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Relazione come predicato

Relazione come predicato. x R y  p(x,y). Dati due insiemi non vuoti X e Y , e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y.

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Relazione come predicato

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Presentation Transcript

  1. Relazione come predicato x R y  p(x,y) Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Se xX e yY soddisfano il predicato p(x,y) La coppia ordinata (x,y) soddisfa la relazione R x Ry oppure (x,y)  R x R y  p(x,y) altrimenti

  2. Relazione: Osservazione Dati due insiemi non vuoti X e Y, e un predicato binario p(x,y) avente X, Y come domini rispettivamente delle variabili x e y, diremo che il predicato esprime una RELAZIONE binaria fra gli elementi di X e quelli di Y Una relazione Rè ben definita solo quando sono ben determinati i due insiemi X, Y

  3. Relazione: Dominio e Codominio Y X R Sottoinsieme di Y in cui arriva ALMENO UNA freccia Sottoinsieme di X da cui parte ALMENO UNA freccia DOMINIO CODOMINIO

  4. Relazione: Grafico X x Y Y 5 Y X a 1 4 3 d 2 4 2 c 3 X 1 5 b a b c d R (a,1)R (a,4)R G = graf R = = { (x,y): (x,y)XxY  (x,y)R}  XxY (b,5)R (c,1)R (c,3)R (c,4)R

  5. Relazione: Grafico X x Y X x Y Y Y Y Y X X a a 1 1 R d d 2 2 4 4 c c 3 3 X X 5 5 b b R R = G  XxY (x,y) R (x,y) G

  6. Relazione - Funzione Y X R Da un elemento di X: Parte più di una freccia Parte una e una sola freccia NON parte alcuna freccia Dati due insiemi non vuoti X e Y, dicesi FUNZIONE o APPLICAZIONEdi X in Y una relazione R di X e Y che soddisfi la seguente condizione xX y Y : (x,y) R

  7. Relazione – Funzione: Esempio X x Y xRy se x ha per numero di zampe y xRy se x è una regione contenente y AN 8 TN 6 Y X gufo Y Y 4 CN 1 X ragno Molise TO 3 Y 2 VR 2 mucca Lombardia Bolzano BZ 1 formica Veneto 4 Verona 3 Piemonte cavallo L u M g V m c T f S P r Torino 6 uomo T.A.A. Cuneo 8 Sicilia Ancona X X Trento X x Y Quale delle seguenti relazioni è una FUNZIONE? xX y Y : (x,y) R

  8. Funzioni Numeriche Una funzionef: X Ysi dice numerica se A e B sono insiemi numerici. Algebriche Trascendenti Noi ci occuperemo esclusivamente di funzioni reali (Y Â) di variabili reali (X Â) Classificazione delle funzioni: Razionali intere Goniometriche Razionali fratte Logaritmiche Irrazionali Esponenziali In generale sono trascendenti tutte le funzioni che non sono algebriche

  9. Funzioni Classificazione X Y X Y X Y Un’applicazione chiamasi suriettiva: tutti gli elementi di Y sono immagine di almeno un X f(X)=Y se x1  x2  f(x1)f( x2 ) oppure se f(x1) =f( x2 )  x1 = x2 iniettiva: gli elementi di Y sono immagini al più di un solo elemento di X biiettiva: ogni elemento di Y è immagine di uno e uno solo elemento di X (corrispondenza biunivoca)

  10. Funzione SURIETTIVA: Esempio x Ry se x ha per numero di zampe y Y X gufo ragno 2 mucca formica 4 cavallo 6 uomo 8 X x Y Y 8 6 4 2 X u g m c f r 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA SI f (X) = Y Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti.

  11. Funzione INIETTIVA: Esempio x Ry se x è utilizzato da y Y X Penna Meccanico Elettricista Oliatore Insegnante Raspa Falegname X x Y Y M E I F O X P R 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia INIETTIVA SI se f (x1) = f (x2)  x1 = x2 oppure se x1  x2  f (x1)  f (x2) Utilizziamo sia il XxY che il grafico a frecce  Ad ogni yY arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

  12. Funzione BIIETTIVA: Esempio x R y se x è la medaglia per y Y X Oro Secondo Argento Primo Bronzo Terzo X x Y Y T S P A X O B 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA SI f (X) = Y  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA SI f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)  Ad ogni yY arriva NON più di una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

  13. Funzione (y =) f(x) = x2 x R y se x2 è y X Y - … - … -5 -5 -3.5 -3.5 -1.2 -1.2 0 0 1.44 1.2 12.25 3.5 5 25 + … + … X x Y Y X 1. Verifichiamo che R sia una funzione SI xX y Y : (x,y) R  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA NO f (X) = Y  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA NO f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)  Ad ogni yY arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto.

