Statistiliste hüpoteeside kontrollimine

1. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine

2. Statistilised hüpoteesid Statistiliseks hüpoteesiks nimetatakse teatud teineteist välistavate väidete paari üldkogumi(te) või tema parameetrite kohta. Statistilisteks hüpoteesideks võivad olla näiteks oletused: 1) jaotusseaduse tüübi kohta; 2) kahe jaotuse parameetrite võrdsusest või olulisest erinevusest; 3) Juhuslike suuruste vahelise lineaarse seose olemasolust või puudumisest.

3. Alternatiivsete hüpoteeside paar H0 – nullhüpotees, mis tavaliselt väljendab uurijat mittehuvitavat juhtu (üldkogumi vastamine teatud standardile). Nullhüpoteesi ei ole võimalik tõestada. Selle vastuvõtmine tähendab, et kui uurija tahab mingit erinevust, mõju või seose olemasolu tõestada, siis tuleb tal mõõtmisi jätkata. H1 – sisukas e. alternatiivne e. konkureeriv hüpotees, mida uurija soovib tõestada ( tavaliselt mingi erinevuse, mõju või seose olemasolu).

4. Statistilise hüpoteesi kontrollimine Hüpoteeside kontrollimisel püütakse tõestada sisukas hüpotees nullhüpoteesi kummutamise teel. Selleks arvutatakse valimi andmete põhjal teatud teststatistik, mille teoreetiline jaotus nullhüpoteesi kehtivuse korral on teada. Juhul kui leitud teststatistiku väärtus on ebatõenäoline, võrreldes tema teoreetilise jaotusega, loetakse nullhüpotees kummutatuks ja sisukas hüpotees tõestatuks. Kui sisukat hüpoteesi tõestada ei õnnestu, jäädakse nullhüpoteesi juurde, mis võib tähendada nii seda, et 1) olukord vastas nullhüpoteesile kui ka seda, et 2) valimi maht oli liiga väike sisuka hüpoteesi tõestamiseks.

5. Vead hüpoteeside kontrollimisel Kuna statistiliste hüpoteeside kontrollimisel tehakse valimi põhjal järeldusi üldkogumi kohta, on võimatu vältida vigu. Vigu saab olla kaht liiki. 1. Esimest liiki viga tekib siis, kui võetakse vastu sisukas hüpotees, aga tegelikult on õige nullhüpotees. See on raske viga, mis tähendab, et uurija “tõestas” erinevuse, mõju või seose mida tegelikult ei ole, vaid mis juhuslikult ilmnes mõõdetud valimis. 2. Teist liiki viga tekib siis, kui jäädakse nullhüpoteesi juurde, ehkki tegelikult on õige sisukas hüpotees. See on kergem viga, mis enamasti tähendab, et soovitu tõestamiseks tuleb mõõtmisandmeid juurde koguda.

6. Olulisuse nivoo e. riskiprotsent Esimest liiki vead on sageli ohtlikud vead, mille tegemist tuleks võimalikult vältida. Esimest liiki vea tegemise suurimat lubatavat tõenäosust nimetatakse olulisuse nivooks e. riskiprotsendiks. Olulisuse nivood tähistatakse tähega a. Olulisuse nivooks valitakse mingi väike arv, sageli 0,1; 0,05; 0,01 (sõltuvalt selles, kui rasketele tagajärgedele võib 1. liiki vea tegemine viia).

7. Kriitilised väärtused (punktid) Statistiliste hüpoteeside kontrollimine toimub tavaliselt vahemikhinnangute kaudu. Olgu näiteks nullhüpoteesiks see, et hinnatav parameeter z omab etteantud väärtuse z0. Seega H0: z =z0 Alternatiivne hüpotees: H1: z z0. Leiame parameetri a jaoks usaldusvahemiku (zal , zül), nii et Kui antud z0 väärtus satub sellesse vahemikku, loeme nullhüpoteesi õigeks; vastasel juhul on õige aga alternatiivne hüpotees. Usalduspiire zal , zül nimetatakse hüpoteesi H0 kriitilisteks väärtusteks e. kriitilisteks punktideks.

8. Statistiline kriteerium Üldisemalt: Nullhüpoteesi kontrollimiseks moodusatatakse teatud juhuslik suurus Z (statistiline kriteerium), mille täpne või ligikaudne jaotus on teada. Statistilise kriteeriumi Z võimalike väärtuste hulk jagatakse kriitiliste punktide zkr abil kaheks mittelõikuvaks alamhulgaks: 1) kriitiliseks piirkonnaks; kui kriteeriumi väärtus satub kriitilisse piirkonda, siis lükatakse nullhüpotees tagasi; 2) ülejäänud piirkonnaks; kui kriteeriumi väärtus satub sellesse piirkonda, siis pole alust nullhüpotees tagasi lükata.

9. Parempoolne kriitiline piirkond Kriitilised piirkonnad jagunevad: 1) parempoolne kriitiline piirkond; kriitiline punkt zkr leitakse nii, et Kasutatakse hüpoteeside paari kontrollimiseks. Tabelite põhjal leitakse kriitiline punkt zkr; valimi(te) põhjal leitakse teststatistiku empiiriline väärtus zemp. Kui zemp > zkr, siis lükatakse nullhüpotees tagasi. Kui zemp zkr, siis jäädakse nullhüpoteesi juurde.

10. Vasakpoolne kriitiline piirkond 2) vasakpoolne kriitiline piirkond; kriitiline punkt zkr leitakse nii, et Kasutatakse hüpoteeside paari kontrollimiseks. Kui zemp < zkr, siis lükatakse nullhüpotees tagasi. Kui zemp zkr, siis jäädakse nullhüpoteesi juurde.

11. Kahepoolne kriitiline piirkond 3) kahepoolne kriitiline piirkond jääb ühest kriitilisest punktist z1 vasakule ja teisest kriitilisest punktist z2 paremale. Kriitilised punktid leitakse enamasti tingimustest Kasutatakse hüpoteeside paari kontrollimiseks. Kui zemp < z1 või zemp > z2, siis lükatakse nullhüpotees tagasi; Kui z1zemp z2 siis jäädakse nullhüpoteesi juurde.

12. Näide Antud keemiline protsess kulgeb optimaalselt, kui kasutatava lahuse pH on 8,30. Tehti 5 pH mõõtmist, mille tulemuseks osutusid 8,29; 8,30; 8,31; 8,30; 8,32. Kas võib nende andmete põhjal 5%-lise eksimisriskiga lugeda lahuse pH võrdeks 8,30-ga? Lahendus. Nullhüpoteesiks H0 olgu väide, et lahuse pH = 8,30. Alternatiivne hüpotees H1: pH 8,30. Arvutame pH keskväärtuse jaoks usaldusvahemiku valemi kohaselt . Valimi andmetel:

13. Studenti jaotuse täiendkvantiil: Kriitilised väärtused: Kuna siis võtame vastu nullhüpoteesi: antud valimile toetudes võib 5%-lise eksimisriskiga väita, et protsess kulgeb optimaalselt. Näide