LA DIVINA MANIA

1. LA DIVINA MANIA Ovvero la musica e l’arte sono l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola (in)consciamente?

2. Bari - 09/04/99 - Studio radiofonico

3. Conduttore: Buonasera a tutti, cari ascoltatori. Avete appena ascoltato Reflets dans l’eau di Claude Debussy. Oggi parleremo del rapporto tra musica e matematica. Abbiamo la fortuna di avere qui con noi in studio il compositore Iannis Xenakis. Buonasera, professore. I. Xenakis: Buonasera a voi! Conduttore: È sempre un gran piacere ascoltare la musica di Debussy, che non pochi hanno definito ‘perfetta’, e non casualmente. Diversi studiosi hanno infatti individuato uno stretto rapporto tra la sua musica e alcune proporzioni matematiche che riguardano la cosiddetta sezione aurea. Per far comprendere meglio a chi ci ascolta, abbiamo qui con noi il professor Baldini, docente della Facoltà di Matematica dell’Università di Roma: buonasera, professore. Prof. Baldini: Buonasera. Conduttore: Potrebbe allora introdurci alla sezione aurea? Prof. Baldini: Volentieri.

4. A C B Si definisce sezione aurea di un segmento AB quella parte del segmento AC che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente CB. Si può dire che una linea sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore cosi come la maggiore sta alla minore. In altre parole, è chiaro che il segmento AB è più lungo del segmento AC e allo stesso tempo che il segmento AC è più lungo del segmento CB. Quindi se si può dire che la linea è stata divisa secondo la proporzione estrema e media, ovvero secondo il suo rapporto aureo.

5. Definiamo l il segmento, x la misura della sezione aurea e ϕ il rapporto aureo, ovvero il rapporto tra il segmento e la sua sezione aurea. Riscrivendo la relazione precedente: Escludendo la soluzione negativa, si ha che: Quindi, si ottiene che: Pertanto, per ϕ si ottiene il valore:

6. È possibile verificare che, sommando ad un segmento la sua sezione aurea, si ottiene un nuovo segmento di cui quello dato è sezione aurea. Infatti applicando alla proporzione la proprietà del comporre si ottiene: (l + x) : l = x + (l-x) : x (l + x) : l = l : x Applicando la proprietà dello scomporre si ricava che: la differenza fra un segmento e la sua sezione aurea è sezione aurea della sezione aurea del segmento. (l - x) : l = x - (l - x) : x

7. AB è il segmento dato Verifichiamo ora com’è possibile costruire geometricamente la sezione aurea di un segmento. Si conduca la perpendicolare ad AB nell’estremo B Si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza. Si porti infine su AB il segmento AE congruente ad AC. D O AE risulterà allora sezione aurea di AB C E B A

8. Infatti per il teorema della secante e della tangente si ha: AD : AB = AB : AC Da cui scomponendo si ottiene: (AD - AB) : AB = (AB - AC) : AC Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad AE si ha pure: AD - AB = AD - CD = AC e AB - AC = AB - AE =EB Perciò l'ultima proporzione diventa: AE : AB = EB : AE Da cui invertendo: AB : AE = AE : EB D O C E B A

9. Poniamo che AB sia il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O e raggio OA. L’angolo AO^B è 1/10 di un angolo giro, quindi 1/5 di un angolo piatto, vale a dire misura 36°. Il triangolo AOB è isoscele, quindi ciascun angolo alla base è 2/5 di un angolo piatto, ovvero misura 72°. E’ possibile inoltre dimostrare che: il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta. Conduciamo ora la bisettrice AC dell’angolo OA^B. B Il triangolo ACO risulta isoscele, dato che CO^A è congruente OA^C, e di conseguenza a 1/5 di angolo piatto, cioè 36° e quindi AC = OC. Ma anche il triangolo BAC è isoscele perché AB^C è congruente a AC^B, vale a dire ai 2/5 di una angolo piatto, ovvero 72° e quindi AC = AB. Poichè AC = OC e AC = AB, per la proprietà transitiva della congruenza otteniamo OC = AB. 72° C 72° 36° 36° 36° O A Pertanto OB-BA= OB-CA=OB-OC=CB I triangoli OBA e CBA risultano essere simili per il 1°criterio di similitudine per cui: OA:BA=BA:CB . C.V.D

10. Di conseguenza: • Se in un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 36° (e quindi gli angoli alla base sono entrambi di 72°), la base del triangolo è la sezione aurea del lato. Tale triangolo viene detto triangolo aureo. • Anche il triangolo isoscele di angoli 36, 36, 108°possiede proprietà di proporzione.

