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1.2.2 单位圆与三角函数线

1.2.2 单位圆与三角函数线. y. T. P. N. 授课人 : 陆 梅. x. o. M. A. 复习引入. 1. 三角函数的定义：. 正弦： (4) 余割 : 余弦： (5) 正割 : 正切： (6) 余切 :. sin α =y/r;. csc α =r/y. cos α =x/r;. sec α =r/x. 一全二正弦，三切四余弦. tan α =y/x;. cot α =y/x.

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1.2.2 单位圆与三角函数线

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Presentation Transcript

  1. 1.2.2 单位圆与三角函数线 y T P N 授课人: 陆 梅 x o M A

  2. 复习引入 1.三角函数的定义： • 正弦： (4)余割: • 余弦： (5)正割: • 正切： (6)余切: sinα=y/r; cscα=r/y cosα=x/r; secα=r/x 一全二正弦，三切四余弦 tanα=y/x; cotα=y/x 2.任意角α的三角函数的符号： sinα=y/r, r>0,所以, sinα和cscα的符号由y决定 第一象限和第二象限为正，第三象限和第四象限为负； cosα=x/r ,r>0,所以，cosα和secα的符号由x决定 第一象限和第四象限为正，第二象限和第三象限为负； tanα=y/x,所以，tanα和cotα的符号由y与x的同号与否决定; 第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负

  3. 新课讲授 例题:大观览车在转动的过程 中，座椅离地面的高度随 着转动角度的变化而变 化，二者之间有怎样的相 依关系呢？

  4. y 以观览车转轮中心为原点， 以水平线为x轴， 以转轮半径为单位长 建立直角坐标系（如图） T P N α o x A M 新课讲授 设P是转轮边缘上的一点， 它表示座椅的位置，记∠xoP为α, 请同学们列出α的 正弦、余弦、正切的表达式

  5. y P N α o M x 新课讲授 一、单位圆： 1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。 2、单位圆与x轴的交点： 单位圆与y轴的交点： （1，0）和（-1，0） T （0，1）和（0，-1） 3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M， PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影 A

  6. y P N α o M x 新课讲授 4、单位圆与角α终边的交点： P(cosα,sinα) 其中，cosα=OM , sinα=ON 角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

  7. y Y’ y P N A α o P x M N y Y’ α y Y’ o M x M M A o x o A x P N N P 新课讲授 Y’ T A T α终边在第一象限 T α终边在第二象限 符号 （1） （2，3) α终边在第四象限 T α终边在第三象限

  8. 新课讲授 Y’ y y Y’ P A N P o o x x A M M y Y’ y Y’ P N α终边在x轴正半轴 α终边在x轴负半轴 符号 A o x o A （1） x （2，3） α终边在y轴正半轴 P N α终边在y轴负半轴

  9. 3.三角函数线 (1) 正弦线：轴上向量ON叫做α的正弦线 (2)余弦线：轴上向量OM叫做α的余弦线 (3)正切线：轴上向量AT(AT’)叫做α的正切线 （以A为原点建立y’轴与y轴同向， y’轴与α的终边或反向延长线 交于点T（T’),则tanα=AT(AT’)) 新课讲授 y Y' P N α o A x M T'

  10. T2 N1 P1 M2 M1 Y’ y N2 A O X P2 T1 例练讲解 例1、分别作出2π/3和-3π/4的正弦线、余弦线和正切线 解：在直角坐标系中做单位圆 以OX轴为始边作2π/3 的终边 与单位圆交于P1点 作P1M1⊥OX轴，垂足为M1，由单位圆与OX正方向的交点A作OX轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点 则Sin(2π/3)=M1P1=ON1, Cos(2π/3)=OM1, Tan(2π/3)=AT1

  11. 3、特殊的三角函数值 与三角函数线的关系 例：sin α=1/2, 求α cos α= ，求α 新课讲授 y Y' 注意：1、正弦线、余弦线、正切线 是三角函数的几何意义表现形式 T P N 2、正弦线、余弦线、正切线 与三角函数符号的关系 α o M A x

  12. y T P N α o M A x 例练讲解 例2 设α是任意角，作α的正弦线、余弦线、正切线， 由图证明下列各等式: （1）sin²α＋cos²α＝1 ； 证明：（1）若角α终边落在象限内，由 图可知sin²α＋cos²α =ON²+OM²=PM²+OM² =OP²=1 若角α的终边落在轴上 则|sinα|和|cosα|必有一个为1， 另一个为0， sin²α＋cos²α＝1 象限角 轴角

  13. y T P N α o M A x 例练讲解 （2）tanα=sinα/cosα；（α是锐角） 证明：tanα=MP/OM =sinα/cosα （3）|sinα|+|cosα|≥1 证明：若角α终边落在象限内， 由图可知，∆OPM中 |MP|+|OM| 〉|OP|=1 (三角形两边之和大于第三边） 若角 α终边落在轴上， |MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0 |MP|+|OM|=1 而|MP|=|ON|=| sinα|，|OM|=| cosα| 故|sinα|+|cosα|≥1 象限角（2） 象限角（3） 轴角（3）

  14. T 若π/4＜θ＜π/2，则下列成立的不等式是A．sinθ＞cosθ＞tanθ; B．cosθ＞tanθ＞sinθ; C．tanθ＞sinθ＞cosθ; D．sinθ＞tanθ＞cosθ. y P N θ o A x M 课堂练习 解：∵0＜θ＜π/2时，sinθ＜tanθ　 ∴A、D不成立　　又由三角函数线的意义知， 当π/4＜θ＜π/2时 　根据大角对大边的道理知 sinθ＞cosθ 所以，应选择C

  15. 课堂小结 1、单位圆：半径为单位长度的圆 2、三角函数线： （1）正弦线 （2）余弦线 （3）正切线 3、三角函数线的应用

  16. 布置作业 课本：P22 练习A 1、 P23 练习B 2 基础训练：本节内容

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