A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)

1. Continuum and Digital Computer(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. • A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés) • Discrete and Continuous: Two sides of the same? • László Lovász • Microsoft Research, • One Microsoft Way, Redmond, WA 98052

2. Continuum and Digital Computer(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. • Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: A matematikai problémák fő külső forrása a tudomány. A hagyományos szemlélet szerint a tér és az idő folytonos. A matematikai analízis a tudomány kemény magja.

3. Continuum and Digital Computer(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. • Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: Van-e értelme az elemi események közötti időpontnak? Lehetséges, hogy a világnak folytonos vagy (óriási) diszkrét rendszer- ként valóleírása egyenértékű?

4. Continuum and Digital Computer(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. • Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: A számítógépek világa diszkrét. Azt hiszem, hogy a problémák valódi megértése a diszkrét és a foly- tonos szintézisét igényli.

5. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A számítógépet használó épí-tész számára a folytonos és a diszkrét leírás különbözősége markánsan jelentkezik pl. a folytonos görbék raszter kép-ernyőn való megjelenítése során.

6. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A digitális számítógépek diszkrét jellegének alpvető kö-vetkezménye, hogy velük tulajdonképpeni valós számok nem fejezhetők ki. Nevezetesen bármely két valós szám között vannak további valós számok, a véges hoszszú-ságú regiszterekben történő számábrázolás esetén azon-ban ez nem valósulhat meg: “véges regiszterek” . . . “fixpontos számok” “lebegőpontos számok”

7. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Kiséreljük meg valamely két-méretű kontinuum egy véges részének és az ezen értelmez-hető görbéknek egy kombi-nált, diszkrét-folytonos vizs-gálatát. Tekintsük a pi,j disz-krét elemek egy kétméretű vé-ges elrendezését. A diszkrét e-lemek mindegyike feleljen meg a véges síkrész egy-egy egység-négyzetének, „pixelé-nek”.

8. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Két diszkrét elem szom-szédos ha csak az egyik indexük különbözik, s a különbség 1. Más szóval, két pixel szomszédos, ha egy oldaluk közös. Diszkrét görbe diszkrét elemek sorszámozással ellátott olyan sorozata, ahol az egymást követő elemek szomszédosak:

9. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Egy diszkrét görbe repre-zentálja mindazokat a foly-tonos görbéket, amelyeket le-fed. Bármely folytonos gör-bének megfelel egy diszkrét görbe, amely éppen lefedi. Diszkrét görbe megadható a hozzátartozó pixelek felsoro-lásával. Célszerűbb csak a kezdőpixelt megadni és a bejárás lépéseit felsorolni: i 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10,11,11,11,12,13,14,14,... j: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,14,14,15,14,14,14,14,13,... (1,4),+y, y,+x, y, x, y, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, x, x, y, –y, x, x, x, y,...

10. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbéket az oszlopa-ik első pixeleivel is jellemez-hetjük. Ha a diszkrét görbének van(nak) nem monoton oszlo-pa(i), akkor a teljes jellemzés-hez még ezek határoló pixe-le(i) is hozzáértendő(k). A zölddel jelölt (i’,j’) és (i,j) pixelek különbsége az interval- lum-aritmetika szabályai szerint a következő négy pixel együttese: (i’-i, j’-j),(i’-i+1, j’-j), (i’-i, j’-j+1),(i’-i+1, j’-j+1). (Zölddel keretezve.)

11. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét elemek kü-lönbségnek képzésére be-mutatott „négypixeles” szabály a diszkrét elemek körében maradva is iga-zolható a diszkrét elrende-zések (képek) finomításá-val és a kivonás és a fino-mítás felcserélhetőségé-nek megkövetelésvel.

12. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét elemek különbségnek képzésénél, ha i > i’ vagy j > j’ (vagy mindkettő), szükség van a diszkrét elrendezések ki-terjesztésére.

13. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A függvényoszlopok különbsége pixeleik kü-lönbségeinek összes-sége. Az oszlopkülönbségek kifejezésére „vonaljele-ket” is használhatunk, amelyek a kivonandó oszlopában megjelölik a különbség sorait. E jelö-lés akkor egyértelmű, ha hozzátesszük az id=i’-i értéket.

14. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönségeket az id értékek szerint differen-cia-osztályokba sorolva vonaljeleikkel jellemezhetjük.

15. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönbségek helyett elegendő az oszlopjel-lemző pixelek különbségeit tekinteni, ebből az előb-biek rekonstruálhatók. Valamennyi id differenciaosz-tályhoz tartozó ilyen elrendezés együttesen az oszlopokhoz rendezett differenciál.

16. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönbsé-gek vonaljeleit a ki-vonandó oszlopjel-lemző pixel sorában is elhelyezhetjük, azon képoszlopokat jelölve meg, amelyekkel azo-nos sorszámú sorokat foglalja el az illető oszlopkülönbség.

17. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopjellemző pixelek különbsé-geinek vonaljeleit szintén áthelyez-hetjük a képsorok-ba. Ez a sorokhoz rendezett differenciál.

18. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 1. Az állandó Állandó az a diszkrét görbe, amelyben a négy lehetséges lépés-irány közül csak az egyik fordul elő, más-szóval valamennyi lépésirány azonos.

19. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 2. Az egyenes Egyenes az a diszkrét görbe, amelynél a dif-ferenciál minden osz-tályában van a különb-ségi vonaljelekre il-leszkedő állandó.

20. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 3. A parabola Parabola az a diszkrét görbe, amelynél az oszlopokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő (pixel-)egyenes. 4. Az exponenciális diszkrét görbe Exponenciális diszkrét görbe esetén a sorokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő egyenes.

21. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A bemutatott diszkrét görbék elemi összefüggése a megfelelő folytonos függvénnyel. Az y = ax + b egyenes esetén ( y’ = C ) dy = a(x + dx) + b - (ax + b) = a.dx . Az y = ax2 + bx + c parabola esetén ( y’ = A.x + B ) dy = a(x + dx) 2 + b(x + dx) + c - (ax2 + bx + c) = = 2.a.dx.x + b.dx. Az y = axexponenciális függvény esetén ( y’ = C.y ) dy = ax+dx - ax= ax.adx - ax = ax (adx -1) = (adx-1).y .

22. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét differenciálok bemutatott rendszerét vessük egybe egy példán a folytonos függvényekkel kapcso-latban használatos véges differencia módszerrel. Az y = axexponenciális függvényt meghatározó diffe-renciálegyenlet y’ = C.y . Az ezt (az x temgely vala-mely n.dx hosszúságú szakaszán) közelíteni kívánó legegyszerűbb differenciaegyenlet-rendszer az alábbi: ( yi+1 - yi ) / dx = C. yi ( i = 0, 1, ... n-1). A diszkrét differenciálok segítségével ezt a differencia-egyenlet-rendszert mintegy „minden lehetséges” dx ér-tékre szimultán vizsgáljuk. Így az eredmény bizonyos értelemben „pontos”.

23. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Adiszkrét differenciálok és a korábban publikált V&AA rend-szerben szereplő additív algoritmusok kapcsolatát az összeren-dezett sorozatpárok adják. Monoton diszkrét görbék bejárása-kor az x ill. y lépések ugyanúgy következnek, ahogyan az e-gyesített sorozatban a két részsorozatból származó tagok. U1,U2, ... Uk ,...egyesített monoton sorozat I1,I2, ... Ia ,...az x lépések monoton sorozata J1,J2, ... Jb,...az y lépések monoton sorozata

24. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A V&AA rendszer egy R értéknek az i,j egész számpárok-hoz való hozzárendelésén alapul, a monoton diszkrét gör-bét azon pixelek alkotják amelyeknek a négy sarkában kü-lönböző előjelű R értékek találhatók. Az R az összerende-zett sorozatpár alapján számítható: R = R0 +(I1 + I2 + ... +Ii ) - (J1 + J2 + ... +Jj ). Az összerendezett sorozatpárok például: - egyenest állítanak elő, ha mindkét részsorozat számtani, - parabolát, ha az egyik első, a másik másodrendű számtani, - n-ed rendű parabolát, ha az egyik első, a másik n-ed rendű számtani, - exponenciális diszkrét görbét, ha az egyik számtani, a másik mér- tani, stb. (Ez utóbbi megállapítás gyakorlati haszna korlátozott.)

25. Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A V&AA rendszerrel készült ábrán két forgásfelület áthatása látható. Mindkét meridiángör-be egyenlete c1x3 +c2x2y + c3xy2 + c4y3 + + c5x2 + c6xy + c7y2 + + c8x + c9y + c10 = 0 típusú. Az ábra teljes egészé-ben egész számok összeadásán alpuló diszkrét módszerekkel készült, igy minden részletében „garantált pontosságú”.