新课程背景下高考数学试题的研究 2012.12

新课程背景下高考数学试题的研究 2012.12

值得警惕的倾向——超纲和生编硬造 2012年的数学高考试题仍然存在一些超纲和生编硬造的题目，甚至个别问题更加严重，令人非常担忧，这种导向非常不好，会加大学生学习的负担，却起不到培养学生能力的作用．

一、超纲 超纲题目的出现，会令高中教师认为必须在高中教学中补充这些内容，才能有好的成绩，从而围绕着相关的内容加大训练，从而加重了学生的负担．对于没有补充这些内容的考生非常不公平．另外，超纲的内容往往是大学的知识，没有必要要求中学生掌握．甚至，个别内容在整个数学中地位都不重要，实在不应该出现在高考试卷中．超纲的题目主要是关于“递推公式”，也有凹凸函数、二阶导数等等内容．

(2011年陕西文4)函数的图象是() 这样的考题一出现，必然使得今后的高中数学教学加入一般幂函数的讨论．要求学生会记住这种函数的图像和性质．大大加重学生负担．影响非常不好．

(2011年山东卷理科9 ) 函数的图象大致是() 这样的试题不是补充新内容、也不要求学生背诵、记忆，而是考察学生在已有知识的基础上，分析解决问题的能力．这两题以对比，立刻分出优劣．

这题的第2问，要用到三角函数的积化和差公式．(当然,也可以有其它方法．例如,对与同时用数学归纳法，证明它们是有理数．但这个要求太高了．)而这个公式在课标中是不要求的．由于知道这个公式的学生能证明其结果，而不知道这公式的学生可能就不会做．势必引导高中数学教师，教学中，大量补充已经被课标认定不要求掌握的公式、定理等．把已经删掉的许多东西又加进来．加重了学生的负担，也违背了课标的理念．这题的第2问，要用到三角函数的积化和差公式．(当然,也可以有其它方法．例如,对与同时用数学归纳法，证明它们是有理数．但这个要求太高了．)而这个公式在课标中是不要求的．由于知道这个公式的学生能证明其结果，而不知道这公式的学生可能就不会做．势必引导高中数学教师，教学中，大量补充已经被课标认定不要求掌握的公式、定理等．把已经删掉的许多东西又加进来．加重了学生的负担，也违背了课标的理念． (2010江苏23)已知△ABC的三边长为有理数．求证cosA是有理数；(2)对任意正整数n，求证cosnA也是有理数．

递推公式 在标准中，数列的差分方程(递推公式)只在系列4的《数列与差分》中出现，而且只要求常系数线性差分方程.(没有被纳入高考内容)对于变系数(即系数和下标n有关)或非线性的递推公式不应该要求.因为这部分内容属于现代离散拓扑动力系统．它们关注的是，诸如初始值的微小扰动对系统的影响、递推公式中参数的变化对系统的影响等等，即人们目前常提到的混沌现象、分形几何等．而不是像我们目前中学那样，对一些极特殊的方程，用一些极特殊的技巧来求通项公式．在数学上，这样做的意义及其有限．无论从方法上，还是从内容上，都不值得重视．用这种题作为难题来选拔学生更不应该．因为这考查的主要是，形式演算的技巧与能力，无助于学生对数列(函数)性质的理解．

(2011年广东理20) 设b＞0，数列{an}满足a1=b， (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n，

(2011年广东文20)设b＞0，数列{an}满足a1=b， (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1． 11年广东高考学生普遍反映数学考题难，有的学生甚至痛苦流涕．是和这类递推关系的难题出现有关系的．

(2011年天津理20) 已知数列{an}与{bn}满足： 且a1=2，a2=4． (Ⅰ)求a3，a4，a5的值； (Ⅱ)设cn=a2n1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列； (Ⅲ)设Sk=a2+a4+…+a2k，kN*，证明：

分析：这道题实际上是非线性、变系数的差分方程，超出了《标准》和《考纲》的要求．分析：这道题实际上是非线性、变系数的差分方程，超出了《标准》和《考纲》的要求． (2012年广东理19)(本小题满分14分) 设数列an的前n项和为Sn，满足2Sn= an+1 2n+1+1，nN*，且a1， a2+5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列an的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有

