L'I.I.S. Gaetano De Sanctis di Roma presenta

1. L'I.I.S. Gaetano De Sanctis di Roma presenta M&M MATEMATICA & MEDIOEVO Liceo Classico, classi IC, IIC, IIIC Coordinatrice Lucia Fellicò

2. MATEMATICA & MEDIOEVO M&M La Matematica nell’Architettura e nell’Arte, nella Cultura e nei Giochi del Medioevo

3. SOMMARIO • L’ARCHITETTURA • LA CULTURA • I GIOCHI • METODI MODERNI PER PROBLEMI ANTICHI

4. M&M M La atematica nell’architettura e nell’arte edievale M

5. M&M • La sezione aurea • Il Castello di Ruggiero II ad Aversa • Il Castel del Monte in Puglia

6. Ogni costruzione architettonica di per sé, avendo forma e dimensioni è legata alla matematica, ma alcune più di altre sono veramente impregnate dello “spirito della geometria”. Per analizzare questa presenza in due castelli medievali dobbiamo riscoprire il valore estetico del rapporto aureo tra due segmenti, noto fin dai tempi più antichi.

7. “Dividere un segmento in modo che il rettangolo dell’intero segmento e la parte maggiore sia equivalente al quadrato della parte rimanente.” È il problema posto da Euclide nella proposizione 11 del libro II Con linguaggio moderno: Dividere un segmento in due parti in modo che la parte maggiore sia media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente Determinare H in modo che: AB : AH = AH : HB A H B

8. LA SOLUZIONE DI EUCLIDE B C H H divide il segmento AB in media ed estrema proporzione. D A E Detti a la lunghezza del segmento AB e x quella della sezione AH richiesta, la costruzione geometrica è quindi un procedimento per risolvere l’equazione quadratica: (a-x)a = x2 ovvero x2 + ax = a2

9. IL VALORE ESTETICO In effetti osservando quattro segmenti diversi ravvicinati a, b, c, d se essi sono in proporzione, cioè se a:b=c:d la sensazione visiva che se ne ricava è piacevole. Tale piacevolezza estetica diventa poi ancora maggiore, per il ritmo che se ne ricava, se b = c, cioè se la proporzione diventa a:b = b:d (proporzione continua). Se poi tra le grandezze c’è l’ulteriore relazione d = a-b (e siamo nel caso della sezione aurea) l’occhio, o meglio la mente tramite l’occhio, avverte l’esistenza della doppia relazione e ne trae una sensazione di grande armonia.

10. L’ASPETTO “MAGICO” Consideriamo la proporzione ottenuta AB : AH = AH : HB H A B e applichiamo la proprietà dello scomporre: (AB – AH) : AH = (AH – HB) : HB cioè HB : AH = (AH – HB) : HB ovvero AH : HB = HB : (AH – HB) Cioè HB è la sezione aurea di AH; dunque la sezione aurea ha la proprietà di rigenerarsi.

11. IL RETTANGOLO AUREO E IL TRIANGOLO AUREO 36° Hanno le dimensioni in rapporto aureo 36° Anche per essi vale la proprietà di rigenerarsi: Staccando un quadrato dal rettangolo si ottiene un nuovo rettangolo aureo; Tracciando la bisettrice dell’angolo alla base si ottiene un nuovo triangolo aureo

12. Siamo ora pronti per apprezzare l’impianto progettuale di due castelli medievali: quello di Ruggero II ad Aversa e quello di Federico II in Puglia. Entrambi fanno largo uso della sezione aurea, sia per il suo valore estetico, ma anche per la sottolineata valenza “magica” Nel 1135 Ruggero II vinse, con le sue truppe, un duro assedio della città di Aversa in Campania. La città si ampliò secondo l’originario sistema radiocentrico inglobando all’interno di un nuovo tracciato murario le parrocchie normanne di S.Maria a Piazza, S.Nicola, S.Giovanni Evangelista e S.Andrea che avevano favorito la nascita di nuovi quartieri. Ruggero II di Altavilla (1095-1154)

