1 / 39

Statistik Lektion 2

Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller. Sandsynlighedsregning. Definition : Hændelse , resultat af et ”eksperiment” Fx hændelsen at det regner i morgen.

Download Presentation

Statistik Lektion 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. StatistikLektion 2 Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

  2. Sandsynlighedsregning Definition: Hændelse, resultat af et ”eksperiment” Fx hændelsen at det regner i morgen Definition: Sandsynlighed, andelen af gange hændelsen indtræffer når vi udfører eksperimentet maaaaange gange. Fx. Kast med en mønt. Sandsynligheden for plat er 50%, da andelen af plat er 50% i det lange løb. Notation: Lad A være en hændelse. P(A) betegner sandsynligheden for hændelsen A.

  3. Regneregler for sandsynligheder Lad A være en hændelse P(ikke A) = 1- P(A) Hvis A og B er hændelser, der ikke kan indtræffe samtidigt: P(A eller B) = P(A) + P(B) Fx. sandsynligheden for at yngste persons navn begynder med A eller B To hændelser er (statistisk) uafhængige hvis og kun hvis P(A og B) = P(A)P(B) Fx sandsynligheden for to 6’ere i et terningkast…

  4. Sandsynlighedsfordeling: Diskret variabel Definition: Diskret variabel En variabel er diskret, hvis den kan tage højst tælleligt mange værdier. Fx. Antal børn i en familie. Antal terning kast inden 6’er. Definition: Sandsynlighedsfunktion Sandsynligheds fordelingen for en diskret variabel er beskrevet ved en sandsynligheds funktion P(y), så 0 ≤ P(y) ≤ 1 og Salle y P(y) = 1 hvor y er et enkelt udfald af vores eksperiment.

  5. Eksempel Spørgsmål: Hvad mener du er det ideelle antal børn? y er antal børn angivet af en tilfældigt udvalgt amerikaner. P(2) er altså sandsynligheden for at en tilfældig udvalg person svarer at det ideelle antal børn er 2

  6. Sandsynlighedsfordeling: Kont. variabel Definition: Kontinuert variabel En variabel er kontinuert, hvis den kan tage alle værdier i et interval. Fx. Højden eller indkomst for en BEM studerende. Definition: Tæthedsfunktion Sandsynlighedsfordelingen for en kontinuert variabel er beskrevet ved en tæthedsfunktion f(y), så 0 ≤ f(y) og . hvor y er et enkelt udfald af vores eksperiment.

  7. Eksempel Ventetid på at komme igennem til help-line: Lad T være den (tilfældige) ventetid. Sandsynligheden for at vente mere en 15 minutter: 6%

  8. Normalfordelingen • Normal fordelingen har tæthedsfunktionen • hvor • m er middelværdien og • s er standardafvigelsen 95% 2.5% 2.5% m m-1.96s m+1.96s

  9. Stikprøvefordeling: Motivation • Påstand: Andelen af vælgere der ville stemme på Schwarzenegger er 50%. • Stikprøve: Vi spørger 508 tilfældigt udvalgte stemmeberettigede. 284 siger svarer ja. • Spørgsmål 1: Hvis påstanden er korrekt, hvor mange Schwarzenegger stemmer ville vi have forventet? • Spørgsmål 2: Hvad er umiddelbart det bedste bud på, hvad den sande andel af Schwarzenegger stemmer er? • Spørgsmål 3: Er denne afvigelse, så stor at vi kan afvise vores påstand?

  10. Simuleret svar på spørgsmål 3… • Spørgsmål: Hvis påstand om 50% opbakning er korrekt, hvor ekstrem er vores rundspørge? • Ide: Få en computer til at simulere 1000 ”kunstige” rundspørger, hvor påstanden er korrekt. • Konkret: Computeren kaster en fair mønt 508 gange og udregner andelen af plat. Gentages 1000 gange. • Resultat: • Andel ”mere ekstreme” simulationer: 18,6%

  11. Formaliseret svar • Setup: Sande andel betegnes p • Hypoteser: • Arbejds-hypotese (H0): p = 0.5 • Alternativ-hypotese (H1): p 0.5 • Observerede andel: • Sandsynlighed for ekstrem andel: 18,3% (p-værdi) Normal-approksimation til stikprøvefordelingen

  12. Konfidensinterval Definition: Konfidensinterval Et 95% konfidensinterval indeholder den sande parameterværdi med 95% sikkerhed. • Eksempel: • Antag er den estimerede andel baseret på n svar. • Da er et 95% konfidensinterval givet ved • I Schwarzenegger eksempel • Dvs. vi 95% sikre på at den sande andel af ja’er blandt vælgerne er mellem 0.53 og 0.59.

  13. Kontingenstabel • I en kontingenstabel indeholder hver celle det antal observationer, der falder inden for den givne kombination af kategorier. • Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem farvevalg og køn? Celle: Antal personer, der er kvinde og som foretrækker rød

  14. Spørgsmålet på hovedet • Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem farvevalg og køn? • Vi vender spørgsmålet på hovedet: • Spørgsmål: Kan vi afvise at der ingen sammenhæng er mellem køn og farvevalg? • Antag at der ingen sammenhæng er mellem køn og farvevalg. • Hvilket antal observationer ville vi så forvente i hver celle i vores kontingenstabel? • Vi antager at de marginale antal ligger fast, dvs. det totale antal mænd, kvinder, røde, grønne og blå.

  15. Forventede antal • Hvis der ingen sammenhæng er mellem køn og farvevalg, så bør procentfordelingen være den samme blandt mænd og kvinder. • Andel røde: 55/124 = 44.4% • Forventede røde blandt mænd: 44.4% af 64 = 64*55/124 = 28.4

  16. Generel formel for det forventede antal • I hver celle har vi • Xij: observerede antal i celle (i,j) • Eij: forventede antal i celle (i,j) • Desuden har vi • N: Totale antal observationer • Ci: Antal observationer i ’te kolonne • Rj: Antal observationer er j’te række • Forventede antal for celle ( i,j ) er • Eij= CiRj/ N

  17. Ombytning uden betydning • Vi kan bytte rundt på farve og køn uden at det gør en forskel: • Andelen af mænd: 60/124 = 48.4% • Forventede antal mænd blandt røde: 48.4% af 55 = 55*60/124 = 28.4

  18. Så langt så godt • Vi har… • Vi har arbejdshypotesen at der ikke er sammenhæng mellem køn og farvevalg • Vi har fundet de forventede antal, hvis arbejdshypotesen er sand. • Vi mangler… • Vi mangler et mål for hvor meget de forventede antal afviger fra de forventede. • Vi mangler en måde at afgøre, hvornår afvigelsen er så stor, at vi ikke længere kan acceptere arbejdshypotesen.

  19. Mål for afvigelsen • Vi bruger følgende mål • Vi kalder c2 (”ki-i-anden”) en teststørrelse. • c2bruges til at teste arbejdshypotesen. • Bemærk: • c2≥ 0 • c2= 0 perfekt match • Jo større c2, jo mindre tror vi på arbejdshypotesen

  20. c2 teststørrelse for eksemplet • I en kontingenstabel indeholder hver celle det antal observationer, der falder inden for den givne kombination af kategorier. • Spørgsmål: 4.9 er ikke nul! Men er det så langt fra nul, at vi ikke kan acceptere arbejdshypotesen om ingen sammenhæng?

  21. Lidt mere teoretisk tilgang • Vi har en teoretisk fordeling: • En såkaldt c2-fordeling med 2 frihedsgrader. • Det røde areal svarer til sandsynligheden for at observere en mere ekstrem c2-værdi. • Her er arealet 8.49%. Denne værdi kaldes også p-værdien. • I en generel tabel med r rækker og c kolonner, vil histogrammet svare til en c2-fordeling med (r-1)(c-1).

  22. Beslutningen! • Jo mere ekstrem c2 -værdi, jo mindre tror vi på arbejdshypotesen. • Jo mere ekstrem c2 -værdi, jo mindre p-værdi. • Hvis p-værdien er mindre end 5% så afviser vi arbejdshypotesen. • Vi siger at testen (af arbejdshypotesen) er signifikant. • Grænsen på de 5% kaldes signifikans-niveauet, og betegnes a. • Signifikans-niveauet kan vælges frit, mer er typisk 10%, 5% eller 1%. • Signifikans-niveauet vælges før teststørrelsen udregnes! • I eksemplet kan vi ikke afvise arbejdshypotesen. Vi kan altså ikke afvise af der ingen sammenhæng er mellem køn og farvevalg.

  23. Signifikanstest generelt • Opstil statistisk model / statistiske antagelser • Fx. at stikprøven er tilfældigt udvalgt. • Opstil arbejds-hypotese • Betegnes H0 , nul-hypotesen • Fx. uafhængighed mellem køn og farvevalg • Opstil alternativ-hypotese • Den ”modsatte” hypotese af H0 • Betegnes H1 • Bemærk: Arbejdshypotesen er ikke nødvendigvis den hypotese vi tror på eller gerne vil ”bevise”. • Arbejdshypotesen er generelt valgt, så den er mere ”præcis” end alternativ-hypotesen. Uafhængighed (ingen sammenhæng) er præcist, mens alternativet, afhængighed, kan være mange ting.

  24. Signifikanstest generelt forts. • Vælg signifikansniveau a • Typisk 5%. • Konstruer en test-størrelse • Hvilke værdier er ekstreme for H0? • Beregn teststørrelsen • Beregning af test-størrelse ordnes af SPSS • Beregn p-værdien • p-værdien er sandsynligheden for at observere en mere ekstrem test-størrelse ”næste gang”, under antagelse af at H0 er sand, og at modellen og dens antagelser er korrekte. • Hvis p-værdien < a, så kan vi ikke afvise H0. • Hvis p-værdien > a, så afviser vi H0 og accepterer H1 hypotesen. • Fortolk resultatet.

  25. Man begår fejl • Når vi udfører en signifikanstest kan vi begå en af to fejl • Type 1 fejl: Vi afviser H0 selvom den er sand • Type 2 fejl: Vi accepterer H0 selvom den er falsk • Antag modellen er korrekt, H0 er sand og at vi har valg et signifikans-niveau a. • Hvad er da sandsynligheden for at begå en Type 1 fejl?

  26. Lidt gode råd • p-værdien er ikke sandsynligheden for at H0 er sand. • p-værdien er ikke er udtryk for styrken af sammenhængen mellem to variable. • p-værdien kan fortolkes som et udtryk for hvor meget vi tror på H0 hypotesen. • HVER GANG i ser en p-værdi i SPSS (”sig.”), så gør jer hver gang klart, hvilken H0 hypotese den passer sammen med!!! • Det er nemt nu, men det bliver mere indviklet senere…

  27. Eksempel i SPSS • Analyze → Descriptive Statistics → Crosstabs

  28. SPSS output • Opstiller hypoteser: • H0: Uafhængighed mellem arbejdsløs og vold/trusler • H0 : Afhængighed • Sig. niv.a = 5% • Da p-værdien < 0.05 afviser vi at arbejdsløshed og vold/trusler er uafhængige. c2-teststørrelse p-værdi

  29. Mere end to variable • Indtil nu: Afgøre om der er en (statistisk signifikant) sammenhæng mellem to kategoriske variable. • Det næste: Kan andre kategoriske kontrolvariable hjælpe med at forstå en sammenhæng? • Ideen er at inddele det indsamlede data efter hvert svar i kontrolvariablen. Og derefter gentage tabelanalysen for hver delmængde af data. Vi siger vi stratificerer efter kontrolvariablen. • Lad os se på nogle eksempler…

  30. Sammenhæng mellem race og dom • Test: H0: Ingen sammenhæng ml. race og dom. • Teststørrelse: c2 = 3.1, df = 1, p = 0.078 ( > 0.05 ), g = -0.155 • Konklusion: Vi kan ikke afvise H0. Dvs., vi kan ikke afvise, at der er uafhængighed mellem morders race og afsagt dom. • (Simpelt: Ingen sammenhæng)

  31. Kontrolvariabel: Offers race Χ2= 0.55 df = 1 p = 0.59 g = 1.00 Χ2= 96.5 df = 1 p = 0.000 g = 0.71

  32. Opsummering • Sammenhængen mellem race og dom var skjult • Ikke-stratificeret analyse: Ikke-signifikant sammenhæng • Stratificeret analyse: Signifikant sammenhæng • Sammenhængen er muligvis lokal • Kun signifikant sammenhæng når offer er hvid • Simpsons paradoks – sammenhængen er ”vendt” • Ikke-stratificeret analyse: Hvide straffes hårdest! • Stratificeret analyse: Sorte straffes hårdest – uanset offers race.

  33. Stratificering i SPSS • Stratificering efter offers race.

  34. Elaborering: Arbejde og boligforhold • Test: H0: Ingen sammenhæng mellem arbejde og boligforhold. • Teststørrelse: Χ2 = 12.9, df = 3, p = 0.005 • Konklusion: Signifikant sammenhæng

  35. Bemærkninger • Tabellen viser sammenhængen mellem arbejde og boligforhold blandt 70-årige i 1967 og 1984. • Hvad mon forklarer denne sammenhæng? • Lad os stratificere efter år, dvs. separate tabeller for 1967 og 1984.

  36. Elaborering: Job-status og boligstandard • Test: H0: Ingen sammenhæng ml. job-status og boligstandard. • Teststørrelse: Χ2 = 0.0, df = 3, p = 0.998 • Konklusion: Vi kan ikke afvise H0: Ingen signif. sammenhæng.

  37. Elaborering: Job-status og boligstandard • Test: H0: Ingen sammenhæng ml. job-status og boligstandard. • Teststørrelse: Χ2 = 1.3, df = 3, p = 0.725 • Konklusion: Vi kan ikke afvise H0: Ingen signif. sammenhæng.

  38. Konklusioner • Sammenhængen mellem arbejde og boligforhold forsvinder når vi stratificerer efter kohordeår. • Vi siger at kohordeåret forklarer sammenhængen mellem arbejde og boligforhold. • Statistiker: Betinget uafhængighed.

More Related