多年来，主要靠数列递推关系来选拔优秀学生的做法，实际上是一种偷懒的不够负责任的做法，其影响也不好．数列的递推关系给出的就是数列的差分方程．如果是线性差分方程(包括我们熟知的等差、等比数列)，是有通解公式的．换句话说，有通性通法，用不着玩技巧．至于非线性的差分方程，它是现代数学研究的对象．并不适合在中学讲授．对这类方程，由于无法得到一般的通项公式，数学家关心的是这种数列的极限行为．我们现在的考题却是找一些特殊的差分方程，把求这种数列通项公式作为目标，显然不是这个学科的研究方向．又由于这些方程和方法都十分特殊，因此，我们考题的讨论，看重的是技巧．由于不存在通性通法，不同的题目要求不同的技巧，这样的题目竟成了高考题的压轴题．也就是说，这里关注的主要是技巧，而不是我们高中数学学习的基本思想和内容．因此，这种考试并不能很好地考核学生理解数学的能力．多年来，主要靠数列递推关系来选拔优秀学生的做法，实际上是一种偷懒的不够负责任的做法，其影响也不好．数列的递推关系给出的就是数列的差分方程．如果是线性差分方程(包括我们熟知的等差、等比数列)，是有通解公式的．换句话说，有通性通法，用不着玩技巧．至于非线性的差分方程，它是现代数学研究的对象．并不适合在中学讲授．对这类方程，由于无法得到一般的通项公式，数学家关心的是这种数列的极限行为．我们现在的考题却是找一些特殊的差分方程，把求这种数列通项公式作为目标，显然不是这个学科的研究方向．又由于这些方程和方法都十分特殊，因此，我们考题的讨论，看重的是技巧．由于不存在通性通法，不同的题目要求不同的技巧，这样的题目竟成了高考题的压轴题．也就是说，这里关注的主要是技巧，而不是我们高中数学学习的基本思想和内容．因此，这种考试并不能很好地考核学生理解数学的能力．

一些考题,在数学上,把握不准确,甚至可以说有问题一些考题,在数学上,把握不准确,甚至可以说有问题例如，概率是随机现象讨论的内容．如果没有随机试验，谈不上概率．而现在把一些确定性现象中算比例的题目当成概率题来做，这是错误的． (2011年湖南卷文15) 已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25． (1)圆C的圆心到直线l的距离为； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为．题中不给出随机试验，怎么能谈概率呢？

同样，有关‘统计’的内容，有类似的问题． (2011年广东卷理13)某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm．这道题中，用给定的数据建立回归模型是不合适的．这因为，在回归分析中，要求独立地观测数据，因此，通常总要假设不同组的数据，作为随机变量，是相互独立的，至少也要线性不相关．如果用父、子身高分别作为自变量和因变量，来建立回归方程，这里仅用五代人的身高当作数据，它们不是独立的．这种做法显然不成．如果用第1、2、……代当自变量，用随机变量身高当因变量，也不合适，因为这不是回归分析．(数学上讨论类似问题的学科是，时间序列分析．)

两题实质上只是计算百分比．概率问题应该是去处理随机现象的问题，而不是勉强编造一些问题．两题实质上只是计算百分比．概率问题应该是去处理随机现象的问题，而不是勉强编造一些问题． (2012年福建文22) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中， a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55． (Ⅰ)求an和bn； (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率． (2012年江苏6) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．

(2012年江苏22) 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，=0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时=1. (1) 求概率P(=0)； (2) 求的分布列，并求其数学期望E(). 这道题生编硬造的痕迹也很明显．你总应该告诉人们为什么要求数学期望，它的含义是什么．不能只是从定义出发，来形式的计算．

(2012年湖北理8) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是几何概型是借助于几何解决随机现象的数学模型．不是，反过来，算面积的问题．算面积的问题是几何问题．不知道这道题要考什么．

(2012年山东理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(2012年山东理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 (A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15 这道题表面是考统计，实际上，统计思想几乎没有，只是考算术．960个人中随机取32人．自然想到，每30个人中取一个．问卷B的人取自编号落入区间[451,750]的人，这里是300人，自然取二分之一．哪组样本多，加权系数自然应该大．反之，加权系数小的，样本个数自然要少

(2012年江西理9) 样本(x1，x2，…，xn)的平均数为样本(y1，y2，…，ym)的平均数为若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数其中则n，m的大小关系为 A. n < mB. n > mC. n = mD. 不能确定把问题复杂化了．当两组样本一样多时，然取二分之一．哪组样本多，加权系数自然应该大．反之，加权系数小的，样本个数自然要少．

其他 (2012年福建理10) 函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2[a,b]，有则称f(x)在[a,b]上具有性质P．设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的； ②f(x2)在上具有性质P； ③若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x[1,3]； ④对任意x1，x2，x3，x4[1,3]，有其中真命题的序号是( ) A．①②B．①③C．②④D．③④

分析：这道题讨论的是，高中数学不要求的函数凹凸性．而且全是形式的讨论．这种题的出现，会使中学补充关于函数凹凸性的内容．分析：这道题讨论的是，高中数学不要求的函数凹凸性．而且全是形式的讨论．这种题的出现，会使中学补充关于函数凹凸性的内容．

(2012年福建理20) 已知函数f(x) = ex+ax2ex，aR． (Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y= f(x)上存在唯一的点P, 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．解题用到了二阶导数．这种题目的出现必然使中学在教学中增加二阶导数．每一个增加的内容好像都不难，不多，但累加起来，势必增加学生负担．也不符合高中数学课程对学生培养的目标．

