Actuariat Assurance PwC Eric Demerlé Jean-Paul Félix

1. Méthodes d'évaluation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros. Enjeux du futur passage aux normes IFRS Actuariat Assurance PwC Eric Demerlé Jean-Paul Félix

2. Sommaire de la présentation • Point sur le projet de Normes IFRS en Assurance Vie NB- Ce résumé est antérieur au meeting de l'IAS Board de février 2003 • Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros

3. Point sur le projet de Normes IFRS en Assurance Vie

4. 1- Point sur le projet de Normes IFRS en Assurance Vie Plan de la première partie • Calendrier • Définition du contrat d'assurance • Contenu des phases I et II • Traitements des actifs • Contrats d'assurance et contrats d'investissement en phase I • Dérivés incorporés

5. 1- Calendrier de mise en place de la norme IFRS Assurance ED (Exposure Draft) Projet de norme soumis à discussion - appelé exposé-sondage.

6. 2- Définition d'un contrat "d'assurance" Principe 1.2 du DSOP Un contrat d'assurance est un contrat par lequel : - une partie (l'assureur) accepte un risque d'assurance en s'engageant vis-à-vis d'une autre partie (le souscripteur) à indemniser le souscripteur ou un autre bénéficiaire en cas de survenance future d'un événement aléatoire précis (l'événement assuré) qui affecte défavorablement le souscripteur ou un autre bénéficiaire, -dès lors que cet événement assuré ne consiste pas en un changement d'un taux d'intérêt, du prix d'un titre, du prix d'une marchandise, d'un cours de change, d'un indice de prix ou de cours, d'une notation de crédit ou d'un indice de crédit, ou de toute autre variable analogue spécifiée.

7. 2- Mesure du risque d'assurance • L'incertitude doit porter sur : • la survenance de l'événement assuré • la date de survenance • le montant payé par l'assureur • Prendre en compte la probabilité et le montant • Le risque est suffisant si : • il cause une variation significative de la valeur présente des flux de trésorerie de l'assureur dans au moins un scénario plausible • cet effet est apprécié contrat par contrat • un contrat d'assurance reste dans cette catégorie même si le risque vient à disparaitre, mais non l'inverse

8. 3- Traitement des contrats d'assurance • Phase I • Les contrats "d'assurance" ne seront pas soumis aux normes IFRS • Interdiction de constituer des provisions pour égalisation, obligation de procéder à des tests de dépréciation, mais possibilité de continuer à différer des coûts d'acquisition • Informations détaillées à fournir en annexe sur l'évaluation en fair value des actifs et des passifs, et sur la maîtrise des risques assurance (sinistralité, rachat, coûts) et financiers (taux, crédit) • Les contrats d'investissement avec participation aux bénéfices non discétionnaire et ceux en UC sans garantie plancher seront soumis à l'IAS 39 • Reflexion en cours pour les contrats d'investissement avec participation aux bénéfices discrétionnaire et les contrats UC avec garantie plancher • Phase II • Les contrats "d'assurance" devront être évalués en juste valeur, selon les principes du DSOP • Incertitude sur les contrats d'investissement avec participation aux bénéfices discrétionnaire et les contrats en UC avec garantie plancher

9. 4- Traitement des actifs Norme principale : IAS 39, s'appliquant dès 2005 (1) + Test de dépréciation

10. CONTRATS D'INVESTISSEMENT IAS 39 CONTRATS COMMERCIALISES PAR LES ENTREPRISES D'ASSURANCE CONTRATS D'ASSURANCE Définition DSOP Classification 5- Situation en 2005 sur la base des discussionsen cours

11. CONTRATS D'INVESTISSEMENT IAS 39 CONTRATS COMMERCIALISES PAR LES ENTREPRISES D'ASSURANCE CONTRATS D'ASSURANCE Définition DSOP NORMES LOCALES Classification Méthode d'évaluation 5- Situation en 2005 sur la base des discussionsen cours

12. CONTRATS D'INVESTISSEMENT IAS 39 CONTRATS COMMERCIALISES PAR LES ENTREPRISES D'ASSURANCE JUSTE VALEUR COMPOSANTE FINANCIERE Définition DSOP COMPOSANTE ASSURANCE DERIVES INCORPORES Classification Décomposition NORMES LOCALES Reclassement Méthode d'évaluation 5- Situation en 2005 sur la base des discussionsen cours

