1 / 18

ARTIFICIAL VARIABLES

ARTIFICIAL VARIABLES.

hewitt
Download Presentation

ARTIFICIAL VARIABLES

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ARTIFICIAL VARIABLES Jika kendala dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan ≥, maka digunakan artificial variables untuk mendapatkan basis awal. Variabel ini sifatnya hanya sementara dan bukan menjadi bagian dari solusi akhir. Tidak semua menggunakan artificial variables, kendala dengan slack variables tidak perlu.

  2. Contoh Maksimalkan : Z = X1 + 3X2 Kendala : 1. 2X1 – X2 ≤ -1 2. X1 + X2 = 3 X1, X2 ≥ 0 Kendala 1 kalikan -1, diperoleh : -2X1 + X2 ≥ 1 Tambahkan surplus variable : -2X1 + X2 – S1 = 1 Kedua kendala memiliki bentuk standar tetapi tidak memiliki solusi awal yang jelas seperti pada kendala dengan slack variable. Sehingga ditambahkan artificial variables R1 dan R2 : -2X1 + X2 – S1 + R1 = 1 X1 + X2 + R2 = 3 dimana X1, X2, S1, R1, R2 ≥ 0

  3. Selain Big-M, untuk menyelesaikan masalah LP yang memiliki artificial variables dapat digunakan metode simplex two-phase. Sebelum melakukan komputasi, harus dipastikan apakah feasible solution ada, dengan artificial variables = 0. Caranya : Pertama, gunakan metode simplex untuk menyelesaikan masalah meminimalkan jumlah dr artificial variables. Jika = 0, berarti ada solusi. Tetapi jika jumlahnya tidak = 0, berarti kendala tidak dapat dipenuhi. Kemudian gunakan solusi akhir sebagai solusi awal untuk masalah yang sebenarnya.

  4. 2 fase dari metode ini adalah sbb : Fase 1 : Susun sebuah fungsi objektif baru yang memuat jumlah dari artificial variable. Gunakan metode simplex untuk meminimalkan fungsi objektif yang memenuhi kendala.Jika artificial objective function dapat direduksi menjadi 0, maka setiap (non-negative) artificial variables akan =0. Dalam kasus ini, semua kendala pada permasalahan awal dipenuhi, maka dapat dilanjutkan fase 2. Sebaliknya, berarti infeasible. Fase 2 :Gunakan basic feasible solution dari fase 1 (abaikan artificial variables) sebagai solusi awal untuk permasalahan dengan fungsi objektif yang sebenarnya. Gunakan metode simplex biasa untuk mendapatkan solusi optimal

  5. Maksimalkan : Z = X1 + 3X2 Kendala : -2X1 + X2 – S1 + R1 = 1 X1 + X2 + R2 = 3 Soal pada hal 2 : Minimalkan : ZR = R1 + R2 , ekivalen dengan Maksimalkan : ZR = -R1 - R2 ZR + R1 + R2 = 0 Fase 1 :

  6. Lakukan row operation untuk mendapatkan basis awal (yaitu zero coefficient untuk R1 dan R2) Lakukan metode simplex sebanyak 2 iterasi.Iterasi 1 :

  7. Iterasi 2 : Hasil tersebut merupakan solusi optimal dari fase 1, dimana R1, R2 = 0 dan non-basic

  8. Fase 2 : Artificial variables dihilangkan, fungsi objektif kembali pada nilai sebenarnya Lakukan row operation untuk mendapatkan baris fungsi objektif yang tepat.

  9. Lakukan metode simplex, 1 kali iterasi Dari tabel di atas dihasilkan : titik optimal X1=0 dan X2=3 dengan Z=9.Bandingkan dengan metode grafik…Feasible region pada garis X1+X2=3, antara titik (0,3) dan (2/3 , 7/3). Pada fase 1, diperoleh solusi feasible awal pada titik (2/3 , 7/3). Sedang pada fase 2 diperoleh solusi optimal pada (0,3)

  10. Multiple Optimal Solution Karakteristik seperti ini tampak pada algoritma simplex step kedua yaitu jika pada baris fungsi objektif, terdapat non-basic variable yang bernilai 0. Non-basic variable tsb dapat masuk pada basis tanpa mengubah nilai pada fungsi objektif. Dengan kata lain, ada 2 extreme point yang bersebelahan yang memiliki nilai Z yang sama. Contoh : Maksimalkan : Z = X1 + 2X2 Kendala 1. –X1 + X2 ≤ 2 2. X1 + 2X2≤ 8 3. x1 ≤ 6 X1,X2 ≥ 0

  11. Pada tabel diperoleh X1=4/3 , X2=10/3 , Z=8S3 adalah basic variable, sehingga kendala 3 not binding. Solusi ini optimal karena semua elemen top row adalah non-negative. Nol pada top row non basic variable S1 memberikan tanda bahwa problem ini memiliki multiple optimal solution.

  12. Jika kita melakukan operasi pivot yang lain (dengan menempatkan S1 ke basis dan S3 meninggalkan basis), maka diperoleh tabel berikut Dari tabel di atas diperoleh X1=6 , X2= 1 , Z=8Dimana S1 basis dan konsekuensinya kendala 1 not binding.

  13. No OptimalSolution Maksimalkan : Z = 5X1 + 6X2 Kendala 1. –X1 + X2 ≤ 2 2. X2 ≤ 10 Ubounded region ditunjukkan oleh tidak adanya elemen positif pada kolom X1.

  14. Degenerate Solution Dikatakan degenerate jika 1 atau lebih basic variable mempunyai nilai nol. Timbulnya degenerate solution mengindikasikan formulasi memuat paling sedikit 1 kendala yang redundant. Maksimalkan : Z = 3x1 + 2X2 Kendala X1 ≤ 3 2X1 + X2 ≤ 6 X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 3 Gambarkan grafiknya…

  15. X1 ≤ 3 redundant, karena X1 + X2 ≤ 3 memastikan bahwa X1 ≤ 3. Demikian juga, 2X1 + X2 ≤ 6 redundant θ1=θ2=θ4=3 Jika dipilih S1 meninggalkan basis, maka diperoleh tabel berikut

  16. Variabel basis S2 dan S4 mempunyai nilai nol. Solusi ini menunjukkan sebuah titik dimana 3 kendala yang redundan, kendala 1, 2, 4.

  17. Kemudian, x2 sebagai kolom pivot, dapat dipilih S2 atau S4 yang meninggalkan basis.

More Related