バラエティー番組で、出演者が口でくわえたロープで４トンのトラック（ 4000 kg ）を引っ張っていた。

1. 小テスト解説 バラエティー番組で、出演者が口でくわえたロープで４トンのトラック（4000 kg）を引っ張っていた。 力を加え始めてから２０秒間で、静止した状態から歩く程度の速さ（3.6 km/h = 1 m/s）まで トラックが加速したとする。　①この１０秒間の平均の加速度はいくらか？ ②出演者が口でくわえたロープでトラックに加えた力は何 N か？また、それは何重力キログラムか？ ただし、重力加速度 g = 10 m/s2とせよ。摩擦は無視せよ。 [求め方] 「２０」の間違いでした。 ニュートンの運動方程式： F = ma （力 Fと、質量 mと、加速度 aの関係式） F, m, aのうち、２個がわかっていれば、 後の１つを求めることができる。 今、m = 4000, a = 0.05で２個わかっている。 F = 4000×0.05 = 200 加速度：１秒あたりの速度の変化 20 sで、1 m/sの速度変化 Dv Dt 1 20 a = = = 0.05 1 kgf（1重力キログラム）：1 kgの物体に働く重力の大きさ 重力：F = mg、1 kgf≒10 N 200 N ≒ 20 kgf 答：① a = 0.05m/s2　 ② 　　200 N, 20 kgf 5ページの図の物体には、作用・反作用の関係にある力が２組あります。 どの力とどの力が作用・反作用の関係にあるかを書きなさい。 （図にはすべての力が書き込まれているわけではない。） 作用・反作用の法則 ＡがＢに力をおよぼせば、ＢもＡに力をおよぼす。 その力の大きさは同じで、向きは逆向き 垂直抗力 物体Ａ 左の図には、物体Ａに働いている力だけが、描かれている。 物体Ａは、逆向きで同じ大きさの力を、 物体Ａに力をおよぼしている物体におよぼしている。 床 重力 物体に働く重力 地球が物体を引っ張る力 と 物体が地球を引っ張る力 垂直抗力 水平面（床）が物体を押す力 と 物体が水平面（床）を押す力 答　① 　　　　　　②　 第5回 （5/17） 1ページ

2. 小テスト解説（つづき） 月の質量は地球の８１分の１、月の半径は、地球の27％とすると、月面における重力加速度は、 地球の約何分の１か？ [求め方] 万有引力の法則 地表・月面にある質量mの物体 大きさはrに対して無視できるほど小さい m1 F m r m 地球 M 月 0.27r r m2 M 81 F m1m2 r2 F = G M 81 m (0.27r)2 F = G mM r2 mM r2 F = G F ≒ G ×0.169 1 6 地球や月はほぼ、球対称である。 この場合、地球や月の全質量が 中心に存在するとして重力を 計算してもかまわない。 これは地表面及び、その上空には 適用できるが、地下には適用できない。 0.169 ≒ 1 6 約 倍 答： 　 第5回 （5/17） 2ページ

3. 等速円運動（教科書1.5, p17） 直行座標 x,y と 極座標 r,q y x = r cos q y = r sin q P 角qは、＋ｘ軸を基準とし、 質点が反時計回りに動くと 角qは増加する。（qには±の符号がつく） （qは、大きさだけでなく、向きの情報も含む。） r r sin q q x O r cos q 角qの単位： [rad]（ラジアン） 円の弧の長さは、中心角q [rad]に比例 弧の長さ s = rq（q = 1のとき、s = r） 中心角qが360°のとき、 円弧の長さは円周2prなので 2pr= rq q = 2p つまり、360°は2p [rad] 1 rad = ≒ 57.3° 弧の長さ r 1 rad の定義 1 rad 円の中心O 半径 r 360° 2p 例題（教科書p18問2,問3） 180°= rad, 90°= rad, 60°= rad, 45°= rad, 30°= rad 半径r, 中心角qの扇形の面積は、 r2qであることを説明せよ。 1 2 第5回 （5/17） 3ページ

4. 等速円運動 （円周上を一定の速さで運動） 同じ速度（ベクトル）ではない 同じ速さ（スカラー） 例：質点Pが原点Oを中心とする半径 r の 円周上を一定の速さ v で運動 角位置 q(t) = wt + q0（時刻t=0 でq = q0） 角速度：w = x(t) = r cos(wt+q0) y(t) = r sin(wt+q0) vx(t) = = －wr sin(wt+q0) vy(t) = = wr cos(wt+q0) v = √vx2 + vy2 = rw v ⊥r dq dt dx dt 参考：v = rは定数で 変化しない。 dx dt 教科書 付録Ａ４ P327 参照 dy dt dvx dt Ax(t) = = －w2r cos(wt+q0) = －w2x Ay(t) = = －w2r sin(wt+q0) = －w2y a = √ax2 + ay2 = w2r = vw = dvy dt v2 r 注意：a ⊥v 加速度は、位置ベクトルと同じ方向で逆向き a = －w2r 向心加速度 （加速度は常に円の中心を向いている） [s－1] 角速度 w：単位時間あたりの回転角 回転数 f：単位時間あたりの回転数 １回転するときの回転角は2p rad w = 2pf [s－1] [s] 周期T：1回転にかかる時間 T = = 2p w 1 f 第5回 （5/17） 4ページ

