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Isomorfismo. Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:. Automorfismo.
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Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:
Automorfismo Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T éum isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.
Resultados Importantes Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.
Resultados Importantes Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se Exercícios: Transformações Lineares II
Operações com Transformações Lineares Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, definimos o conjunto das trans-formações lineares entre eles por: Observação:Se os espaços vetoriais reais são iguais então
Operações com Transformações Lineares Adição: Dados dois elementos do conjunto das transformações lineares entre espaços vetoriais reais, definimos:
Propriedades da Adição P1)Associativa P2)Comutativa
Propriedades da Adição P3)Elemento Neutro P4)Elemento Oposto
Operações com Transformações Lineares Multiplicação por escalar: Denominamos de produto escalar de uma transformação linear à seguinte função:
Propriedades da Multiplicação por escalar P1) P2) P3) P4)
Novo Espaço Vetorial Das considerações anteriores temos um novo espaço vetorial real, com as operações de adição e multiplicação por escalar como definidas:
Operações com Transformações Lineares Composição: Dados dois elementos do conjunto dos operadores lineares, definimos a composição como sendo:
Propriedades da Composição P1)Associativa P2)Distributiva
Propriedades da Composição P3)Elemento Neutro Obs: Em geral, a composição não é comutativa.
Operações com Transformações Lineares Potenciação: definimos a Potenciação por recorrência do seguinte modo:
Operadores Especiais Operador Idempotente: Operador Nilpotente:
Bases Matriz de uma Transformação Linear Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos:
Assim É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G
Bases Isomorfismo Especial Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, com dimensões n e m. Existe um isomorfismo tal que:
