I.P.S.S.C.T.P. Sandro Pertini Crotone

1. I.P.S.S.C.T.P.Sandro PertiniCrotone DIGI SCUOLA DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E PROBLEMI DI SCELTA Tutor prof.ssa Anna ALFIERI Docenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE – Enrico PANICONI

2. Walter Robert Fuchs (1937-1976)La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare. Alfréd RényiSe mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice Citazioni sulla matematica

3. disequazioni di primo grado e problemi di scelta • Operazioni in R • Operazioni fondamentali del calcolo letterale • Equazioni lineari • Risoluzione problemi di primo grado • Intervalli numerici Prerequisiti • Disequazioni: definizione, soluzioni, grado • Classificazione • Disequazioni equivalenti • Principi di equivalenza • Risoluzione di disequazioni lineari • Rappresentazione grafica delle soluzioni • Problemi riconducibili a disequazioni lineari Contenuti

4. disequazioni di primo grado e problemi di scelta • Definire una disequazione • Il significato dell’aggettivo lineare • Enunciare i dei due principi di equivalenza • Distinguere tra disequazioni sempre verificata • e disequazione impossibile Sapere • Applicare i principi di equivalenza • Eseguire la verifica delle soluzioni • Risolvere disequazioni lineari • Rappresentare graficamente le soluzioni • Rappresentare sotto forma di intervallo le soluzioni • Risolvere problemi applicando disequazioni lineari Saper fare

5. UD-1-Introduzione alle disequazioni. Disequazioni: definizione,grado,classificazione UD-2-Principi di equivalenza e loro conseguenze UD-3- Risoluzione di disequazioni di primo grado Rappresentazione grafica e simbolica delle soluzioni UD-4-Risoluzione diproblemi riconducibili a disequazioni di primo grado MODULO:disequazioni di primo grado e problemi di scelta

6. ANDIAMO AD INCOMINCIARE disequazioni di primo grado e problemi di scelta

7. La tua velocità non deve superare I 50 km orari Incontro delle disequazioni nella vita quotidiana Visione consentita VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI

8. A cosa servono le disequazioni? Le disequazioni servono a risolvere un gran numero di problemi Problema 1 - Uno studente ha riportato nei primi tre compiti di matematica i seguenti voti 4,5; 5,5; e 7. Quale voto deve conseguire per ottenere una media aritmetica superiore a 6 ? Problema 2 - Un automobilista si ferma ad un distributore per mettere nel motore mezzo litro di olio, che costa €16,00 al litro e della benzina che costa € 1,40 al litro. Quanti litri riesce a mettere al massimo nel serbatoio se possiede solo € 36,00 ?

9. Io ho scelto la ragazza PROBLEMA 3 Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe: Canone mensile di abbonamento € 12,00 Costo al minuto di conversazione10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione20 cent Quale gestore conviene scegliere ? Disequazioni e problemi di scelta Gestore 1) Gestore 2)

10. scuola2 Scuola 1 Disequazioni e problemi di scelta PROBLEMA 4 Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni: Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo Quale scuola conviene scegliere ?

11. Esempi di disuguaglianze Simboli di disuguaglianza sono: Maggiore Minore Maggiore od uguale Minore od uguale Disuguaglianze Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da un segno di disuguaglianza, formano unadisuguaglianza numerica

12. 1) 2) 3) 4) Definizione disequazione Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tradueespressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita Esempi di disequazioni

13. Esempio: data la disequazione verificare se e rappresentano delle soluzioni VERIFICA VERIFICA FALSO NON E’ SOLUZIONE Soluzioni di una disequazione Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito all’incognita rende vera la disuguaglianza VERO E’ SOLUZIONE

14. 1) Disequazione di primo grado Disequazione di secondo grado 2) Disequazione di quinto grado 3) Grado di una disequazione Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimoesponente con cui compare l’incognita Esempi Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI

15. E’ chiaro o devo ripetere Classificazione delle disequazioni

16. soluzioni soluzioni Pertanto, qualsiasi numero più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti Disequazioni EQUIVALENTI esempio Due disequazioni si dicono EQUIVALENTIse possiedono le stesse soluzioni Facile!