13. IL CASTELLO DI RUGGIERO II Sorse ad Aversa nel 1135. Poiché i costruttori del castello di Saone furono Roberto, figlio di Tancredi, e Guglielmo suo figlio, gli stessi che erano al seguito di Ruggiero, nella I Crociata, anche a costoro potrebbe assegnarsi il Castello di Aversa, che presenta analogie con quello di Saone. Di forma quadrata, con torri merlate agli angoli fu elaborato con il modulo della sezione aurea che vediamo ripetersi più volte nell’impianto dello schema, anche se, in seguito a vari rifacimenti, la struttura originaria è stata più volte trasformata.

14. Esaminandone la pianta originaria si notano quattro torri quadrate i cui basamenti, che misurano 84 piedi per lato, sono posti a distanza di 168 piedi l'uno dall'altro, a formare un grande quadrato dal lato di 336 piedi. Su questi basamenti si ergono le torri, che formano un altro quadrato (lato 272 piedi), interno al precedente. La circonferenza inscritta in questo secondo quadrato contiene esattamente al suo interno l'antico nucleo del castello vero e proprio, sempre di forma quadrata.

15. Ora è immediato verificare che il lato delle torri (52 piedi) è la sezione aurea del lato dei basamenti (84 piedi), e questo è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al castello (136 piedi), mentre la distanza tra i basamenti delle torri (168 piedi) è la sezione aurea del diametro di tale circonferenza (272 piedi). 336 Inoltre, constatiamo che: 336=12x28=12x(4+6+8+10) cioè il numero 336, lato del castello, è il risultato della moltiplicazione del numero sacro 12 (12 sono i segni zodiacali, 12 i mesi dell'anno, 12 le ore del giorno, 12 le porte del Paradiso ecc.), per la somma della serie di numeri pari, rappresentativi dei poligoni regolari dal quadrato al decagono (=circolo), quest'ultima ritenuta figura geometrica universale e perfetta. Senza contare che 28 è un numero perfetto, cioè è uguale alla somma dei suoi divisori (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).

16. Federico II di Svevia Federico II, l'illuminato Imperatore medioevale protettore di scienziati e matematici, tra cui Leonardo Fibonacci, che gli dedicò il suo lavoro "Practica geometriae" visitò più volte il castello di Aversa e ne creò il porticato interno, ed è molto probabile che il suo impianto sia servito come tipologia ai castelli pugliesi e siciliani.

17. IL CASTEL DEL MONTE Il più famoso, il più bello, Castel del Monte, gioca con il sole, con i numeri, con la matematica e l'astronomia. Sembra la perfetta incarnazione della razionalità.

18. Leonardo Pisano, figlio di Bonacci, il più grande matematico del medioevo Indubbiamente Fibonacci, che discuteva con Federico II e gli scienziati della sua corte di problemi matematici, deve avere influito sulle scelte progettuali, così piene di implicazioni astronomiche, geografiche e matematiche, cosi impregnate dello "spirito della geometria".

19. Anche in questo capolavoro architettonico c'è una presenza massiccia della media ed estrema proporzione, che è ben visibile, ancor prima di entrare, nel timpano del portale (un triangolo i cui lati sono la sezione aurea della base), ed anche negli archi ciechi che collegano il piano superiore al cortile, e nelle sale trapezoidali in cui la base minore è la sezione aurea della maggiore. Vediamo ora in dettaglio come il castello nasca da una formulazione geometrica che unisce armonicamente le leggi della matematica e della geometria con quelle naturali dell'astronomia e della geografia.

20. Se tracciamo quattro rettangoli aurei che si intersecano perpendicolarmente a due a due, notiamo subito che al centro si disegna un ottagono, ed un secondo ottagono si traccia alla periferia. Questi due ottagoni saranno le pareti delle sale del castello. E' immediato constatare che i lati dei due ottagoni sono in rapporto aureo.

21. Infatti, se dal centro della composizione conduciamo delle rette che passino per i punti in cui i rettangoli tracciati prima si intersecano, otteniamo dei triangoli simili come OAB e OA'B', le cui altezze sono rispettivamente la metà delle due dimensioni dei rettangoli, perciò il loro rapporto di similitudine è aureo. O Ma non basta, perchè i triangoli isosceli evidenziati nel disegno, con le loro altezze determineranno lo spessore delle cortine, ossia dei muri esterni del castello e con la lunghezza dei cateti quella che deve essere la lunghezza di ogni lato della torre. A’ B’ H’ A B H E le torri dovranno necessariamente essere ottagonali perchè l'impone l'angolo di 135° che si apre tra le coppie dei triangoli. Infine i raggi tracciati prima producono il disegno trapezoidale delle sale, nelle quali, pertanto, la base minore è la sezione aurea della maggiore.

22. M&M La atematica Nella cultura edievale M M

23. M&M • LEONARDO PISANO • AL KWARIZMI • NICOLA DA ORESME

24. Dopo lo scisma dell’Impero romano la grande eredità culturale del mondo antico era stata divisa in due. L’Europa era rimasta con il retaggio latino, che le aveva dato un lingua comune e le fondamentali concezioni del Diritto. La Filosofia e le Scienze erano monopolio della cultura greca, da cui l’Occidente era rimasto irrevocabilmente separato. “Intellettuale” nel Medioevo era colui che conosceva il latino e le leggi. Non sapeva nulla di medicina né di geometria: ignorava il compasso, ignorava lo zero. Né l’uomo medievale d’occidente aveva soverchie curiosità culturali: era sopraffatto dalla fame, dal freddo e dalla paura. Ma con la nascita dei comuni le cose cambiarono. Ci fu una vera e propria rivoluzione economica . Il mercante medievale era audace e intraprendente. Il progresso economico risvegliò l’amore per il sapere; ma ancora più decisivo fu il contagio della cultura araba.

25. I mediatori tra la cultura araba e l’Europa furono gli ebrei: essi conoscevano sia l’arabo che il latino , e tradussero l’uno nell’altro. Una loro dinastia, gli Halevi , regalò all’Europa gli Elementi di Euclide, il Canone di Avicenna e i commentari di Averroè ad Aristotele. Euclide Il canone di medicina di Avicenna Averroè

26. I mercanti italiani dunque portarono da terre lontane con le droghe e l’oro anche nuove (e antiche) conoscenze. Uno di essi, un mercante di Pisa, Leonardo detto Fibonacci dette un enorme impulso alle conoscenze matematiche dell’epoca Nacque verso il1170 da un notaio della repubblica di Pisa. Questi nel 1192 fu inviato alla dogana di Bougie, vicino Algeri, e di qui invitò il figlio perché imparasse i nuovi procedimenti aritmetici che gli Arabi avevano appreso dagli Indiani. Leonardo, affascinato dalla nuova scienza,andò molto oltre le richieste del padre, lasciò Bougie e percorse tutto il Mediterraneo per studiare. Conobbe gli Elementi di Euclide e le idee di Al Khwarizmi.

27. Ed in effetti la Practica Geometriae è modellato sugli Elementi di Euclide e il Liber Abaci è un compendio di quanto aveva appreso da Al Khwarizmi e da Abu Kamil, A proposito di quest’ultima opera scrive lo stesso Leonardo: Con studio assiduo e impegnandomi in discussioni giunsi a comprendere quanto di essa si studiava in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza, luoghi che ripetutamente visitai per i miei viaggi commerciali. Per questo considerai l’algoritmo e gli Archi di Pitagora quasi un errore in confronto al procedimento degli Indi. Riassunto in breve tale procedimento degli Indi, studiandolo più attentamente e aggiungendovi qualcosa di mia iniziativa e altro ancora apponendovi delle sottigliezze dell’arte geometrica di Euclide, mi sono impegnato a comporre nel modo più chiaro possibile questo libro diviso in 15 capitoli.

