Toate numerele sunt rezultatul unor masuratori?

1. Toate numerele sunt rezultatul unor masuratori? Femeile sunt pasionate de matematica imaginara. Isi impart varsta la 2,dubleaza pretul hainelor si adauga intodeauna 5 ani la varsta prietenei cele mai bune.

2. Originea numarului i: În 1748 genialul matematician elvetian Leonard Euler scria formula:   e- este baza logaritmului natural i- este unitatea imaginar? sin si cos sunt functii trigonometrice. În 1806 Jean Robert Argand publica lucrarea “ Eseu despre interpretarea geometrica a cantitatilor imaginare. În 1813 Adrien-Marie Legendre pune bazele geometriei numerelor complexe. În 1829 William Rowan Hamilton considera ca , asa cum geometria este stiinta spatiului care si-a gasit expresia matematica în “Elementele lui Euclid”, si algebra trebuie sa fie stiinta a ceva, si inspirat de filosofia lui Kant , el decide ca acel ceva trebuie sa fie timpul. În 1831 datorita lui Carl Friedrich Gauss se impune termenul de “numar complex”.

3. Numărul complex (0,1) este notat cu i și numit “numarul i”.Are proprietatea Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex(a,b) poate fi scris (a,b)=(a,0)+(b,0)=a+bi Forma algebrică a unui număr complex este z=a+bi , unde a și b sunt numere reale. (0,1) unitatea imaginară (0,0)=0; (1,0)=1. Pentru un număr complex z=a+bi , se numește partea reală a lui z și se notează a=Re(z) iar b se numește partea imaginară a lui z și se notează b=Im(z) . Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d. Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d). Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad). Exemplu pentru z = (2,3)= 2 + 3i și w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i si produsul  zw = (-10,11) = -10 + 11i. Forma algebrica a unui numar complex

4. Modulul si conjugatul unui numar complex Se numeste modulul numarului complex z, ,numarul real Conjugatul complex al unui numar este numărul complex Exemple:

5. Aplicatii ale numerelor complexe in algebra Ecuatia de forma unde a, b, c   R, a    0, x - variabila, se numeste ecuatie bipatrata. Prin substitutia x2 = t (atunci x4 = t 2) ecuatia bipatrata se reduce la o ecuatie de gradul al doilea. 1) -Se utilizeaza substitutia  t = x2, si se obtine ecuatia de gradul al doilea in t,   2t 2 - 3t + 4 = 0 care nu are solutii reale. Prin urmare, si ecuatia enuntata nu are solutii reale. S= 2)x4 - 29x2 + 100 = 0 -Se noteaza  x2 = t, atunci  x 4 = t 2  si se obtine o ecuatie de gradul al doilea in t: t 2 - 29t + 100 = 0 cu solutiile  t1 = 4 si t2 = 25.Astfel se obtine totalitatea de ecuatii de unde rezulta solutiile x = ±2 si x = ±5. Se numeste ecuatie binoma,o ecuatie de forma: , Exemplu: ecuaţia se scrie sub forma: si se scrie numărul -i complex  în forma trigonometrica. . Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin zece din -i,adică numerele complexe:

6. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie Vom nota cu M(z) punctul M de afix z. Distanţa dintre punctele Afixul punctului M care imparte segmentul in raportul k,adica = este ,unde , , Consecinta:Afixul mijlocului M al segmentului este ;Afixul g al centrului de greutate G al triunghiului este ;patrulaterul este paralelogram daca si numai daca ,unde ,i=1,2,3,4. Conditia de coliniaritate: Punctele M1(z1), M2(z2), M3(z3) sunt coliniare dacă şi numai dacă există k1, k2, k3 ∈ R cu k1+ k2+ k3 = 0 si Demonstratie: Dacă sunt coliniare, atunci există cu Deci ,adica .Pentru , obtinem concluzia.Reciproc,din cu ,obtinem Pentru obtinem ,adica sunt coliniare.

7. Exemplu: Fieafixele varfurilor triunghiului ABC, cu. Sa se arate ca daca punctele MNP au afixele atunci triunghiurile MNP si ABC sunt asemenea. Rezolvare: Cum , ,

8. Domenii -Analiza semnalelor:-numerele complexe sunt folosite în analiza semnalelor şi alte domenii pentru o descriere convenabilă pentru diferite semnale periodic. - Integralelor improprii:-În domenii aplicate, numerele complexe sunt adesea utilizate pentru a calcula anumite valori reale integralelor improprii , prin intermediul-evaluate functii complexe. -Mecanica cuantica:- Câmpul număr complex este relevant în formulele matematice ale mecanicii cuantice , în cazul în care complex de spatii Hilbert oferi contextul pentru o formulare, astfel încât este convenabil şi cel mai probabil standard. -Numarul de teoria analitica:- Analitic numarul teorie studii de numere, de multe ori întregi sau raţionale, profitând de faptul că acestea pot fi considerate ca numere complexe, în care metodele analitice pot fi utilizate. Aceasta se face prin informaţii codare număr-teoretic în funcţii complexe-evaluate. De exemplu, Riemann Zeta-functia ζ (s) este legat de distribuirea de numere prime .

9. Bibliografie -http://www.experior.ro/Docs/Ecuatii_binome -http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_complex -Dinca M., Chirita M., Numere complexe in matematica de liceu, Editura All Educational, Bucuresti, 1996 -Cocea C., 200 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Editura Gh. Asachi, Iasi, 1992 -Andrica D., Varga C., Vacaretu D., Teme de geometrie, Editura Promedia Plus, Cluj Napoca, 1997 http://translate.google.ro/translate?hl=ro&langpair=en|ro&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number