17. Utilitàdei principi di equivalenza I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in un’altra più semplice avente le stesse soluzioni

18. Primo Principiodi equivalenza • ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data Addizione Sottrazione Disequazioni equivalenti

19. Conseguenze del PRIMO PRINCIPIO Conseguenze delPrimo Principio • Regola del trasporto Si può trasportare un termine da un membro all’altro di una disequazione purché gli venga cambiato il segno (Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro) Esempio

20. Che bello!! Conseguenze delPrimo Principio 2) Regola della cancellazione a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellato Esempio b) se duetermini oppostisi trovano nello stesso membro essi possono essere cancellati Esempio

21. Disequazioni equivalenti - + 3 x 2 x 5 f Disequazioni equivalenti ( ) ( ) ( ) ( ) - × - - × - × + - × 4 3 x 4 2 4 x 4 5 p Secondo Principiodi equivalenza • Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data Esempio: b) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza Esempio: maggiore VERSO INVERTITO minore

22. Disequazione con denominatore 3 2 Disequazione senza denominatore Conseguenze delSecondo Principio • Eliminazione di denominatori numerici E’ possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m. Esempio m.c.m = 6

23. Ohhh.... Conseguenze del SECONDO PRINCIPIO Conseguenze delSecondo Principio • Eliminazione del coefficiente dell’incognita E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente Esempio Coefficiente dell’incognita

24. Conseguenze delSecondo Principio 3) Regola del cambiamento del segno Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso della disequazione MAGGIORE Esempio MINORE

25. Sembra tutto facile Risoluzione di disequazionidi primo grado: Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente: 1) Si eseguono le operazioni che vengono indicatenella disequazione( potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni ) 2)Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa all’applicazione delle conseguenze dei principi diequivalenza (cancellazione,trasporto, cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici

26. Risoluzione guidata di disequazioni • Esempio 1 Operazioni indicate(potenza,prodotto) 1° principio(cancellazione) 1° principio(Trasporto) Operazioni indicate(somma e differenza) 2° principio(Eliminazione coefficiente dell’incognita) Operazioni indicate(divisioni) Soluzioni della disequazione

27. Risoluzione guidata di disequazioni • Esempio 2 Operazioni indicate(potenza-prodotto) 1° principio(cancellazione) 2° principio(Eliminazione denominatore numerico) Operazioni indicate(divisioni-prodotti) 1° principio(Trasporto) Operazioni indicate(differenze) 2° principio(cambiamento di segno) Soluzioni della disequazione

28. Povero me!!! Prova tu Risolvi le disequazioni

29. Per rappresentare graficamentele soluzioni di una disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti corrispondono a numeri reali. I due simboli (meno infinito) e (più infinito) posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale, essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a sinistra che a destra. . . . . . . . -3 -2 -10 +1 +2 +3 ORIGINE Rappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: retta orientata 1

30. Per rappresentare graficamentele soluzioni di una disequazione si fa usodelle seguenti convenzioni: • linea continua per rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione ( ) • linea tratteggiataper rappresenta l’insieme dei valori che non sono soluzioni ( ) • cerchietto pieno per indicare che il valore corrispondente è una soluzione ( ) • cerchietto vuoto per indicare che il valore corrispondente non è una soluzione.( ) Rappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: convenzioni 2

31. Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: procedimento 3 • Si scrive l’equazione associata alla disequazione e si determina il valore che l’annulla • si riporta tale valore sulla retta orientata • da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni • si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che costituiscono l’insieme delle soluzionie dalla parte opposta una linea tratteggiata a rappresentare l’intervallo dei numeri che non sono soluzioni Per la rappresentazione si procede nel modo seguente Non ti preoccupare gli esempi chiariranno tutto prof. non ho capito

32. . . . . . . . 0 Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x > 2 Equazione associata alla disequazione X = 2 Esempio 1 2 Linea piena SOLUZIONI Linea tratteggiata NON SOLUZIONI 2 escluso dalle Soluzioni CERCHIO VUOTO

33. Rappresentare graficamente le soluzionidella disequazione x < - 3 . . . . . . . 0 Esempio 2 Equazione associata alla disequazione X = -3 -3 Linea tratteggiata NON SOLUZIONI -3 incluso nelle soluzioni CERCHIO PIENO Linea piena SOLUZIONI

