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Independent. 舒宇宸. 上次的複習. Ax=b  x = Ab; AB=C  B=AC, A=C/B; For loop for i=1:5 a(i) = 2+3*(i-1); end If structure if a(i) < 3 disp(‘Hello world’); end. Octave function. randn(m,n): 提供一個 normal distribution N(0,1) 的 m x n 矩陣 讓使用者輸入一個變數 : N = input(‘ 提示文字’ ) 畫函數圖形 : plot(x,y).

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Presentation Transcript

  1. Independent 舒宇宸

  2. 上次的複習 • Ax=b  x = A\b; • AB=C  B=A\C, A=C/B; • For loop • for i=1:5 a(i) = 2+3*(i-1); end • If structure • if a(i) < 3 disp(‘Hello world’); end

  3. Octave function • randn(m,n): 提供一個normal distribution N(0,1) 的m x n矩陣 • 讓使用者輸入一個變數: N = input(‘提示文字’) • 畫函數圖形: plot(x,y)

  4. 比較算子 • > <: 大魚, 小魚 • >= <=: 大於或等於, 小於或等於 • ==: 等於 • ~=: 不等於

  5. 把你想在octave中下的指令整個寫在一個文字檔中就可以把你想在octave中下的指令整個寫在一個文字檔中就可以 如:右方的文字檔, test1.m % 這是註解 % help的時候會出現 A = rand(3); [L U P] = lu(A); if L(3,3) ~= 0 disp(‘A has inverse’); U\(L\P) end Simple m-file

  6. 應用例子 • 常態分佈的隨機抽樣 • 假設班上同學的成績平均是65分, 標準差是20分 • 而且班上同學有很多很多人(不考慮有限母體修正) • 這時候如果我們從班上抽取16人, 並且取平均的話, 這個隨機變數X=(x1+x2+…+x16)/16應該是怎麼樣的一個分配呢？ • 用Octave做給大家看, 在理論之外的一個實證

  7. 上次沒講完的 • Ax = b: 做高斯消去法有可能有右邊幾種情況: • 平常的LU分解(m=n才會發生)唯一解 • 除了一個上三角矩陣外, 還剩下右方的一個矩陣(m <= n才會發生)無限多解 • 出現一排全為0的列向量如果b2=0有解, b2不為0時無解.(隨時都可以發生)

  8. 如果是第三種情況, 怎麼判斷有解 • Ax=b, A: m x n Matrix • 那就是做LU分解啦 • 在U全為0如果L-1Pb也等於0那這時候x就可以有解. • 其他情況呢？ • 解很多的時候在第四章的時候再說

  9. Linear Independent • 一堆向量可以形成一個向量空間, 如果我們把這些向量放在一個矩陣的行向量上, 那麼所有長得像Ax的向量就形成這個向量空間. • 如果Null space of A(也就是N(A))只有0向量, 那麼我們就說這堆向量線性獨立 • 也就是說, 這些向量中, 沒有一個向量可以是其他向量的線性組合. • Why?

  10. Vector span subspace • 其實就是由一堆向量線性組合所生成的Vector space • 為什麼老師在上一堂課要把Vector space 定義成 由向量線性組合出來的空間呢? • 因為一個向量空間可以用一堆向量來生成也就是基底的概念

  11. Basis of a vector space • 一定要線性獨立 • 可以線性組合出Vector space中的任何一個向量 • R2的基底 • (1,0),(0,1) • (1,2),(2,3) • R3的基底 • (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) • (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)

  12. 怎麼找row space的基底 • 就是做高斯消去法得到LU分解啦, 在每個pivot的row就是這個row space的基底 • 之前好像沒有提到… • rank(A)=pivot個數 • pivot=做高斯消去法時每列第一個不是0的元素

  13. 維度 • 一個Vector space裡基底的個數. • Rn的維度是n

  14. 課本後面的圖 • A: m x n Matrix, x in Rn, y in Rm • ATyC(AT) Row space of A in Rn.  dimension: r • Ax = 0  Null space of A in Rn.  dimension: n-r • Ax  C(A) Column space of A in Rm.  dimension: r • ATy = 0  left null space of A in Rm.  dimension: m-r • 為什麼會這個樣子呢？老師說…

  15. 結論 • Fundamental Theorem of Linear Algrbra, Part I: • The column space and row space both have dimension r. The nullspace have dimension n-r and m-r

  16. 電腦實做 • A的null space: null(A) • 就只有這個可以教啦

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