13. COUT AMORTI CONTRATS D'INVESTISSEMENT DERIVES INCORPORES IAS 39 CONTRATS COMMERCIALISES PAR LES ENTREPRISES D'ASSURANCE JUSTE VALEUR COMPOSANTE FINANCIERE Définition DSOP COMPOSANTE ASSURANCE DERIVES INCORPORES NORMES LOCALES 5- Situation en 2005 sur la base des discussionsen cours Classification Décomposition Reclassement Méthode d'évaluation Option prévue dans l'Exposure Draft

14. ACTIF PASSIF PLUS OU MOINS VALUES RESERVES DISPONIBLES A LA VENTE RESULTAT PLUS OU MOINS VALUES CONTRATS D'INVESTISSEMENT Option coût amorti DETENUS A DES FINS DE TRANSACTION CONTRATS D'ASSURANCE Normes locales DETENUS JUSQU 'À L'ECHEANCE 5- Situation en 2005 : option coût amorti surles passifs (contrats d'investissement)

15. ACTIF PASSIF PLUS OU MOINS VALUES RESERVES DISPONIBLES A LA VENTE RESULTAT PLUS OU MOINS VALUES CONTRATS D'INVESTISSEMENT Option coût amorti DETENUS A DES FINS DE TRANSACTION CONTRATS D'ASSURANCE Entity Specific Value DETENUS JUSQU 'À L'ECHEANCE 5- Situation en 2007 : application des règles du DSOP et maintien des principes appliqués en 2005

16. ACTIF PASSIF PLUS OU MOINS VALUES DISPONIBLES A LA VENTE RESERVES RESULTAT PLUS OU MOINS VALUES DETENUS A DES FINS DE TRANSACTION CONTRATS D'INVESTISSEMENT Option Juste Valeur CONTRATS D'ASSURANCE Entity Specific Value DETENUS JUSQU 'À L'ECHEANCE 5- Situation en 2007 : sera-t'il possible de revenirsur les principes retenus en 2005 ?

17. 6- Définition d'un dérivé selon l'IAS 39 Un dérivé est un instrument financier : • dont la valeur fluctue en fonction de l'évolution d'un taux d'intérêt, du prix d’un titre, du prix d'une marchandise, d'un cours de change, d'un indice de prix ou de cours, d'une notation de crédit ou d'un indice de crédit, ou de toute autre variable analogue spécifiée (parfois appelée le "sous-jacent"); • qui ne requiert aucun placement net initial ou un placement net initial faible par rapport à d'autres types de contrats réagissant de manière similaire aux évolutions des conditions du marché; et • qui est dénoué à une date future. (IAS 39.10)

18. 6- Dérivés incorporés dans les contrats d'assurance Modification proposée de l'IAS 39 Un dérivé incorporé dans un contrat d'assurance est étroitement lié au contrat hôte si et seulement si le règlement intervient à la survenance d'un événement assuré déterminé et qu'il n'y a pas d'effet mutiplicatif (Novembre 2002 Update). Par exemple, une garantie décès qui serait un dérivé et qui ne serait versée à l'assuré qu'en cas de décès est étroitement liée au contrat hôte. A contrario, une garantie de rachat ou à maturité qui serait indexée sur le prix d'une action ou un indice n'est pas étroitement liée au contrat hôte.

19. 6- Notion de dérivé étroitement lié(source: document de travail du staff, octobre 2002) • Le dérivé incorporé est étroitement lié au contrat hôte: Si les caractéristiques du dérivé incorporé sont de même nature que celles du contrat hôte (déclenchement du paiement en fonction de la survenance de l’événement assuré ou option de taux de type cap ou floor) Sauf si le dérivé contient un effet multiplicatif ou si le dérivé est dans la monnaie dès l’origine. • Le dérivé incorporé n'est pas étroitement lié au contrat hôte: Si les caractéristiques du dérivé incorporé sont de natures différentes de celles du contrat hôte (par exemple dérivé action) Sauf si le coût amorti ou la valeur comptable du contrat est proche du prix d’exercice de l’option. Toutefois, point encore en discussion concernant l'option de rachat