34. Intervallo numerico 23 4 5 6 7 8 9 a b Estremo inferiore Estremo superiore Definizione di Intervallo numerico Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, l’insieme di tutti i numeri compresi tra a e b. I numeri a e b prendono il nome di ESTREMO INFERIORE ed ESTREMO SUPERIORE dell’intervallo e possono o meno appartenere all’insieme Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesitonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola Il tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso oppure escluso dall’intervallo Parentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso

35. -2 7 -2 7 -2 7 -2 7 Rappresentazione simbolica di intervalli numerici Esempi La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2e7 fanno parte dell’intervallo La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2e 7sono esclusi dall’intervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è esclusomentre 7 è incluso nell’intervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è inclusomentre 7 è escluso dall’intervallo Rappresentazione grafica

36. Utilizzo di simboli diversiper gli stessi concetti Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamente un intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartiene all’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa parte dell’insieme. Stesso significato

37. 0 1) esempio 3) 2) 4) Chi vuol provare PROVA TU Rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni e scriverle anche sotto forma di intervallo esercizi

38. Gestore 1) Gestore 2) Il problema verrà risolto secondo le tre fasi: • FASE 1:dal problema alla disequazione • FASE 2: risoluzione della disequazione • FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni PROBLEMI DI SCELTA PROBLEMA Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe: Canone mensile di abbonamento € 5,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent Quale gestore conviene scegliere ?

39. FASE 1: dal problema alla disequazioneFASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni • Indichiamo con X i minuti di conversazione • Calcoliamo quanto ci costa Wind • COSTO WIND = canone + costo conversazione = • Calcoliamo quanto ci costa Vodafone • COSTO VODAFONE = costo conversazione = Per risultare più convenienteWind rispetto a Vodafonedeve accadere che: COSTO WIND deve essere MINORE del COSTO VODAFONE Espressione che traduce in disequazione il problema dato

40. FASE 1: dal problema alla disequazioneFASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni Risolviamo la disequazione Trasporto prof. mi esce X maggiore di120 e’ giusto? Cambiamento di segno Eliminazione del coefficiente dell’incognita soluzioni Il risultato ci dice che la scelta di Wind risulta conveniente solo se facciamo più di 120 minuti di telefonate mensili

41. 0 20 40 60 80 100 120 140 Ohhh.... FASE 1: dal problema alla disequazioneFASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni Minuti di conversazione Intervallo di convenienza VODAFONE Intervallo di convenienza WIND

42. Va bene prof. ci provo io PROVA TU PROBLEMA Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni: Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo Quale scuola conviene scegliere ?

43. ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI, TURISTICI E DELLA PUBBLICITA’ “ S. PERTINI “ – CROTONE Classe 2a Sezione A A.S. 2007/2008 1)Cognome e nome ______________________________ Data ________ VERIFICA DI MATEMATICA (Argomento: disequazioni) 1) Della seguente disequazione, verificare se i valori a lato sono soluzioni. • Per la seguente disequazione scrivi le disequazioni ad essa equivalenti • ottenute operando come indicato a lato. 3) Risolvi la disequazione e rappresenta graficamente e simbolicamente le soluzioni. 4)Risolvi il problema Il noleggio di una macchina costa 50 € al giorno più 40 cent per ogni Km percorso, quanti Km si riescono a percorrere ogni giorno se non si vuole spendere più di 200?

44. Collegamenti ipertestuali • Copertina • Citazioni • Prerequisiti - contenuti • Sapere – Saper fare • Unità didattiche • Inizio modulo • Disequazioni nella vita • Impiego disequazioni • Problema 3 • Problema 4 • Disuguaglianze • Definizione disequazione • Soluzioni disequazioni • Grado disequazioni • Classificazione • Disequazioni equivalenti • Utilità principi di equiv. • Primo principio • Regola del trasporto • Regola cancellazione • Secondo principio • Eliminazione denominatore • Eliminazione coefficiente • Cambiamento di segno • Risoluzione disequazioni • Esempio 1 • Esempio 2 • Prova tu • Retta orientata • Convenzione • Rappresentazione grafica • Esempio 1 • Esempio 2 • Definizione intervallo • Rappresentazione intervallo • Utilizzo simboli diversi • Prova tu • Problema di scelta • Fase 1 • Fase 2 • Fase 3 • Prova tu • Verifica • Collegamenti ipertestuali