28. La numerazione adottata a quell’epoca era quella romana, di tipo addittiva. Tale scrittura additiva dei numeri rendeva però complessa l'esecuzione delle operazioni aritmetiche. Si utilizzava un apposito strumento, l’abacus: costituito da una tavoletta di legno o terracotta con delle scanalature parallele nelle quali si disponevano le pietruzze, dette calculi, da cui la parola calcolo per indicare qualsiasi procedimento operativo. La numerazone posizionale che Leonardo aveva appreso da Al Khwarizmi semplificava notevolmente la procedura, e proprio dal nome di questo matematico arabo deriva il termine algoritmo

29. Al-Khwarizmi scrisse tra l’altro il trattato “Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi”, in cui veniva descritto il sistema posizionale decimale inventato dagli indiani; esso venne tradotto in latino attorno al 1120 con il titolo “Algoritmi de Numero indorum”. La traduzione latina iniziava così: “Dixit Algoritmi… e per questo a poco a poco la parola Algoritmo finì per indicare non il nome del matematico, ma quello di qualsiasi procedimento di calcolo. Grande fu la disputa all’epoca tra abacisti e algoritmisti e Leonardo, con il suo Liber Abaci contribuì certamente all’affermarsi di questi ultimi

30. Stampa allegorica che rappresenta la disputa tra abbacisti e algoritmisti LA MATEMATICA Pitagora (abacista) Boezio (algoritmista)

31. IL “LIBER ABACI” Nei primi sette capitoli Fibonacci presenta le nove “figure” degli Indiani e il signum 0 e le operazioni con essi. Ogni figura ha il valore che le compete, moltiplicato per la potenza di 10 corrispondente al suo posto (numerazione posizionale). Lo 0 serve per occupare i posti vuoti: 2325 significa 2·103+3·102+2·10+5 4204 significa 4·103+2·102+4 Notiamo come nel primo numero lo stesso segno, 2, ha significati diversi a seconda della posizione e così il segno 4 nel secondo numero, dove lo 0 in penultima posizione indica che non vi sono decine

32. LE OPERAZIONI Per sommare due numeri Leonardo raccomanda di metterli in colonna, come si insegna oggi ai bambini delle elementari, anche se la notazione è leggermente diversa: la somma compare in alto, così: 1953 721 1232 E poiché 10 unità fanno una decina, 10 decine un centinaio, ecc., se la somma supera 10 si aggiungono unità alla somma delle cifre a sinistra (regola del “riporto”): 715 168 547

33. LA MOLTIPLICAZIONE Per moltiplicare due numeri di più cifre si fa uso della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Per moltiplicare un numero di più cifre per un numero di una sola cifra si moltiplica questo per ognuno dei segni, a partire dalle unità, applicando la regola del riporto detta prima: 47  7 = 77 + 7410 = 329 49 + 280 = Osservazione: Moltiplicando un numero per 10 si ottiene un numero le cui cifre sono tutte spostate di un posto, e l’ultimo posto è vuoto: 36  10 = 31010 + 610 = 360 centinaia decine unità unità decine

34. Per moltiplicare numeri di più cifre si usa sempre la proprietà distributiva, tenendo conto di quanto detto a proposito della moltiplicazione per 10: 37  45 = 37  5 + 37  410 = 185 +1480 = 1665 In pratica si usa la seguente tabella: 3 7 centinaia decine unità 5 1 8 5 decine centinaia migliaia decine 4 1 4 8 migliaia centinaia decine unità 1 6 6 5

35. LE EQUAZIONI La sezione algebrica del “Liber Abaci” è dedicata interamente allo studio delle equazioni algebriche di primo e secondo grado secondo i metodi di Al Khwuarizmi, Abu Kamil e Al Karaji. Forse Fibonacci aveva letto l’Aritmetica di Diofanto, nella quale sono posti e risolti 189 problemi, più di 50 tipi diversi, ma non viene fatto alcun tentativo di classificazione per tipo, ed ogni problema è risolto singolarmente.

