Základy vlnové mechaniky - vlnění

1. Základy vlnové mechaniky - vlnění Vlna v čase t = 0 Pohybující se vlna, – fázová rychlost - frekvence, - perioda Rovinná vlna, pro druhé derivace této funkce platí: vlnová rovnice - vlnočet

2. Základy vlnové mechaniky – stojaté vlnění Tj. vlnění struny konečné délky L – konce (s nulovou výchylkou) mají souřadnice x = 0, x = L Fyzikální problém okrajových hodnot – řešení obsahuje parametr, jehož hodnoty jsou voleny tak, aby bylo vyhověno okrajovým podmínkám. Zvolené hodnoty jsou vlastní (charakteristické) hodnoty a odpovídající řešení jsou vlastní (charakteristické) funkce Řešení hledáno jako součin funkcí jednotlivě závislých na x a t - separované proměnné Tj. po dosazení do vlnové rovnice: Obě strany jsou položeny rovny vhodné konstantě Zajistí rovnost stran se separovanými proměnnými Tj.: řešení:

3. Základy vlnové mechaniky – stojaté vlnění Relace mezi fázovou rychlostí a kruhovou frekvencí (úhlovou rychlostí) ω(rad/s) Řešení je možno vyjádřit ve tvaru reálné sinové nebo kosinové funkce Okrajové podmínky, s kterými je třeba uvažované řešení uvést do souladu Pro u = 0 v x = 0 je nutno vypustit kosinovou funkci x : Prou = 0vx = Lmusí platit : Tato podmínka omezuje dovolené hodnoty ω: Jako funkce času vyhovuje lineární kombinace sin a cos V místě, pro které je je v libovolném čase uzel a v místě, kde je je maximální amplituda, jejíž hodnota osciluje s časem – tj. stojaté vlnění

4. Základy vlnové mechaniky – stojaté vlnění Platí: což je podmínka pro vlastní hodnotu, funkce un jsou pak vlastními funkcemi Obecné řešení odpovídá principu superpozice

5. Spektrální rozdělení záření černého tělesa Studium záření absolutně černého tělesa znamenalo definitivní selhání vlnové (nekvantové) teorie světla. Laboratorní černé těleso pohlcující maximum světelného záření je dutina uvnitř tělesa z izolujícího materiálu v jehož jedné stěně je malý otvor. Z otvoru jsou emitovány frekvence odpovídající stojatému vlnění (v pravoúhlém tělese), jež bude v rovnováze z teplotou. Oscilátor, který je v tepelné rovnováze z okolím má průměrnou energii = kT. Dle klasické teorie průměrná energie nikterak nezávisí na frekvenci oscilátoru – všem frekvencím přísluší stejná energie. Počet dovolených vysokých frekvencí stojatého vlnění je mnohonásobně větší oproti frekvencím nízkým – intenzita emitovaného záření (samozřejmě rostoucí s teplotou) by tedy měla spojitě narůstat se zvyšující se detegovanou frekvencí. Experiment však ukázal nárůst pouze do určité hraniční frekvence, která se s růstem nastavené teploty posouvala k vyšším hodnotám – tj. frekvence a energie souvisí – čistě vlnový popis světelného (elektromagnetického) záření je chybný. Spektrální rozdělení záření absolutně černého tělesa experimentálně zjištěné při třech různých teplotách Max Planck – postulát: Frekvence oscilátoru (záření) a jeho energie souvisí dle vztahu Oscilátor může nabývat energie pouze po diskrétních hodnotách - kvantech

6. Základy kvantové mechaniky – částice a vlny Ve smyslu kvantování energie elektromagnetického záření je tomuto záření přisuzován vedle vlnového také korpuskulární charakter. Obdobně je kvantovou teorií zaveden vlnový charakter elementárním částicím (elektrony apod.), jež byly klasicky chápány korpuskulárně. Vlnový charakter těchto částic vyplynul z experimentálních poznatků o spektrech – stacionární přechody elektronů reprezentují celočíselné energetické změny, což je dokumentováno diskrétními spektrálními čarami. Jevy, u kterých se obecně ve fyzice uplatňují celá čísla jsou jevy související s vibračními mody – dovolenými frekvencemi resp. vlnovými délkami (viz stojaté vlnění). Podmínka stacionárního orbitu o poloměru re: Pro foton platí: tj. – hybnost fotonu Pro vlnovou délku elektronu vychází: tj.

7. Základy kvantové mechaniky – princip neurčitosti Determinismus klasické mechaniky je založen současném jednoznačném určení hybnosti a polohy (tělesa, bodu). Pro elementární částice mající vlnové vlastnosti je tento princip nemožný Důsledkem ohybu je, že nový směr hybnosti nelze určit přesněji, než v mezích úhlového rozptylu, složka hybnosti může nabývat hodnot z intervalu od tj. Součin neurčitosti souřadnice a hybnosti částice je řádově roven Planckově konstantě h. Přesněji platí: Slavný Heisenbergův princip neurčitosti (1926)

8. Základy kvantové mechaniky – Schrödingerova rovnice Schrödingerova rovnice reprezentuje přístup označovaný jako vlnová mechanika vedle toho byl formulován přístup Heisenbergův, který je znám jako maticová mechanika. Oba náhledy mají zcela rozdílný matematický formalizmus nicméně „co do kořenů svých základních fyzikálních koncepcí jsou v zásadě ekvivalentní“. Představují dvě formy fundamentální teorie nazývané kvantová mechanika. Schrödingerova rovnice vychází z obecné vlnové rovnice: Substituce: umožňuje obdržet časově nezávislou diferenciální rovnici: Tuto rovnici je nutno upravit pro hmotnou vlnu Celková energie: tj. Pro frekvenci platí: tj. což po dosazení do dif. rovnice a položení , kde je amplituda hmotné vlny vede k Schrödingerově rovnici pro jeden rozměr:

9. Základy kvantové mechaniky – Schrödingerova rovnice Pro 3 D se rovnice jednoduše rozvede: Operátor energie zahrnující vlnový charakter je Hamiltonovým operátorem – Hamiltoniánem kvantové mechaniky Schrödingerova rovnice je pak psána jednoduše:

10. Základy kvantové mechaniky – řešení Schrödingerovy rovnice pro případ volné částice Nejjednodušší aplikace – částice je mimo potenciálové pole – potenciální energie v Hamiltoniánu = 0, Schrödingerova rovnice je jednorozměrná Řešení ve tvaru: Resp: Hodnoty mohou být libovolné – kinetická energie E volné částice může nabýt libovolné kladné hodnoty, kvantování energetických hladin nastává u elektronu vázaného potenciálovým polem (k atomu).

11. Základy kvantové mechaniky – částice v krabici