20. 6- Séparation Dérivés / Contrats hôtes (arbre de décision restant à confirmer) Est-ce un contrat d'assurance ? Oui Non Oui Le composant incorporé remplit-il la définition d'un contrat d'assurance ? Non Oui Le contrat hôte est-il évalué en juste valeur par le résultat ? Le contrat hôte est-il évalué en juste valeur par le résultat ? Oui Non Non N E P A S S E P A R E R N E P A S S E P A R E R Non Le composant incorporé répond-il à la définition d'un dérivé ? Le composant incorporé répond-il à la définition d'un dérivé ? Non Oui Oui Est-ce une option de racheter le contrat à un montant fixé (ou lié à un taux d'intérêt) ? Oui Non Oui Le dérivé incorporé est-il étroitement lié ? Le dérivé incorporé est-il étroitement lié ? Oui Ex : garanties de taux, cap ou floor sans effet multiplicatif. Non S E P A R E R Non

21. 2 -Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros

22. 2 -Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros • Introduction : Finalités et Méthodes • Premier modèle : Taux et Swaption • Deuxième modèle : Approche Binomiale

23. 2- Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros • Introduction : Finalités et Méthodes • Premier modèle : Taux et Swaption • Deuxième modèle : Approche Binomiale

24. Introduction : Finalités de l'analyse Les garanties des principaux contrats d'épargne vendus par les assureurs vie français : Garantie de taux minimal de revalorisation; Garantie de participation aux résultats technique et financier; Garantie de remboursement avant terme de l'épargne constituée (rachat); Garantie de remboursement minimum des contrats en UC (plancher) Ces garanties sont fortement liées à l'évolutiondes marchés financiers, mais leur évaluation est complexe. Les pratiques comptables en vigueur n'obligent pas les assureurs à valoriser ces engagements au bilan, Le passage aux futures normes IFRS va conduire à les évaluer à partir de 2005, et à les comptabiliser à partir de 2007.

25. Introduction : Méthodes d'évaluation  L'évaluation des options liées aux participations aux bénéfices dépend de la valeur future des contrats participatifs et donc de la rentabilité des actifs adossés.  L'évaluation de ces options nécessite de tenir compte de la multiplicité des scénarii financiers susceptibles d'advenir  Cela passe par l'utilisation de modèles stochastiques.Trois approches sont généralement utilisées : Modèle ALM stochastique permettant d'obtenir une valeur moyenne de la VAN du passif sur l'ensemble des scénarii; Méthode mathématique qui repose sur la résolution d'équations différentielles complexes;  Méthode basée sur la théorie d'évaluation des options (Black & Scholes, Cox Ross & Rubinstein,...) Cette dernière approche est celle retenue pour cette présentation.

26. Introduction : Difficultés d'évaluation Spécificités des options incluses dans les contrats d'assurance vie • Non négociables, prix non observables • Valeur pour l'assuré =? valeur pour l'assureur • Options américaines • Durée longue • Actif sous-jacent composite non standard, volatilité ? • Lien actif/passif "élastique", politique de PB ? • Prix d'exercice évolutif • Comportement des souscripteurs rationnel ?  Interrogations sur les conditions d'application de l'approche risque neutre (marché complet, absence d'opportunité d'arbitrage)  Performance de l'actif exprimée en valeur de marché alors que réalité =rendement historique + plus values lorsque existantes et nécessaires

27. Introduction : 2 modèles d'évaluation Deux modèles de valorisation des options attachées aux contrats d'assurance vie vont être abordés : Option de participation aux bénéfices avec taux minimum Ce 1er modèle simplifié considère un actif 100% obligataire et valorise uniquement l'option de participation aux bénéfices comme une swaption. Option de rachat Ce 2ème modèle plus complexe simule l'évolution stochastique d'un actif à partir d'un arbre binomial afin de valoriser les options de participation et de rachat attachées au passif.

28. 2- Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros • Introduction : Finalité de l'analyse • Premier modèle : Taux et Swaption • Deuxième modèle : Approche Binomiale

29. Description du modèle simplifié  Le passif est composé d'un contrat d'épargne en euros à primes périodiques avec clause de participation aux bénéfices. L'épargne des assurés (y/c les produits des placements) est investie en obligations à taux fixe in fine de maturité l'échéance du contrat.  La structure à terme des taux d'intérêt est celle de la courbe des taux zéro-coupons, et permet d'actualiser les cash-flows d'une période donnée à ces conditions de marché. Premier modèle : Taux et Swaption

30. Premier modèle : Taux et Swaption Méthodologie Elle consiste à déterminer la juste valeur de la police d'assurance en utilisant un portefeuille répliquant (i.e. considérer des instruments financiers qui répliquent exactement les cash-flows de la police). Mécanisme de PB et ses implications L'assureur améliore chaque année l'intérêt de base des assurés (TMG) en leur attribuant une proportion du rendement excédentaire réalisé sur ses investissements.  Cela passe par la modélisation des investissements futurs qui seront effectivement réalisés (calcul des coupons des futures obligations dit taux coupons forward).  Le schéma de payoff correspond alors à celui d'une swaption (option call sur un swap de taux, le taux fixe étant le TMG).

