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Métodos de integración por cuadraturas:

Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b):. Para ello tomamos n+1 puntos: (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ), …, (x n ,y n ) donde x 0 ≠ x 1 ≠... x n y buscamos un polinomio p 2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que:. P 2n+1 (x i ) = y i , i = 0,1, …,n.

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Métodos de integración por cuadraturas:

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Presentation Transcript

  1. Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b): Para ello tomamos n+1 puntos: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que: P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n Métodos de integración por cuadraturas: Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:

  2. Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio de interpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n). Lo podemos escribir del modo siguiente: Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Si no es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :

  3. La primera integral se puede re-escribir como:

  4. La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero: Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos una base ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces: luego la integral se puede escribir como:

  5. Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}: luego, para que la integral sea cero basta escoger:

  6. y, para que se cumpla: basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x) Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser los Polinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombre de: Cuadratura de Gauss-Legendre.

  7. Ejemplo: ¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando n=1 (2 puntos):

  8. Tomando n=2 (3 puntos):

  9. Por trapecios (3 puntos)h=1:

  10. Por Simpson (3 puntos)h=1:

  11. Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

  12. los valores de la tabla Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente cambio de variable:

  13. Ejemplo: Tomando n=2 (3 puntos):

  14. Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos la siguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:

  15. Calcular:

  16. ¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

  17. Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!

  18. Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):

  19. Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):

  20. Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):

  21. Tomando n=1 (2 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!

  22. Tomando n=2 (3 puntos):

  23. Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5): Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):

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