工程熱力學 第二版

1. 工程熱力學 第二版 第 6 章 控制容積的 第一定律分析 First Law Analysis for a Control Volume

2. 6.1 質量守恆與控制容積 • 6.2 控制容積之熱力學第一定律 • 6.3 穩態過程 • 6.4 穩態過程的實例 • 6.5 暫態過程 • 6.6 如何剖析

3. 6.1 質量守恆與控制容積 • 控制容積，係指空間中我們有興趣進行特殊研究或分析的容積。此控制容積的表面，稱為控制表面，且一般均由封閉表面組成。控制容積的尺寸與形狀可不受任何限制，控制表面可以是固定的，或可移動使其能膨脹或收縮。 • 質量與熱及功均可穿越控制表面，且控制容積內的質量，以及此質量之各種性質，均可隨時間而改變。 • 質量守恆定律主要與質量有關，而質量無法被創造或摧毀。關於控制容積內之質量，若以數學表示式說明此定律，必須考慮所有流入與流出控制容積之質量，以及在控制容積內質量之淨增量。質量守恆式通常稱為連續方程式（continuity equation）。 P146

4. 圖 6.1 質量與能量傳遞及蓄積之控制容積的圖解。 P147

5. 流經控制容積表面之流動，可以示於閥左側之平均速度，或以示於閥右側穿越橫斷面之分佈速度來表示。流經控制容積表面之流動，可以示於閥左側之平均速度，或以示於閥右側穿越橫斷面之分佈速度來表示。 所以質量流率為 其中經常使用平均速度。值得注意的是，上述結果係針對靜 止的控制表面，且假設該流動係垂直於表面的條件下推導得 出。在上述假設條件下，此質量流率的表示式可應用於任何 流入或流出控制容積的各種流動。 P148

6. 圖 6.2 分析連續方程式用之控制容積的圖解。 P148

7. 圖 6.3 流經截面積為 A 之控制容積表面的流動。示於閥左側為平均速度，而在閥右側所示則為穿越截面積之流動分佈圖。 P149

8. 範例 6.1 空氣以 0.1 m/s 之均勻速度在直徑為 0.2 m 之管內流動。其溫 度為 25℃且壓力為 150 kPa。試求質量流率。 解答 由式 6.3 可知，質量流率為 ，對空氣而言，利用 表 A.5 中的 R，可得 截面積為 因此，  P149

9. 6.2 控制容積之熱力學第一定律 • 欲將控制容積之第一定律寫成變化率方程式，我們可採用與推導質量守恆定律之變化率方程式類似的方式進行。 • 由基本物理定律得知，我們無法創造或摧毀能量，故任何能量的變化率均必須由傳入或傳出控制容積的能量變化率所導致。 • 任何時候，當流體質量在狀態 i 進入，或者在狀態 e 離開控制容積時，均會涉及與該過程有關的邊界移動功。 • 對應於進入控制容積時，每單位時間之某容積的速度與面積，可讓我們能夠在質量正在進入的狀態下，建立其與質量流率及比容的關係。現在可將流功（flow work）率表示如下 P149

10. 圖 6.4 在一般控制容積之能量方程式中，說明各項名詞的圖解。 P150

11. 範例 6.2 假設我們正站在市區配水幹管旁，並假設管內液態水的流動壓 力為 600 kPa（6 atm），且水溫約為 10℃。現欲藉由配置在幹 管上的支管及閥，將 1 kg 的少量液態水加入管線中。試問在此 過程中所涉及的功為何？ 若此 1 kg 液態水放置在水桶中，當開啟幹管之閥門，將其倒 入管線開口時，必然發現水將反向流出。水總是由高壓流向低 壓，亦即，水將由幹管流向大氣（由 600 kPa 至 101 kPa）。 我們必須先將此 1 kg 液態水裝置在活塞汽缸內（類似手提 泵），並將此汽缸附著在水管上。接著將活塞加壓直至內部水 壓達到 600 kPa 時，再打開閥門，並將此 1 kg 水緩緩壓入管線 中。在活塞表面對水所作之功為 此即為加入 1 kg 液態水所需之流功。  P151

12. 對可能含有數個進入或離開之質量流率的一般控制容積（general control volume）而言，通常都必需將這些功項計入並取總和。因此，熱力學第一定律（first law of thermodynamics）最終型式變成 以積分型式表示如下： • 因每單位質量之動能及位能，均與焓一起出現在所有流動項中，故常以較簡潔的符號取代如下 其中 h總 與 h停滯 分別定義為總焓（total enthalpy）與停滯焓 （stagnation enthalpy）。因此，較簡潔的方程式變成 P152

13. 6.3 穩態過程 • 控制容積方程式的第一個應用，是推導可供長期穩定操作之裝置，可導致這類過程，稱為穩態過程（steady-state process）之合理模型，建立如下之假設 1. 控制容積無相對於座標架構之運動。 2. 在控制容積內每一點的質量，其狀態不隨時間而改變。 3. 正如流經控制表面之質量一樣，在控制表面每一各自流動面積上之質量通量及此質量之狀態，皆不隨時間改變。穿越控制表面時的熱傳遞率及功率維持不變。 • 穩態過程常用在往復式機械，如往復式壓縮機或引擎的分析上。在此情況下，流動率（實際上為脈動型式）可視為整數循環的平均流動率。 P153

14. 6.4穩態過程的實例 熱交換器 Heat Exchanger • 穩態熱交換器（steady-state heat exchanger）為流經一管路或管系之簡單流體，並藉此將熱傳入或傳出流體。因此流體可被加熱或冷卻，使其由液體沸騰成為蒸汽，或由蒸汽凝結成為液體。 圖 6.5 冷凍系統中的冷凝器。 P155

15. 範例 6.3 考慮在採用 R-134a 為冷媒之大型冷凍系統內的水冷式冷凝器。 該冷媒以 0.2 kg/s 之流率，在 1.0 MPa 與 60℃下進入冷凝器， 並在 0.95 MPa 與 35℃下以液態流出。冷卻水在 10℃下進入冷 凝器，並在 20℃下流出。試求冷卻水流經冷凝器時之速率。 控制容積：冷凝器。 示意圖：圖 6.6 。 入口狀態：R-134a－固定；水－固定。 出口狀態：R-134a－固定；水－固定。 過程：穩態。 模型：R-134a 表；蒸汽表。 分析 有兩種流體，R-134a 與水，進入及離開此控制容積。在此可 合理假設動能與位能的變化可忽略不計，並注意到功為零，且 可作出無熱傳穿越控制表面之另一合理假設。因此，第一定 律，式 6.10 簡化成 P156

16. 圖 6.6 R-134a 冷凝器之示意圖。 P156

17. 範例 6.3（續） 利用下標 r 代表冷媒且 w 代表水，則上式可寫成 解答 由R-134a 與蒸汽表，可得 由上述方程式求解水之質量流率 ，可得 P157

18. 範例 6.3（續） 此問題可藉由考慮兩個不同控制容積求解，其一有R-134a 流經其控制表面，而另一則有水流經其控制表面。此外，有 熱傳由其中一控制容積傳至另一控制容積。 首先計算涉有R-134a 之控制容積的熱傳量。此情況下， 穩態能量方程式可簡化成 此亦為傳至另一控制容積的熱傳量，且此  P157

19. 噴嘴 Nozzle • 噴嘴（nozzle）為一穩態裝置，其目的是欲藉犧牲流體壓力以產生高速流體。經適當設計之輪廓，可使流體平穩地膨脹至低壓，因此增加其速度。因無任何移動的零件，故此裝置不作任何型式的功。其位能變化很小或沒有，且通常很少有熱傳或沒有。例外為在液體推進劑火箭上的大型噴嘴。 P157

20. 範例 6.4 在0.6 MPa 及200℃狀態下之水蒸汽，以50 m/s 之速度進入 絕緣之噴嘴。當其離開噴嘴時，壓力為0.15 MPa 且速度為 600 m/s。若水蒸汽在最終狀態為過熱，試求其最終溫度；若 為飽和，試求其乾度。 控制容積：噴嘴。 入口狀態：固定（見圖6.7）。 出口狀態：Pe已知。 過程：穩態。 模型：蒸汽表。 圖 6.7 範例 6.4 之圖解。 P158