11. All’interno di un pentagono (ABDCE), ogni lato forma con due diagonali un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, in cui la base (AB) è sezione aurea del lato (DB). e f D d Avremo quindi anche che: a/b= φ b/c =φ c/d =φ d/e =φ e/f = φ 36° L I E C a F H c G A B b

12. Si definisce rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell’altro. D N C Se ABCD è un rettangolo aureo (in figura), si ha, per definizione: AB : AD = AD : (AB – AD) A B M o anche, prendendo AM ≡ AD, AB : AM = AM : MB E F Se sul lato maggiore AB del rettangolo aureo ABCD, esternamente al rettangolo, costruiamo il quadrato AEFB, si ottiene un nuovo rettangolo aureo EFCD. Infatti, per la proprietà del comporre, si ha ( AB + AD ) : AB = [ AD + ( AB – AD ) : AD ]

13. Essendo poi AB ≡ AE, otterremo D N C DE : AB = AB : AD da cui A B DE : AE = AE : AD Ed è così dimostrato, essendo AE ≡ EF, che EF di EFCD è la parte aurea del lato maggiore DE. E F Ripetendo più volte questa costruzione, si ottiene una tale successione di quadrati, ognuno dei quali ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo un arco di circonferenza inscritto in ogni quadrato, avente il centro nel vertice del quadrato, che non appartenga all’arco precedente e stia sul lato che contiene il centro precedente, si ottiene una curva, la spirale aurea.

15. La storia del rapporto aureo è molto affascinante, ma andiamo con ordine. Nel 300 a.C. Euclide, il noto matematico di Alessandria d'Egitto, descrisse per la prima volta il rapporto f (phi), chiamandolo proporzione estrema e media. Dal declino del periodo ellenico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici, rilevando grazie al suo alter ego algebrico inedite proprietà, prima inconoscibili per via meramente geometrica. Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De Divina Proportione di Luca Pacioli, pubblicato nel 1509 a Venezia, corredato di disegni di Leonardo da Vinci. In quest'opera si divulgava a una più vasta platea di intellettuali l'esistenza del numero e delle sue innumerevoli proprietà, sino ad allora appannaggio di una ristretta cerchia di specialisti. Vediamone ora alcune.

16. 1. Il rapporto aureo è l’unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la parte decimale. Considerando, infatti, l’equazione iniziale e modificandola, si ottiene che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l’unità, mentre il quadrato è uguale alla somma della radice e di un’unità.

17. 2. Ogni potenza del rapporto aureo è la somma delle due precedenti. • 1/φ=φ-1 • φ2 =φ+1 • φ3 =2φ • φ4 =3φ+1 • φ5 =5φ+1

18. Il rapporto aureo può essere espresso mediante una frazione continua:

19. ϕ può essere anche espresso mediante ‘radici nidificate’:

20. Numerose relazioni sono state individuate tra φ e la serie di Fibonacci La successione di Fibonacci è una successione di numeri che, partendo da 0 e 1, si ottengono sommando i due termini precedenti 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Si può osservare che, se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il precedente, la successione dei rapporti tende al rapporto aureo f (1,618). Infatti, se scriviamo la successione dei rapporti a partire dal terzo termine, si ha: 1; 2; 1,5; 1,6; 1,6; 1,625; 1,61538; 1,61904; 1,61764; 1,61818…; Da cui si evince che i valori dei rapporti si avvicinano sempre più a 1,61803… che è il valore di φ . Nel caso della spirale aurea, la successione dei lati dei quadrati si ottiene come quella dei numeri di Fibonacci, partendo dai lati di un rettangolo aureo anziché da 0 e da 1, e ottenendo ogni termine dalla somma dei precedenti.

21. La relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fu scoperta nel 1611 da Keplero. Ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo, che lui invece osservava nelle sue proprietà "divine”. La dimostrazione fu fornita, invece, un secolo più tardi dal matematico Robert Simson.

22. Il rapporto aureo è legato nella percezione umana ad un’idea di armonia e di proporzione che trova le sue applicazioni anche nei dipinti e nella pittura, così come in ogni ramo dell’arte. Secondo alcune osservazioni l’ottica dell’uomo tenderebbe a disporre quasi inconsciamente gli elementi di una composizione secondo questi rapporti.

