Mouvement non uniforme d’un satellite

Mouvement non uniforme d’un satellite Si la trajectoire n’est pas circulaire, le mouvement n’est pas uniforme mais suit la « loi des aires ». L’activité sera de simuler ce mouvement sur le logiciel géogébra. Un satellite artificiel tourne autour de la terre selon une trajectoire elliptique.

La loi des aires:Si M et P sont les positions du satellite à l’instant t et t+Dt, l’aire de la surface balayée par le rayon de FM à FP (F est un des foyers de l’ellipse) est constante. Les aires des surfaces roses doivent être égales Mouvement d’un satellite : Le problème

Pour faire la simulation d’un point M parcourant l’ellipse, il faut donc déterminer n positions de M sur l’ellipse telles que la lois des aires soit vérifiée.Il suffira alors de faire avancer M sur ces positions successives à intervalles de temps égaux. Pour faire la simulation d’un point M parcourant l’ellipse, il faut donc déterminer n positions de M sur l’ellipse telles que la lois des aires soit vérifiée.Il suffira alors de faire avancer M sur ces positions successives à intervalles de temps égaux. Le problème est: comment déterminer ces n points? Mouvement d’un satellite : Le problème

Quelques rappels à propos de l’ellipse Mouvement d’un satellite : Analyse du problème p est le paramètre de l’ellipsea est le demi grand axeb est le demi petit axe e est l’excentricité ( 0  e < 1 )c est la distance entre centre et foyer Intégrale elliptique qui ne s’exprime pas avec des fonctions usuelles.L’aire S de l’ellipse complète est égale à pab

Il faut trouver les n positions (r(qt); qt) telles que f(qt)= t*S/navec f(qt) = aire surface rouge.Il faut donc trouver n points sur la courbe de f dont les ordonnées sont t*S/n. Les abscisses de ces points seront les qt cherchés. Mouvement d’un satellite : Analyse du problème

La fonction f est solution de l’équation différentielle: Y’(q)=0.5 r(q)² et Y(0)=0 On applique la méthode d’Euler pour résoudre cette équation: Le premier point de l’approximation de la courbe est (0,0) : q0 = 0. Posons : le (t+1)ième point de l’approximation est (qt , t*S/n) L’ordonnée du point suivant est (t+1)*S/n[ car Ds = S/n] On a: Mouvement d’un satellite : Méthode L’abscisse point suivant est donc qt+1 = g(t+1)(0) avec g(x) = x + 2S/[n*r(x)²] La suite des n angles est:{0, g(0),g(g(0)),g(3)(0), … g(n-1)(0)}

Réalisation pour n= 50 Mouvement d’un satellite : Méthode

Mouvement d’un satellite Réalisation sur Géogébra

I – Création de l’ellipse 1. Créer le point A n’importe où dans le plan (ce sera le centre de l’ellipse) bouton : 2. Créer les curseurs a (entre 0 et 10) et e (entre 0 et 1) bouton: Réglages: a = 2 et e = 0.8 a sera le demi grand axe, et e l’excentricité Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra 3. Créer les autres paramètres p, c et b de l’ellipse: Taper dans la barre de saisie (en bas) : p=a*(1-e²) , c=a*e et b=a*sqrt(1-e²) 4. Créer les foyers F et F’ et le point I de l’ellipse: Taper dans la barre de saisie (en bas) : F=A+(c,0) F’=A-(c,0) I=A+(a,0) (et valider) 5. Créer l’ellipse (avec le bouton ellipse, cliquer sur F, F’ et I) bouton :

II – Création de l’animation On se rappelle: qt = g(t)(0)g(x) = x + 2S/[n*r(x)²]r(x)= p/(1+ecos(x)) 1. Créer le paramètre n (nb de points) comme un curseur (entre 40 et 1000), régler sur 500. 2. Créer la variable S (S=p*a*b) Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra 3. Créer les fonctions r et g: taper dans la barre de saisie: r(x)=p/(1+e*cos(x)) puis g(x)=x+2*S/(n*r(x)^2)(les courbes de ces fonctions s’affichent: clic droit sur les courbes, décocher « afficher objet ») 4. Créer les paramètres pour l’animation: Créer une variable temps: curseur u variant de 0 à 10 000 par pas de 1 Créer une variable position: t = u – floor(u/n)*n (floor est la partie entière: t est le reste dans la division euclidienne de u par n) 5. Créer la liste des n points sur l’ellipse F+(r(qk);qk):taper dans la barre de saisie: points = Séquence[F + (r(Itération[g, 0, k]); Itération[g, 0, k]), k, 0, n - 1] la commande « séquence » créer une liste; la variable muette k varie de 0 à n-1 « Itération[g, 0, k] » calcule g(k)(0) qui est qk .« F + (r(Itération[g, 0, k]); Itération[g, 0, k]) » point de l’ellipse correspondant à la kième position.

II – Création de l’animation 6. Créer le satellite = tième point de la liste « points »: taper dans la barre de saisie: M= Elément[points, t + 1] 7. Réglage de l’animation: clic droit sur le curseur u: propriété/curseur; régler la vitesse à 0.05 et croissant clic droit sur le curseur u: animer… Votre satellite tourne en suivantapproximativement la loi des aires… Mouvement d’un satellite : Réalisation sur géogébra

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