ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE

1. ACTIVITE : ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE Définitions Découverte Propriété 1 Découverte Propriété 2 Démonstration Propriété 1 Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Démonstration Propriété 2

2. Définitions Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. M Angle inscrit B A

3. Définitions Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle. O B Angle au centre A

4. 1.A la découverte des deux propriétés • a)Tracer un cercle C de centre O. Placer trois points A, B, M et N sur C. • b)Tracer l’angle inscrit AMB et l’angle au centre AOB. • Mesurer AMB et AOB.Quelle remarque peut-on faire ?

5. Angle inscrit M O B Angle au centre A Arc de cercle intercepté par les deux angles

6. AMB = 2 AOB M O B Propriété 1 (Propriété de l’angle inscrit) A Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

7. d)Tracer l’angle inscrit . e)Que peut-on dire des angles AMB et ANB? = AMB ANB N M O B A Propriété 2 Si deux angles inscrits interceptent le même arcalors ils ont la même mesure.

8. 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 1 Cas n°1 : [MB] est un diamètre de C. a) Démontrer que OMA est isocèle. b) Démontrer que AOM = 180 – 2 OMA c) En déduire que : AOB = 2AMB M O A B

9. a) Démontrer que OMA est isocèle. M O A B [OA] et [OM] sont deux rayons du cercle C donc OA = OB. OA = OM donc OMA est isocèle en O.

10. b) Démontrer que : AOM = 180 – 2 OMA. OMA est isocèle en O donc les angles à la base OMA et OAB sont égaux. M O Or AOM = 180° - (OMA + OAB) Donc AOM = 180° - 2 OMA A B

11. c) En déduire que : AOB = 2 AMB. OAB et AOM sont supplémentaires donc AOB = 180° - AOM. M O Or AOM = 180° - 2 OMA Donc AOB = 180° - (180° - 2OMA) AOB = 180° - 180° + 2OMA A B Donc AOB = 2 AMB.

12. M O B A C 2. Démonstration des deux propriétés Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB

13. Cas n°2 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB M O AOC = 2 AMC B COB = 2 CMB Or AOB = AOC + COB A C Or AOB = 2AMC + 2CMB = 2 AMB [MC] est un diamètre de C donc d’après la question a) : et

14. M O B C A 2. Démonstration des deux propriétés Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB

15. Cas n°3 : [MB] est un diamètre de C. En utilisant le résultat du cas n°1, Démontrer que : AOB = 2AMB M O AOC = 2 AMC BOC = 2 BMC Or AOB = BOC - AOC B C Or OAB = 2BMC – 2AMC = 2 AMB A [MC] est un diamètre de C donc d’après la question a) : et

16. 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N M AMB et AOB interceptent le même arc de cercle donc AMB = AOB :2 O B A

17. 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N M ANB et AOB interceptent le même arc de cercle donc ANB = AOB :2 O B A

18. 2. Démonstration des deux propriétés Propriété 2 En utilisant la propriété 1, démontrer la propriété 2. N M AMB = AOB :2 et ANB = AOB :2 O B AMB = ANB A donc

19. Fin