  14. Funzione (y =) f(x) = x2 1. Verifichiamo che R sia una funzione x R y se x2 è y xX y Y : (x,y) R X  Da ogni xX esce una e una sola freccia  Non compaiono punti posti verticalmente Y+ 0 - … 0 -5 -3.5 1.44 2. Verifichiamo che f sia SURIETTIVA -1.2 f (X) = Y 0 12.25 1.2  Ad ogni yY arriva almeno una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde almeno un punto, i.e. NON ci sono linee orizzontali prive di punti. 3.5 25 5 + … + … X x Y Y 3. Verifichiamo che f sia INIETTIVA f (x1)= f (x2)  x1=x2 o x1x2  f (x1) f (x2)  Ad ogni yY arriva al più una freccia  Ad ogni valore Y corrisponde NON più di un punto, i.e. le linee orizzontali contengono al massimo un punto. X SI SI NO

  15. Insieme Dominio - Insieme Codominio f : A B funzioni reali di variabili reali A  Â geometricamente situato sull’asse x f(A)  B  Â geometricamente situato sull’asse y

  16. Insieme di Esistenza di una Funzione L’insieme di esistenza di una funzione è il dominio più ampio possibile Campo d’esistenza  x ÎÂ Campo d’esistenza  x ÎÂ : x3+4³ 0 Campo d’esistenza  x ÎÂ : 1+x >0 2/(1+x) > 0

  17. Funzione Inversa a b f f -1 A y B g x O g ’ Sia f un’applicazione biiettiva tra A e B, si definisce applicazione inversa di f, l’applicazione f -1 tra B e A tale che f -1(b) = f -1(f(a)) = a Noto g, grafico di f,g ’,grafico di di f-1èil simmetrico digrispetto allabisettrice del 1° e 3° quadrante. b = f(a) f -1(b) = f -1( f(a) ) = a

  18. Funzioni Monotòne y y x1 x1 x2 x2 O O x x f(x1) < f(x2) f dicesi crescente Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f(x1) > f(x2) f dicesi decrescente f dicesi non decrescente f(x1)  f(x2) Scegliamo arbitrariamente due punti. SE f dicesi non crescente f(x1)  f(x2)

  19. Funzioni Pari - Funzioni Dispari y y f(x) O x x -x x x f(x) -x O -f(x)=f(-x) f(x) = f(-x) f dicesi Pari f(x) = x2 f(x) = cos(x) f(x) = | x | f(x) = -f(-x) f dicesi Dispari f(x) = x f(x) = sin(x) f(x) = tg(x)

  20. Funzioni Periodiche y T O x x2=(x1+T) x1 Se  T t.c.  x f(x+T) = f(x) f(x) = sin(x) : sin(x+k·2p) = sin(x) f(x) = cos(x) : cos(x+k·2p) = cos(x) f(x) = tg(x) : tg(x+k·p) = tg(x) f dicesi Periodica diperiodo T

  21. Funzioni Limitate f : A() B () Limitato superiormente Limitata superiormente Se l’insieme f(A) è la funzione y=f(x) dicesi Limitato inferiormente Limitata inferiormente Limitato Limitata Limitata superiormente:  L :  aA f(a)  L Limitata:  l,L :  aA lf(a) L Limitata inferiormente:  l :  aA f(a)  l

  22. Funzioni Limitate f : A() B () m è detto minimo Assoluto Se M è detto Massimo Assoluto Se Massimo assoluto Massimo la funzione y = f(x) è dotata di Se l’insieme f(A) è dotato di minimo assoluto minimo max f(A) = 1 min f(A) = 0 y = f(0) = 0è dotata diminimo Assoluto y = f(1) = 1 è dotata diMassimo Assoluto

  23. Funzioni Limitate f : A() B () Si chiama estremo superiore (estremo inferiore) di f l’estremo superiore (estremo inferiore) dell’insieme f(A) Una funzione può possedere il sup (inf) nell’insieme A senza che questo sia un massimo (minimo) assoluto: f(x) = 1/x in A = (0,) inf f = 0 non  min f infatti f(x)>0

  24. Funzioni particolari: le Successioni Si chiama successione di numeri reali nn’applicazione di N0 in  f: n  f(n) =an 1 f(n) =a1 2 f(n) =a2 ... n  1/n : {1, 1/2, 1/3, … 1/n, …} successioni monotòne crescente non decrescente decrescente non crescente an < an+1 an an+1 an > an+1 an an+1 Una successione {an} si dice se nN

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