Producto interno . Definición

1. Producto interno . Definición Un producto interno o escalar sobre un espacio vectorial real V es una p : V xV  R que cumple las con las siguientes propiedades : I ) ( a.b ) = ( b.a ) II ) ( a+b . c > = ( a.c )+( b.c) III) (  a.b > =  (a.b) IV) (a.a) ≥0 , (a.a)=0 ↔a=0

2. Definiciones Norma de un vector : || a||2= (a.a ) Distancia entre dos vectores : dist( a,b) = || a-b || Ángulo entre dos vectores : cos  = Ortogonalidad entre vectores : Dos vectores a,b son ortogonales ↔ (a.b)=0

3. Proposiciones 1- El producto interno de 2 combinaciones lineales de vectores es igual a la combinación lineal de los productos internos de los vectores dados . 2- Sea P un producto interno definido en V e.e. y B = { vi } , i= 1…n una base de V ,entonces existe A є Rnxn / dado x ,y єV (x.y) = x]BT.A. y]B

4. Proposiciones (cont) 3-Cualquiera sean x e y vectores pertenecientes a V e.e., tal que x  y se cumple : ||x+y||2= ||x||2+||y||2 ( t de Pitágoras) 4- Desigualdad de Swartz : Cualquiera sea x,y V e.e. se cumple : |(x.y)|≤ || x ||. ||y ||

5. Definiciones • Conjunto ortogonal de vectores : Un conjunto { e1 , e2 , ….en } es un conjunto ortogonal , si y solo si ei 0 , (ei . ej ) =0  i  j • Conjunto ortonormal de vectores : Es un conjunto ortogonal ,tal que la norma de sus vectores es igual a 1 .

6. Proposiciones • Todo conjunto ortogonal de vectores es un conjunto linealmente independiente • E n todo espacio Euclídeo V , tal que dim (V) = n existe una base ortonormal .

7. Definiciones 1- Subespacios ortogonales : Dado S y T subespacios de V e.e. decimos que S es ortogonal a T ( lo escribimos S T ) si y solo si x  y  x  S ,  y  T

8. Definiciones (cont) 2- Vector ortogonal a un subespacio Sea x V e.e. y sea S subespacio de V . Diremos que x es ortogonal a S si y solo si x  y  y  S 3-Complemento ortogonal de un subespacio Dado S subespacio de Ve.e. llamaremos S┴ = { xV / x  S }

9. Proposiciones • Teorema de la dimensión del complemento ortogonal de un subespacio Dado S subespacio de V e.e. entonces dim S + dim S┴ = dim V

10. Definición Proyección ortogonal de un vector respecto a un subespacio : Sea x V e.e. y S  V , puedo escribir x = u +v con u S , v S┴ llamamos u = proyS (x) , v = proyS┴(x)

11. Proposición • Teorema de la mejor aproximación Si W es un subespacio de V e.e , y x V entonces proyW (x) es la mejor aproximación para x en W o sea : || proyW (x) -x|| || v-x ||  v  W

12. Método de mínimos cuadrados • Sea A Rmxn y sea b Rm ,entonces si el sistema lineal A.X =B es incompatible puede calcularse AX = proycol(A)(B) que será siempre compatible y su solución será la mejor aproximación a la solución deseada

13. Proposición • Resolver el sistema AX = proycol(A)(B) es equivalente a resolver AT .A .X = AT.B