23. MEGALITI DI STONEHENGE Nei megaliti di Stonehenge, le superfici dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra  loro nel rapporto di 1,6.

24. STELE DI GET E’ possibile trovare proporzioni di tipo aureo anche nelle stele di Get, e più precisamente i lati del rettangolo del palazzo e il rettangolo in cui si trova il serpente è in rapporto aureo col quadrato costituito dal palazzo.

25. h s a a Secondo Erodoto, la piramide di Cheope , “fu costruita in modo che l’area di ciascuna faccia fosse uguale all’area di un quadrato il cui lato sia pari all’altezza della piramide” Si consideri a la metà del lato della base, sl’altezza della faccia triangolare e hl’altezza della piramide. Se l’affermazione attribuita ad Erodoto è corretta allora h2(il quadrato dell’altezza della piramide) sarebbe uguale a s×a, l’area della faccia triangolare. Questa uguaglianza implica che il rapporto s/a sia identico al rapporto aureo.

26. Viene spontaneo domandarsi: le cose stanno proprio così? E’ bene precisare subito che la base della grande piramide è molto vicina ad un quadrato perfetto, ma non lo è: i lati variano da un minimo di 230, 25 m, a un massimo di 230,45m. La lunghezza media, che prenderemo come valore di a è 230, 37 m. L’altezza del monumento è h= 146,73 m. Da questi valori, usando il teorema di Pitagora, ricaviamo per l’ipotenusa del trinagolo AOT una lunghezza s = 186, 54m. Perciò s/a= 186,54/115,19=1,62- un valore vicinissimo a ϕ.

27. ARCO DI COSTANTINO L’arco di Costantino, il più importante tra gli archi triofali romani, fu innalzato nel 313 d.C. per celebrare la vittoria dell'imperatore Costantino su Massenzio. L'altezza dell'arco è sezione aurea dell’altezza totale, mentre ciascuno dei due archi più piccoli è sezione aurea della distanza tra la base e il listello inferiore. Oltre a questo uso evidente delle proporzioni auree, vi sono molti altri particolari in questa costruzione che possono essere ricondotti alla divina proporzione.

28. CASTEL DEL MONTE

29. IL PORTALE Il disegno del portale di Castel del Monte scaturisce dal pentagono stellato e dalla sua scomposizione secondo il numero aureo, 1.618, le sue potenze e le sue radici. Il portale di Castel del Monte ha infatti dei punti salienti che coincidono con i vertici di un pentagono. Per ottenere ciò è necessario che concorrano più elementi con particolari caratteristiche, ad esempio la distanza delle due colonne, l’angolo del timpano, l’altezza del vertice del timpano. Soltanto con tali condizioni è possibile tracciare un pentagono.

30. IL PERIMETRO I solstizi e gli equinozi sono individuati dall’ombra del tetto sui punti salienti. Nel perimetro esterno si possono inscrivere rettangoli il cui rapporto  dei lati è “aureo”, i punti dove il sole sorge e tramonta ai solstizi formano un rettangolo in proporzione aurea. Tale fenomeno avviene soltanto alla latitudine in cui è situato il castello.

31. Il rapporto tra gli elementi, sempre di 1.6, fa sì che ci sia una giusta proporzione tra la larghezza e l’altezza delle aperture o tra un cerchio di pietre e l’altro. Per tali ragioni, stando dentro al monumento ci si sente a proprio agio e non si avverte l’imponenza che la struttura dovrebbe avere data la consistente mole di pietre che la compongono.

32. LA CHIESA DI OGNISSANTI A VALENZANO La chiesa di Ognissanti a Valenzano, risalente all’XI secolo, è solo uno dei tanti esempi di edifici rinascimentali in cui è possibile ritrovare la sezione aurea. La pianta stessa della chiesa è in rapporto aureo.

33. Inoltre, tutti gli arconi (sia in senso latitudinale che longitudinale) sono racchiusi in rettangoli aurei

34. CAPPELLA DEI PAZZI A FIRENZE Nell’architettura della Cappella dei Pazzi, Filippo Brunelleschi ricorre al numero aureo.

35. PALAZZO PITTI A FIRENZE Dopo aver sperimentato l’uso architettonico della sezione aurea nelle proporzioni della Cappella dei Pazzi, Brunelleschi continuò ad inserire proporzioni di tipo aureo nei propri edifici, come nel caso di Palazzo Pitti.