36. E qui c’è la novità cheFibonacci mutua dagli Arabi: una trattazione sistematica e la classificazione delle equazioni: Prima vengono descritti i termini primitivi dell’algebra: Numerus radix o cosa census Termine noto incognita quadrato dell’incognita Poi vengono classificati sei tipi di equazioni: quadrato uguale alla radice quadrato più radice uguale a un numero quadrato uguale a un numero quadrato più numero uguale radice radice uguale a un numero radice più numero uguale quadrato Esse sono descritte verbalmente usando i termini introdotti prima, infatti a quell’epoca non esisteva né il simbolo +, né =, né quello di potenza, né venivano usate lettere per indicare numeri (noti o incogniti) Le equazioni di secondo grado vengono trattate con il metodo del completamento del quadrato

37. Con il simbolismo moderno si avrebbe: quadrato uguale alla radice ax2 = bx ax2 = c quadrato uguale a un numero con a, b, c > 0 radice uguale a un numero bx = c quadrato e radice uguale a un numero ax2 + bx = c quadrato e numero uguale radice ax2 + c = bx radice e numero uguale quadrato bx + c = ax2 Tutte le equazioi rientrano nel caso generale ax2 + bx +c = 0 con a, b, c positivi, negativi o nulli, ma in quell’epoca i numeri negativi non erano assolutamente considerati In effetti la matematica indiana non ebbe timore di dare legittimità ai numeri negativi: erano tranquillamente accettati nelle operazioni contabili quali poste debitorie. Fibonacci, grazie alla sua formazione contabile e alla sua pratica mercantile, fu tra i primi occidentali ad accettare i numeri negativi. Sosteneva che quantità negative erano prive di senso se considerate come valori di un capitale, ma valide se considerate come debiti.

38. Per ogni tipo, secondo gli insegnamenti di Al Khwarizmi viene dato un procedimento (algoritmo) per la soluzione, naturalmente sempre in modo retorico, senza fare uso cioè, né di abbreviazioni né di simboli Ecco un esempio di un problema antichissimo: Ho sommato la superficie [e un lato] del quadrato: fa 3/4 L’equazione corrisponde a: x2 + 1x = 3/4 RISOLUZIONE a) Prendi il coefficiente 1 [numero dei lati considerati]. b) Dividilo a metà. Tu hai1/2 c) Moltiplica 1/2 con 1/2 [fa 1/4] d) Congiungi 1/4 con 3/4 e fa 1 che ha 1 come radice quadrata. e) 1/2 che tu hai moltiplicato [per se stesso], sottrai da 1 e (fa) 1/2 f) (che) è (il lato del) quadrato. In simboli moderni: x = √(1/2)2 + ¾ - ½ che altro non è se non la formula risolvente che ogni alunno conosce, applicata all’equazione data Naturalmente la soluzione negativa non è contemplata

39. Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, nativo della regione del Khwarezm (antica Corasmia) è stato un matematico musulmano, astronomo, astrologo e geografo di origine persiana. Nacque verso il 780, e morì nell’850 circa. Visse a Baghdad presso la corte del califfo al-Ma’mūn, che lo nominò responsabile della sua biblioteca, la famosa Bayt al-Hikma, "Casa della Sapienza", di Baghdad. Sotto la sua direzione furono tradotte in arabo molte delle principali opere matematiche dell'antichità. Il metodo di al-Khwārizmī per risolvere equazioni lineari e di 2° grado si basa principalmente nel ridurre l’equazione a uno dei sei tipi elencati prima

40. Le equazioni vengono modificate usando le due operazionial-jabr ("completamento") e al-muqābala ("bilanciamento"). Al-jabr è il procedimento utilizzato per rimuovere i numeri negativi, le radici e i quadrati aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione. Per esempio, x2 = 40x - 4x2 è ridotto a 5x2 = 40x aggiungendo 4x2 ad entrambi i membri. Al-muqābala è il procedimento utilizzato per portare le quantità dello stesso segno dallo stesso membro dell’equazione. Per esempio, x2+14 = x+5 si riduce ax2+9 = x.

