectifs: Acheter 100 tramways, Installer une ligne de tramway dans l'axe Québec–Sainte-Foy, Installer une ligne de tramway dans l'axe Québec–Beauport, Installer une ligne de tramway dans l'axe Québec–Charlesbourg,

7. Question 2 … Le responsable du dossier à la CUQ estime à 80 % la probabilité qu'un des deux projets de tramways soit retenu. Il estime également que le projet C a trois fois moins de chances de se réaliser que le projet B, qui est nettement moins ambitieux. La compagnie Volvo est très intéressée par la construction et la mise en place d’un éventuel tramway dans la région de Québec. Son seul concurrent sérieux pour ce contrat est Bombardier, qui possède l’avantage d’être une compagnie québécoise. Pour palier à cette lacune, Volvo envisage d’implanter son siège social canadien à Québec, mais elle ne prendra cette décision qu’après le choix d’un projet par le conseil d’administration de la CUQ. Si le projet B est choisi, Volvo construira son siège social canadien à Québec avec quasi-certitude (90 %). Si le projet C est choisi, les dirigeants seront un peu plus hésitants à implanter (70 %). Globalement, les chances que Québec obtienne le siège social sont de 75 %. • Trouver la probabilité de réalisation de chacun des trois projets A, B et C. • Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de tramway à Beauport ? • Quelle est la probabilité que Volvo n’implante pas son siège social à Québec si le projet A est retenu ? (Avec arbre de probabilité) • Si le projet C n’est pas celui qui est choisi, quelle est la probabilité de quand même obtenir le siège social de Volvo à Québec ? • Quelle est la probabilité du meilleur scénario combiné possible pour la région, soit le projet C et l’implantation du siège social canadien de Volvo ?

8. Question 3 Le service des commandes d'une entreprise reçoit par télécopieur une moyenne de 12 commandes prépayés par jour pour un certain produit se vendant 50 $. Une seule personne est affectée à la tâche (8 heures par jour) afin de remplir ces commandes et d'expédier le produit par la poste. On dénote par N le nombre de commandes reçues par l'entreprise en une journée et par X la période de temps entre deux arrivées consécutives de commandes. • Quel est l'écart type du nombre de commandes reçues en une semaine de 5 jours ? • Quelle est la probabilité de recevoir 68 commandes et plus en une semaine de 5 jours ? (trouver juste la loi de proba) • Quelle est la probabilité de recevoir aucune commande durant deux heures? • Quelle est la probabilité que les commandes d'une journée totalisent 750 $ ou plus ?

9. Question 4 Un jeu est dit équitable quand l'espérance mathématique du gain est au moins égale à la mise. a) Soit le jeu consistant à prévoir le résultat d'un lancer d'un dé. Si le gain est de 4 $ et la mise de 1 $, ce jeu est-il équitable ? Justifiez votre réponse. b) Supposons que la mise est toujours de 1 $ mais que le gain est de k $. Pour quelles valeurs de k le jeu est-il équitable ? Justifiez votre réponse.