5. 例題（教科書 p20, A12） 半径５ｍのメリーゴーランドが周期１０秒で回転している。 （１）１秒あたりの回転数fを求めよ （２）中心から 4 m のところにある木馬の速さ v を求めよ。 （３）この木馬の加速度の大きさ aを求めよ。 例題（毛利さんの宇宙実験ビデオ参照） 質量：100 g ①　おおよその回転周期 T を ビデオから求めよ ビデオでは棒だが、 質量を無視できるひもとする。 ひもの長さは40 cm とする。 ②　求めた周期 T より単位時間あたりの回転数 f を求めよ ③　角速度wはいくらか ④球の加速度の大きさ（絶対値）はいくらか ⑤球が受けている力はいくらか ⑥　ひもの張力はいくらか 第5回 （5/17） 5ページ

6. 放物運動（教科書3.3, p34） 初速度にはv0という 記号を使うことが多い 質量mの物体を、原点Oから 水平面と角q0の方向に 初速度v0で t = 0に投げる時、 物体はどのような運動をするか？ ニュートンの運動方程式 F = ma 物体に働く力Fは、重力のみ F = mg (gは鉛直下向き） （空気抵抗は無視する。） 運動方程式に代入すると、 mg = ma a =g (ax, ay, az) = (0, 0, －g) 角度の初期値や t = 0 おける角位置には q0という記号を用いることが多い 教科書p35 図3.9a それぞれの軸に分解すると g ≒ 9.8 > 0 ax = 0 = 0 = 0 ay = 0 = 0 = 0 az = －g = －g = －g dvx dt dvy dt dvz dt 積分 積分 積分 d2x dt2 d2y dt2 d2z dt2 物体の運動は、それぞれの軸で独立に計算することができる。 vx = C （一定） t = 0における初速度が v0x = v0 cos q0とすると、 vx = v0 cos q0 vy = C （一定） t = 0における初速度が v0y = 0とすると、 vy = 0 vz =－gt + C t = 0における初速度が v0z = v0 sin q0とすると、 vz = －gt + v0 sin q0 dy dt dx dt dz dt = v0 cos q0なので = 0 なので = －gt + v0 sin q0なので y = C t = 0 でy = 0 なので y = 0 1 2 x = (v0 cos q0)t + C t = 0 でx = 0 なので x = v0t cosq0 z = (－ gt2 + v0 sin q0)t + C t = 0 でz = 0 なので z = －gt2 + v0t sin q0 2回微分すると・・・ （確認） 1 2 2回微分 すると・・・ （確認） 第5回 （5/17） 6ページ

7. 放物線 前ページの問題の軌道を求めてみる。（xz平面で） x = v0t cos q0　・・・① y = 0 z = －gt2 + v0t sin q0　・・・② 1 2 x v0 cos q0 ①より　t = これを②に代入して tを消去する。 x2 v02 cos2q0 x v0 cos q0 1 2 z =－ g + v0 sin q0 z g 2v02 cos2q0 z = －x2 + (tan q0) x　・・・③ 定数 定数＞０ （z = －ax2 + bx の形）これは上に凸な放物線 x 落下点（到達距離R）は、③式の x = 0でない方の解である。 2v02 cos2q0 g g 2v02 cos2q0 z = －x(x－ tan q0) = 0 2v02 cos q0 sin q0 g g 2v02 cos2q0 z = －x(x－ ) = 0 2v02 cos q0 sin q0 g v02 sin 2q0 g x = R = = 　　　　　　　　・・・④ 三角関数の加法定理： 2 sin q0 cos q0 = sin 2q0を用いた。 ④式より、初速度v0が一定の条件下では、q0が45°の時に到達距離Rが最大となる。 ただし、実際は空気抵抗があるので、45°より小さい時に到達距離Rが最大になる。 第5回 （5/17） 7ページ

8. ラジオメーター 風車・かざぐるま：　風を受けて回転する。 ラジオメーター：　光を受けて回転する。 ４枚羽根で、それぞれの羽根は、片面が白く、片面が黒い 羽根の支柱は、摩擦が少なく、回転しやすいようになっている 内部は低圧で真空に近いのですが、完全な真空にすると、 回らなくなってしまいます。 上から見た図 実験１：電球の光をあててみる。 実験２：電球の光のうち、青い光だけあててみる。 実験３：電球の光のうち、赤外線のみをあててみる。 問題：どのような原理で、回っているのでしょうか？　ヒント：内部を完全な真空にすると回らない。 第5回 （5/17） 8ページ

9. 　　　　　　学科学生番号： 氏名： 　 135°、270°は何 radか 答：135°= 270°= 福知山線の脱線事故では、列車は 108 km/h (30m/s)でカーブに突っ込んだ。線路の半径を 300 m とした時、 列車や乗客の加速度はいくらか？ 300 m 答： 戦艦大和の主砲は、砲弾を800 m/sで発射することができる。水平面とのなす角が45度で砲弾を発射した 場合の2秒後の位置と到達距離（落下点）はいくらか。主砲の位置を原点にとり、空気抵抗は無視せよ。 ただし、重力加速度 gは、10 m/s2 とし、位置は、√２を含む式で答えてもよい。 z 45° 2秒後 x = z = 到達距離 x O この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら書いて下さい。（特になければ白紙でもよい。） 第５回　５月１７日