41. Ed è esattamente con questo metodo, che Fibonacci risolve nel suo “Liber Abaci” 22 problemi tratti dall’Algebra di al Khwarizmi e 53 dall’algebra di Abu Kamil. Il libro contiene poi altri problemi di vario tipo, risolti usando le proporzioni, oppure con il metodo della falsa posizione, oltre che con il metodo diretto (quello degli Arabi); contiene il calcolo approssimato delle radici, ed infine problemi risolti sfruttando proprietà geometriche. I problemi sono dunque il pretesto per insegnare metodi di risoluzione,in modo sistematico: una breve trattazione teorica, una successione graduata di esercizi, problemi di carattere concreto. Il libro è dunque una propaganda dei nuovi metodi: alcuni problemi, risolti prima con complicati passaggi aritmetici, sono poi risolti nuovamente con il “metodo diretto” per mostrarne la convenienza.

42. LA FALSA POSIZIONE È un metodo per risolvere equazioni del tipo ax = b ESEMPIO Di un albero 1/4 e 1/3 sono sotto terra. La parte sotterranea dell’albero misura 21 palmi. si tratta di risolvere l’equazione (7/12 ) x = 21 che dà per soluzione x = 21(12/7) = 36 Fibonacci ragiona così: partiamo da un valore scelto arbitrariamente per la misura dell’albero. Conviene scegliere 12, che è multiplo sia di 4 che di 3. La somma di 1/4 di 12 (cioè 3) e 1/3 di 12 (cioè 4) fa 7 Questa sarebbe la lunghezza della parte interrata dell’albero se esso fosse alto in tutto 12 palmi. Ma poiché la parte interrata misura 21 palmi, cioè il triplo di 7 l’albero sarà alto il triplo di 12, cioè 36 palmi. Nella sua argomentazione Fibonacci richiama il procedimento per risolvere una proporzione: 7 sta a 21 come 12 sta all’altezza richiesta. <<Poiché il prodotto tra il primo e il quarto è = al prodotto tra il secondo e il terzo, tu moltiplica il secondo per il terzo (2112) e dividi per il primo 7: troverai il triplo di 12 che è 36>>

43. CENNI SU ALTRE OPERE DI LEONARDO IL “LIBER QUADRATORUM” Nel Liber Quadratorum, scritto nel 1225, Fibonacci, per primo, nota che i numeri quadrati possono essere costruiti come somme di numeri dispari, descrivendo, in linea essenziale, un procedimento induttivo e usando la formula n2+(2n+1)=(n+1)2. La sequenza dei quadrati è infatti: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….. … 3 5 7 9 11 13

44. Una suggestiva interpretazione geometrica. 1 4 9 16 …. Non è l’unica sccessione studiata da Leonardo: accanto a quella famosissima che porta il suo nome, di cui parleremo più vanti vogliamo ricordare che un problema del “Liber abaci” viene da lui risolto calcolando la somma di quella che noi oggi chiamiamo progressione aritmetica. Egli dice che, qualunque sia la ragione, la somma di un qualsivoglia numero di termini è data dal prodotto tra la metà del numero dei termini della successione e la somma tra il primo e l’ultimo termine. Anche qui possiamo dare una interpretazione “visiva”: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …. ….. 49 50 + 100 99 98 97 96 95 94 93 ……. …… 53 52 51 = 50101 101+10+101+101+….. +101+101+101 Fibonacci raggiunse questo risultato molto prima di Gauss, cui è attribuita la formula (a1+an)n/2