36. CUPOLA DEL DUOMO DI FIRENZE L'architetto Filippo Brunelleschi ripropone l’utilizzo del numero d’oro in architettura anche nella cupola del duomo di Firenze.

37. ABBAZIA DI CHIARAVALLE DELLA COLOMBA

38. LA CHIESA DEI SANTI PIETRO E MARCELLINO A SELIGENSTADT

39. In particolare il rapporto aureo interessò alcuni artisti e matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli.

40. Applicando le proporzioni della sezione aurea in alcune delle sue opere Leonardo da Vinci si rese conto che queste conferivano un senso di ordine e di armonia alle composizioni. Nella gioconda applicò il rapporto aureo - nella disposizione del quadro; - nelle dimensioni del viso; - nell’area dal collo a sopra le mani; - nell’area dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani.

41. Nell’Ultima Cena Leonardo rappresenta Gesù, personaggio divino, dipingendolo con proporzioni divine, racchiudendo la sua figura tra i lati di un rettangolo aureo.

42. Vitruvio afferma infatti che:"Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi.” In un’altra sua opera, L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea seguendo il De architectura di Vitruvio sviluppato anche intorno ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì così che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.

43. Infatti misurando-l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618;- così anche il rapporto tra  la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba;- o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio.  L’armonia che ne derivava affascinò altri pittori come Botticelli che fornì la sua espressione ne ‘’La venere”.

44. Anche nei quadri astratti del pittore ottocentesco Pierre Mondrian domina l’uso di figure geometriche particolari. L’intero quadro è, infatti, impostato sull’accostamento di quadrati e di rettangoli aurei.

45. Il pittore divisionista francese Georges Seurat impiega varie espressioni dei rettangoli aurei. Nel suo quadro ‘la parata del circo’ fa rientrare nei limiti dei rettangoli sezioni diverse della sua opera.

46. Chi avrebbe immaginato che questa sezione dall’aspetto innocuo definita da Euclide a fini esclusivamente geometrici avrebbe avuto conseguenze ai rami dello scibile che vanno dallo studio della disposizione delle foglie in botanica a quello degli ammassi di galassie in astronomia, e dalla matematica pura alla critica d’arte? Il rapporto aureo è uno splendido esempio di quel profondo senso di meraviglia cui il grande Einstein attribuiva grande importanza. Secondo Einstein, ‘Quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci sia dato di vivere e l’emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza. Da questo punto di vista chi sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente è simile a un morto, a una candela che non fa più luce.’

47. Conduttore: Ma torniamo al nostro ospite, il professor Xenakis, e al nostro brano. Partirei da una semplice e forse banale domanda: Esiste una relazione fra fisica, matematica e musica? I. Xenakis: Non si tratta affatto di una domanda banale. La musica è matematica. O, per citare Lorenz Christoph Mizler, allievo di Bach,  “La musica è il suono della matematica.” O ancora sosteneva Leibniz che: “La musica è l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente."

48. Insomma, la quantità di informazione contenuta in 20 secondi di musica equivale a quella stipata in "Guerra e Pace". Come è possibile che il cervello umano elabori così facilmente questa sterminata massa di dati musicali? La chiave della risposta è che noi non sentiamo la musica per la prima volta nella nostra vita; siamo abituati a sentirla, abbiamo i nostri schemi mentali. L’informazione che arriva alla parte cosciente del cervello è quella filtrata da questi schemi a cui ci siamo abituati per tutta la vita.

49. I. Xe.: La gradevolezza del suono o di una sequenza di suoni sembra essere fondamentalmente legata a una complessa catena di fenomeni matematici, informatici e neurologici. Con.: È naturale allora domandarsi se il rapporto aureo (e i numeri di Fibonacci) abbiano avuto una parte nell’evoluzione degli strumenti musicali e nella composizione di brani più o meno famosi. I. Xe.: Sì. Ad esempio, uno strumento spesso menzionato in relazione ai numeri di Fibonacci è il pianoforte.

50. In una tastiera l’ottava corrisponde a tredici tasti, otto bianchi e cinque neri. A loro volta i tasti neri sono riuniti in in gruppo di due e uno di tre tasti. I numeri citati – 2, 3, 5, 8 e 13 – formano una sequenza di cinque numeri di Fibonacci consecutivi. D’altra parte il rapporto tra la tastiera del pianoforte e i numeri di Fibonacci è molto probabilmente un falso indizio. ottava