21. 範例 6.4（續） 分析 已知 第一定律（式6.13）可簡化成 解答 求解he，可得 已知水蒸汽離開噴嘴時的兩個性質為壓力與焓，因此該流 體的狀態可以確定。在0.15MPa 時，由於he 小於hg，故可 求出乾度。  P158

22. 擴散器 Diffuser • 穩態擴散器（diffuser）係一種可使高速流體減速，並導至流體壓力增高的裝置。就本質而言，此裝置恰與噴嘴相反，且可視為流體以相反方向流經噴嘴，而產生的效果也正好相反。 節流閥 Throttle • 當流體於管路中流動，在流道中突然遭遇限制時，便會發生所謂的節流過程（throttling process）。此限制可以是具有小孔的平板，或是突出於流道中的半關閉閥門，或可能是突然變換成直徑非常小的管子，稱為毛細管，常見於冷卻裝置。 P159

23. 圖 6.8 節流過程。 P159

24. 範例 6.5 考慮在壓縮蒸汽之冷凍循環中，經膨脹閥或毛細管的節流過 程。在此過程中，冷媒壓力由冷凝器中的高壓降至蒸發器中 的低壓，且在此過程中有些液體會瞬間轉變成蒸汽。若視此 為一絕熱過程，則進入蒸發器之冷媒乾度即可算出。 考慮下列以氨為冷媒之過程。氨在壓力為 1.50 MPa 及溫 度為 35℃下進入膨脹閥，而離開膨脹閥時的壓力為 291 kPa。試求氨離開膨脹閥時的乾度。 控制容積：膨脹閥或毛細管。 入口狀態：Pi、Ti 已知；狀態固定。 出口狀態：Pe 已知。 過程：穩態。 模型：氨表。 P159

25. 範例 6.5（續） 分析 可使用標準節流過程之分析及假設。第一定律將簡化成 hi =he 解答 由氨表可得 hi = 346.8 kJ/kg （經稍微壓縮之液體的焓值，實質上等於在相同溫度下之飽和液體的焓值）。  P160

26. 渦輪機 Turbine • 渦輪機（turbine）為旋轉式穩態機械，其目的是欲犧牲工作流體的壓力以產生軸功（或功率）。它有兩種類型，一種為蒸汽（或其他工作流體）渦輪機，其中離開渦輪機之蒸汽會通過冷凝器，並在冷凝器內凝結成液體；另一種為燃氣渦輪機，其中氣體由渦輪機排放至大氣。這兩類渦輪機之出口壓力均由排放工作流體之環境所固定，且入口壓力皆經由對工作流體加壓或壓縮的另一過程事先達成。 • 渦輪機內部，有兩個不同過程。在第一個過程中，工作流體流經一組噴嘴，或等效之固定輪葉通道，使其膨脹成低壓及高速之流體。第二個過程中，高速流體被導引至一組移動（旋轉式）輪葉上，並在降低速度後離開通道。此種導引速度降低的過程，將在旋轉軸上產生扭矩，並導致軸功輸出。最後，低速、低壓流體將自渦輪機排出。 P160

27. 範例 6.6 流入蒸汽渦輪機之質量流率為1.5 kg/s，且渦輪機的散熱量 為8.5 kW。蒸汽進入及離開渦輪機之數據，已知如下。 試求渦輪機之輸出功率。 P161

28. 範例 6.6（續） 控制容積：渦輪機（圖6.9）。 入口狀態：固定（如上）。 出口狀態：固定（如上）。 過程：穩態。 模型：水蒸汽表。 分析 由第一定律（式 6.12），可得 其中 解答 由水蒸汽表查出hi = 3137.0 kJ/kg。將入口條件代入，可得 P161