45. PRACTICA GEOMETRIAE Come già si è detto questo lavoro ricalca l’opera di Euclide; è un trattato di geometria teorica e pratica, in cui si discutono questioni riprese dagli elementi di Euclide; in particolare si costruisce il pentagono e il decagono regolare (poligoni legati alla sezione aurea), che poi abbiamo ritrovato nell’impianto progettuale del Castel del Monte

46. Vogliamo infine ricordare un altro grande matematico del tardo Medioevo. NICOLA DA ORESME Nacque intorno al 1320-1325 nel villaggio di Allemagne in Normandia Fu uno dei più famosi e influenti pensatori del tardo Medio Evo; fu inoltre un teologo appassionato, traduttore competente, influente consigliere del Re Carlo V di Francia e vescovo di Lisieux. Viene considerato uno dei principali fondatori e divulgatori delle scienze moderne e uno dei più originali pensatori del XIV secolo.

47. In molti campi Nicola da Oresme è stato precursore di altri scienziati più conosciuti Oresme infatti ebbe l’idea di utilizzare ciò che dovremmo chiamare coordinate rettangolari nella terminologia moderna, una lunghezza proporzionale alla longitudo, l’ascissa di un dato punto e una ad essa perpendicolare, proporzionale alla latitudo, l’ordinata. I parametri longitudo e latitudo possono variare (latitudodifformis) o rimanere costanti (latitudo uniformis). Oresme, in questo modo, ottiene l’equazione della retta come insieme di punti con latitudo uniformis, e quindi precede di molto Cartesio nell’invenzione della geometria analitica.

48. Studiando la latitudouniformiter difformis ottenne la legge dello spazio percorso nel caso del moto che varia uniformemente. Oresme in questo modo precedette la dimostrazione della legge del moto uniformemente vario di Galileo. Oresme si interessò anche di musica studiando il monocordo, cambiando la divisione pitagorica in intervalli come 8/9, 1/2, 3/4, 2/3, e fornì lo strumento per generare l' eguale temperamento qualche secolo prima di Werckmeister. Ecco un esempio della suddivisione equa di un’ottava in dodici parti:

49. LA SCALA TEMPERATA La divisione dell’ottava in rapporti razionali, cari ai Pitagorici, non è in effetti comoda perché non consente di mantenere con precisione gli stessi rapporti nelle ottave successive, e quindi crea problemi pratici nell’accordatura degli strumenti musicali. Per superare questi problemi Oresme decise di rinunciare ai rapporti razionali, suddividendo in maniera uniforme l’ottava in dodici semitoni, con rapporto costante tra le frequenza di due suoni che differiscono di un semitono. Poiché da un DO al DO successivo la frequenza si raddoppia per ottenere 12 semitoni a intervalli regolari tale rapporto costante deve essere 12 2. Si ottiene così la scala temperata, in cui i rapporti tra le frequenze di una nota e la successiva sono: DO RE MI FA SOL LA SI DO E le frequenze di ogni nota, rapportate al DO precedente sono dunque: DO RE MI FA SOL LA SI DO 1 12 22 12 24 12 25 12 27 12 29 12 211 12212 =2

50. Infine Oresme si interessò molto ai limiti, ai valori di soglia e alle serie infinite mediante addizioni geometriche (Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, Questiones super geometriam Euclidis) che prepararono la via per il calcolo infinitesimale. Dimostrò la divergenza della serie armonica, utilizzando il metodo standard insegnato ancora oggi nelle lezioni di calcolo: SERIE ARMONICA 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …… Già con la serie geometrica si era acquisito il concetto che una somma di infiniti addendi può dare un risultato finito se ciò che si aggiunge diventa via via sempre più piccolo. Ma Oresme dimostrò che questo non si verifica ogni volta che aggiungiamo termini via via più piccoli (infinitesimi) Oggi parliamo di condizione necessaria ma non sufficiente. La serie armonica infatti ha il termine generale infinitesimo, ma non converge: