Vibrations linéaires des systèmes mécaniques en petites perturbations

1. Double diplôme ENSA -ECN Vibrations linéaires des systèmes mécaniquesen petites perturbations Herve.oudin@ec-nantes.fr

2. Objectifs du cours • Résolution des équations du mouvement dans le cas des petites oscillations autour d'une position d'équilibre • Plan • II - Mise en équations • Milieux discrets  PFD – PTV (C1) • Milieux continus MMC - modèles de l’ingénieur (C2) • III- Oscillateurs à un degré de liberté (C3) • IV- Oscillateurs à plusieurs degrés de liberté(C4) • V - Vibrations des milieux continus(C5) • Méthodes d’approximation • Supports du cours • Polycopié • Site web : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htm

3. PFD  Equations de Newton Principe vectoriel, local, utilise les Forces Principe utilisé en première année du DD PTV  Equations de Lagrange Principe scalaire, global, utilise les Energies (travail) Principe que nous abordons cette année Mécanique La mise en équations : • « PFD » Principe Fondamental de la Dynamique • « PTV » Principes des Travaux Virtuels

4. Enoncée Principe d’existence • Théorèmes généraux • Théorème de l’action réaction • Théorème de l’énergie Pour un système matériel (ensemble de solides et ses liaisons) Inconnues principales?Équations principales? Difficile ! Équations du mouvement Rappel sur le PFD Equations de Newton

5. Principe d’existence PFD PTV Équivalence L’idée est d’utiliser Principe Local vectoriel PFD : déplacement virtuel du point P PTV : Principe global, scalaire Le « PTV » d’Alembert- Lagrange Énoncée

6. Paramétrage   Le temps est fixé Identité de Lagrange Travail virtuel des efforts Efforts Donnés Efforts de Liaison Systèmes discrets Ou systèmes discrétisés

7. Équations de Lagrange Système discret Travail Virtuel des efforts Donnés Travail Virtuel des efforts de Liaison Équations du mouvement Problème virtuel Problème réel Si p liaisons non respectées par le paramétrage Problème virtuel Problème réel p inconnues efforts supplémentaires (multiplicateurs) Forme pratique du  PTV

8. Analyse choix du paramétrage en fonction des objectifs du problème Problème virtuel Problème réel Equations du mouvement Inconnues : N paramètres Efforts de liaison Inconnues : (N+p) paramètres et p multiplicateurs Calcul des Énergies (Ec et Ep) Prise en compte des actionneurs Prise en compte des p liaisons non respectées Prise en compte des liaisons non parfaites Problème virtuel Problème réel Écriture des équations de Lagrange Écriture des p équations de liaisons cinématiques Écriture des lois modélisant les liaisons non parfaites (frottement) Mise en forme et résolution Mise en œuvre

9. A vous de jouer Traitez les exemples et exercices de cours Vous verrez Le PTV est un outil pratique Si on sait l’utiliser