29. 圖 6.9 範例 6.6 之圖解。 P161

30. 範例 6.6（續） 同理，就出口而言，he = 2675.5 kJ/kg，且 因此，將其代入式 6.12，可得 P162

31. 範例 6.6（續） 若使用式 6.13，則流體流動時每仟克所作之功，可先求出。 因此，將其代入式 6.13，可得  P162

32. 壓縮機與泵 Compressor and Pump • 穩態壓縮機（氣體）或泵（液體）具有相同目的：藉由輸入軸功（功率）以增高流體壓力。 • 壓縮機基本上有兩種不同類型。最常見的類型為旋轉式壓縮機（軸間流動或徑向∕離心流動），其中內部過程基本上與發生在渦輪機內部的兩個過程恰好相反。工作流體在低壓狀態下進入壓縮機內的一組旋轉輪葉後，隨即以高速離開，而這正是將軸功輸入流體的結果。該流體接著通過擴散器剖面，在此以導致壓力增高的方式減速。最後流體在高壓狀態下離開壓縮機。 P163

33. 範例 6.7 某動力廠內的壓縮機（見圖 6.10）在 100 kPa、280 K 下，以 低速接收二氧化碳。在壓縮機出口處，二氧化碳在 1100 kPa、500 K 下，以 25 m/s 的速度排出，隨即進入等壓壓後 冷卻器（熱交換器）內，並在此冷卻至 350 K。壓縮機之功 率為 50 kW。試求在壓後冷卻器內的熱傳遞率。 解答 控制容積：壓縮機、穩態、單一入出口流動。 在此假設 q 0 且 V1 0，所以，經由表 A.8 查出 h， P163

34. 範例 6.7（續） 記得將動能除以 1000，使其單位由 J/kg 轉換成 kJ/kg。 控制容積：壓後冷卻器，穩態，單一入出口流動，且不作 功。 能量方程式 6.13： 在此假設動能的變化不大，並由表 A.8 再次查找 h，  P164

35. 範例 6.8 某位在 15 m 下方井內之小型液態水泵，在 10℃、90 kPa 狀 態下，以 1.5 kg/s 速率取水。出口管線之直徑為 0.04 m，並 與維持在錶壓力為 400 kPa 之接水桶相連。假設該過程為入 出口速度相同之絕熱過程，且水溫維持在 10℃。試求所需之 泵功。 圖 6.11 範例 6.8 之圖解。 P164

36. 範例 6.8（續） 解答 由能量方程式，可得 亦即，泵需要的功率輸入為 840 W。  P165

37. 範例 6.9 考慮如圖 6.12 所示之簡單蒸汽動力廠。已知該動力廠的相關 數據如下。 試求流經各裝置之下列各量（以每仟克計）： a. 鍋爐與渦輪機間之管線的散熱量。 b. 渦輪機所作之功。 c. 冷凝器的散熱量。 d. 鍋爐的散熱量。 P165

38. 範例 6.9（續） 為方便起見，可將在循環中的不同狀態點指定某個數字。 為此理由，在穩態能量方程式中的下標 i 與 e 通常可以適當 數字取代。 由於在此問題的解答中有數個控制容積須加以考慮，故在 此範例中將解題程序整合一下。利用圖 6.12 之符號，可得： 所有過程：穩態。 模型：水蒸汽表。 由水蒸汽表查知： P165

39. 範例 6.9（續） 由所有分析知：在解答中不須考慮動能與位能的變化。就每 一種情況而言，第一定律可以式 6.13 表示。 現在可針對在題目陳述中的各項特定問題，逐一解答。 a. 鍋爐與渦輪機間之管線的控制容積而言，第一定律及解為 b. 渦輪機實質上為一絕熱機器。因此，將第一定律中的熱傳量忽略是合理的，所以 c. 在冷凝器內的控制容積，並未涉及功。因此，第一定律及解為 P166

40. 範例 6.9（續） d. 若考慮在鍋爐內的控制容積，則其功亦為零，所以第一定律變成 5q1 + h5 = h1 欲求解，須先得知 h5之值，這可藉由在泵周圍選取控制 容積求得： 因此，對鍋爐而言，  P166