31. Premier modèle : Taux et Swaption Hypothèses simplificatrices  Les différents frais ne sont pas modélisés;  Les prestations se limitent au remboursement de l'épargne à l'échéance (pas de rachats ni de prestations décès);  Les liquidités sont supposées investies en obligations à taux fixe égal au taux minimum garanti (TMG). Les caractéristiques du contrat modélisé sont les suivantes :  Primes périodiques annuelles constantes : 10 000€;  Échéance : 10 ans;  Taux minimum de revalorisation de l'épargne (TMG) : 4%;  Taux de participation aux bénéfices : 100%, ou 90%.  Le tableau ci-après présente les résultats obtenus

32. Premier modèle : Taux et Swaption • La colonne "Notionnel" présente les montants garantis chaque année (primes et produits des placements investis au TMG). La colonne "Cp Frd" présente les taux forward, entièrement déterminés par la structure des taux d'intérêt. • Les colonnes "Projection" et "Swaption" présentent les valeurs l'option de PB en mode déterministe et stochastique.

33. Premier modèle : Taux et Swaption Commentaires Une police qui reverserait 100% de l'excédent de rendement à l'assuré correspond à un instrument financier qui verserait la totalité du rendement des placements avec un rendement minimum de 4%. En mode stochastique, la valorisation tient compte de la possibilité d'investir les liquidités à des taux obligataires différents du TMG. Reverser tout l'excès de rendement (PB 100%) empêche l'assureur de constituer des réserves pour les années défavorables ce qui le mettra "statistiquement" en perte. Analyse de sensibilité Nous avons fait varier le taux de placement entre 2% et 6% pour des taux de PB de 100% et 90%.  Nous obtenons les résultats ci-après.

34. Premier modèle : Taux et Swaption L'assureur ne peut espérer de gain que si les taux de placement sont supérieurs au TMG. La valorisation de l'option de PB en mode stochastique donne des montants supérieurs (en valeur absolue) à ceux obtenus en mode déterministe.

35. 2- Valorisation des options contenues dans les contrats d'épargne en euros • Introduction : Finalité de l'analyse • Premier modèle : Taux et Swaption • Deuxième modèle : Approche Binomiale

36. Deuxième modèle : Approche Binomiale  L'étude porte sur un contrat d'assurance vie de type mixte de durée T années à prime unique, avec un taux d'intérêt précompté et une clause de PB , correspondant à un produit commercialisé sur le marché italien.  Les prestations en cas de décès sont réajustées chaque année en fonction de la performance du portefeuille d'investissement;  Les valeurs de rachat sont calculées soit en fonction de la valeur des prestations en cas de décès, soit en pourcentage des PM (cas retenu). L'approche présentée repose sur une publication de recherche de l'université de Trieste (Italie). Sa transposition à des contrats d'assurance vie français ne poserait pas de difficultés particulières.

37. Deuxième modèle : Approche Binomiale Spécificités de l'approche  Dans un cadre risque-neutre de type Black & Scholes, nous exprimons la juste valeur de l'option de PB sous forme de plusieurs call de maturité un an.  Ensuite, nous assimilons l'option de rachat attachée au contrat à un put de type américain, donnant le droit à l'assuré de demander à tout moment le remboursement de son épargne. Principe de l'évaluation par étapes  Estimer la juste valeur du contrat basique UB, valeur actuelle probable des prestations avant PB  Estimer la juste valeur du contrat sans option de rachat UP, valeur actuelle probable des prestations futures revalorisées  Estimer la juste valeur globale du contrat UG, valeur actuelle probable des valeurs du contrat qui correspond au maximum entre valeur de rachat et valeur de continuité de chaque année.

38. Deuxième modèle : Approche Binomiale Hypothèses de modélisation Les marchés financiers et d'assurances sont parfaitement compétitifs, sans taxes ni coûts de transaction et répondent à la propriété d'A.O.A (garantissant l'existence de la probabilité risque-neutre);  Les agents sont rationnels et possèdent la même information. Modélisation des actifs Les actifs sont modélisés à l'aide du modèle de Cox, Ross & Rubinstein, ce qui va permettre de calculer la valeur globale par un algorithme récursif inverse.