41. 圖 6.12 簡單蒸汽動力廠。 P166

42. 範例 6.10 圖6.13 所示之冷凍機採用R-134a 為工作流體。流經每一元 件之質量流率為0.1 kg/s，且壓縮機輸入功率為5.0 kW。利 用圖6.13 之狀態符號，下列狀態數據為已知： P1= 100 kPa, T1=–20℃ P2= 800 kPa, T2= 50℃ T3= 30℃, x3= 0.0 T4= 25℃ 試求下列各量： a. 在蒸發器入口之乾度。 b. 蒸發器之加熱率。 c. 壓縮機之散熱率。 所有過程：穩態。模型：R-134a 表。 所有分析：無動能與位能變化。在每一情況中的第一定律，均可以式6.10 表示。 P167

43. 圖 6.13 冷凍機。 P167

44. 範例 6.10（續） 解答 a. 對在節流閥內之控制容積而言，由第一定律可得出 h4 = h3 = 241.8 kJ/kg h4 = 241.8 = hf4 + x4hfg4 = 167.4 + x4×215.6 x4 = 0.345 b. 對在蒸發器內之控制容積而言，由第一定律可得出 c. 同時，對壓縮機而言，由第一定律可得出  P168

45. 6.5暫態過程 • 熱力學中有許多過程均涉及不穩定流動，其中有一類──例如，以氣體或液體填充密閉容器，或由密閉容器釋放出氣體或液體──可合理地以另一簡化模型近似地呈現。此過程為暫態過程（transient process），其假設如下 1. 控制容積相對於座標架構保持不變。 2. 在控制容積內質量的狀態可隨時間改變，但整個控制容積（或在組成整個控制容積的若干可確認區域內）的狀態在任何瞬間都是均勻的。 3. 雖然質量流率可隨時間改變，但在控制表面上穿越每一流動面積之質量狀態，不隨時間改變。 P168

46. 範例 6.11 如圖 6.14 所示，蒸汽在壓力為 1.4 MPa 及溫度為 300℃ 下流 入一管內。該管經由閥與某真空容器相連接。現將閥打開使 容器充滿蒸汽，直至壓力為 1.4 MPa，然後將閥關閉。假設 此過程以絕熱方式進行，且動能與位能變化可忽略不計。試 求蒸汽之最終溫度。 控制容積：真空容器，如圖 6.14 所示。 起始狀態（在容器內）：真空，質量 m1 = 0。 最終狀態：P2已知。 入口狀態：Pi，Ti（在管線內）已知。 過程：暫態。 模型：水蒸汽表。 P170

47. 圖 6.14 流入某真空容器──控制容積之分析。 P171

48. 範例 6.11（續） 分析 由第一定律 6.16 式，可得 注意，QC.V.= 0，WC.V.= 0，me= 0，且(m1)C.V.= 0。同時，假 設動能與位能變化可忽略不計。因此，對此過程之第一定律 陳述可簡化成 mihi =m2u2 由此過程之連續方程式 6.15，可得出結論如下 m2 = mi 因此，結合連續方程式與第一定律，可得 hi= u2 ，亦即，在 容器內蒸汽之最終內能等於進入容器之蒸汽的焓值。 P171

49. 範例 6.11（續） 解答 由水蒸汽表可查出 hi =u2 = 3040.4 kJ/kg 由於最終壓力已知為 1.4 MPa，故在最終狀態下的兩個性 質已知，且因此最終狀態是確定的。對應於壓力 1.4 MPa 及 內能 3040.4 kJ/kg 之溫度，經求出為 452℃。 此問題亦可藉由，視進入容器及真空空間之蒸汽為控制質 量進行求解，如圖 6.15 所示。 此過程為絕熱，但我們必須檢視功之邊界。若想像有一介 於含括在控制質量內之蒸汽，與在後方流動之蒸汽間的活 塞，便能輕易地認定有邊界移動現象，且管內的蒸汽的確對 組成控制質量之蒸汽作功。此作功量為 P171

50. 範例 6.11（續） –W =P1V1 = mP1υ1 現將控制質量的第一定律式5.11，寫出，並注意到動能與位能變化可予忽略，可得 1Q2 = U2 – U1 + 1W2 0 = U2 – U1 – P1V1 0 = mu2 – mu1 – mP1υ1 = mu2 – mh1 因此， u2 = h1 上述結果與先前利用控制容積分析所得的結論相同。 以下將舉兩個範例進一步說明暫態過程。  P172