39. Deuxième modèle : Approche Binomiale Rappel sur le modèle de Cox, Ross & Rubinstein (1/3)  On suppose que le prix du sous-jacent de l'option à une date t donnée peut soit monter ("up"), soit descendre ("down").  L'approche consiste à trouver une approximation de la distribution terminale du prix du sous-jacent, à la maturité de l'option.  À chaque nœud de l'arbre, la valeur de l'option est déduite par des arguments d'arbitrage, car on peut dupliquer le payoff de l'option en combinant actifs risqués et actif sans risque.  L'évaluation de l'option en t suppose alors de spécifier le nombre N de périodes entre t et T (maturité de l'option).

40. Deuxième modèle : Approche Binomiale Rappel sur le modèle de Cox, Ross & Rubinstein (2/3)  En supposant S, X, r, , T, N donnés, et en sachant qu’en temps discret, «l’hypothèse d’A.O.A est équivalente à l’existence d’une probabilité risque neutre», on peut écrire sous cette probabilité que l’espérance du rendement de l’actif est égale au taux sans risque.  Ce qui nous permet de déterminer la probabilité q à partir des paramètres u et d qui dépendent de la volatilité et du nombre de sous-périodes N :

41. Deuxième modèle : Approche Binomiale Rappel sur le modèle de Cox, Ross & Rubinstein (3/3)  Pour trouver le prix de l’option, nous devons utiliser une procédure récursive inverse : au nœud t, on calcule le prix du call comme une fonction des deux possibilités de sorties à la date t+1.  Par exemple, dans le cas d’une période : Ce qui nous permet d’obtenir le prix de notre call à la date 0, comme étant :

42. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (1/6)  L'évolution stochastique des prestations peut être représentée au moyen d'un arbre (n+1)-nomial, comme décrit sur le schéma suivant :

43. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (2/6)  On obtient donc la juste valeur du contrat participatif sans option de rachat : 1 2 3

44. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (3/6)  Calcul de la juste valeur du contrat global  En partant tout d'abord de la date T-1 On note Vt et Wt les processus stochastiques représentant les justes valeurs du contrat global et de la valeur de continuité au début de l’année t+1 du contrat, on pose alors :  Puis en observant que pour chaque nœud de la date T-1 (si l’assuré est vivant) la valeur de continuité est donnée par :  Dès que la prestation CT est due avec certitude à la date T, nous posons alors :

45. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (4/6)  Liens entre les valeurs (entre t et t+1)

46. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (5/6)  Formulations mathématiques  Valeur de continuité (date t, nœud K) :  Valeur de rachat à la date t (% de la provision mathématique) :  Juste valeur du contrat basique (VAP des engagements de l'assureur)

47. Deuxième modèle : Approche Binomiale Application à notre sujet (6/6) On décompose alors la juste valeur globale (ou prime nette) du contrat en :  Juste valeur sur engagement pur;  Juste valeur de l'option de participation aux bénéfices;  Juste valeur de l'option de rachat.

48. Deuxième modèle : Approche Binomiale Paramètres et résultats des calculs Applications numériques :  C1= 10 000 €  x = 50 ans, âge de l ‘assuré  r = 5%, taux sans risque.  i = 2%, TMG.  = 50%, coefficient de participation.  = 15%, volatilité de l'actif.   = 98,5%, pourcentage appliqué à la PM en cas de rachat. Ces paramètres ont été fixés de telle sorte que la juste valeur globale UG soit très proche deU. U = 9 062 UB = 7 845 UP = 8 940 UG = 9 053 Soit pour la valeur des options de participation P et de rachat S : P = 1 085 S =123

49. Deuxième modèle : Approche Binomiale Exemple d'analyse de sensibilité

50. Références bibliographiques Premier modèle Pieter Bouwknegt, Antoon Pelsser (2001) “Market Value of Insurance Contracts with Profit Sharing” Email : pieter.bouwknegt@nn.nl, antoon.pelsser@nn.nl Deuxième modèle Anna Rita Bacinello (2001) “Fair valuation of the surrender option embedded in a guaranteed life insurance participating policy” Email : bacinel@univ.trieste.it Lien: http://www.univ.trieste.it/~matappl/PDF%20file/147.pdf Autres références Claude A. Methot (Réunion FFA 2001) “Juste Valeur un outil actuariel”