(2012年全国新课标理12) 设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则PQ最小值为(A) 1ln2 (B) (C)1+ln2 (D) 这道题讨论的反函数.许多中学教师认为是超标了,也有人认为不算超标,打的是‘擦边球’.介乎超标和不超标之间.严格说,它讨论的是：对数函数和线性函数的复合函数,超出了课程标准的要求.不管大家的看法是否一致,打‘擦边球’的做法就很不可取.为什么我们不用高中数学的基本内容来考查学生,一定要采用‘擦边球’的做法呢？这种做法的后果,就是使得教师认为,如果给学生补充反函数的知识,他们的考分就能提高．不是让学生关注高中数学最基本的内容,注重提高学生的能力,而是靠增加内容来取胜.这种做法极不可取．

(2012年江苏理14)已知正数a，b，c满足：5c3ab 4ca， clnba+lnc，则的取值范围是 [e,7] ．这种问题的实质是，在非线性约束下，求非线性二元函数的极值．虽然可以借助图形来处理，但超出了课程标准和考试大纲．

(2012年江西理21) 若函数h(x)满足(1)h(0)=1，h(1)=0；(2)对任意a[0,1]，有h(h(a))=a；(3)在(0,1)上单调递减．则称h(x)为补函数．已知函数(1)判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；(2)若存在m[0,1]，使得h(m)=m，称m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn,且若对任意的nN*, 都有求的取值范围；(3)当=0，x(0,1)时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1x的上方,求P的取值范围．

本题讨论分数指数的幂函数，超出了课标和考试大纲．这里对已知的函数，假设中介元存在．这个假设能成立吗？不知是否能存在，就做形式的讨论，这种做法极不可取.本题讨论分数指数的幂函数，超出了课标和考试大纲．这里对已知的函数，假设中介元存在．这个假设能成立吗？不知是否能存在，就做形式的讨论，这种做法极不可取.

这题也是讨论分数指数的幂函数，超出了课标和考试大纲．这题也是讨论分数指数的幂函数，超出了课标和考试大纲． (2012年湖北理22)(本小题满分14分) (I)已知函数其中r为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值； (II)试用(I)的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则 (III)请将(II)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当为正有理数时，有求导公式

生编硬造 在高考试题中还有个别题目生编硬造，根本不是数学问题．使做题变成了空洞的解题训练，完全无助于对数学的理解．生编硬造的题目主要是概率统计的问题，也有求最值、线性规划的问题等．

(2012年全国新课标文16) 设函数 的最大值为M，最小值为m，则M+m=____ . (2)其他(2012年山东文8) 函数的最大值与最小值之和为(A) (B)0(C)－1(D) 这两道题，都是‘求最大值最小值的和’的问题．我们曾经说过，在数学上，这是一个伪问题．数学上，人们关心最大值、最小值．有时，也关心它们的差．但没有任何问题会要求我们去求诸如，它们的和、积、商、平方和……等等．这只是一些无意义的游戏．这类题目的出现大都源自奇函数的性质．变成了一种题型．

(2012年福建理9) 若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( ) A．B．1 C．D．2 线性规划讨论的不是这种问题．没有实际背景，生编硬造．我们不去关注线性规划解决的基本问题、解决该问题的通性通法．将使得线性规划的教学偏离了方向．

还有一些过分形式化的题目．只是要求学生做形式推演，根本不知道其意义还有一些过分形式化的题目．只是要求学生做形式推演，根本不知道其意义 (2011年山东卷文22)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x= −3于点D(−3，m)． (Ⅰ)求m2+k2的最小值； (Ⅱ)若|OG|2=|OD|∙|OE|， (i)求证：直线l过定点； (ii)试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

(2011年天津卷理19) 已知a>0，函数f(x)=lnxax2，x>0．(f(x)的图象连续不断) (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)当时，证明：存在x0(2,+)，使 (Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的，，且≥1，使f()=f()，证明

在这题的第三问中，假设了“若存在均属于区间[1，3]的，，且≥1，使f()=f()”．这个条件凭什么成立？直观上是否能让学生看出来？不让学生清楚其假设是合理的，就让学生以此为依据来进行推理，这种做法不是在真正的理解数学，也不是学数学．在这题的第三问中，假设了“若存在均属于区间[1，3]的，，且≥1，使f()=f()”．这个条件凭什么成立？直观上是否能让学生看出来？不让学生清楚其假设是合理的，就让学生以此为依据来进行推理，这种做法不是在真正的理解数学，也不是学数学．

在这道题里，假设了“若f(x)有两个极值点x1，x2”.问题是：这里的函数f(x)真的能存在两个极值点吗？如果这个条件根本无法满足，我们所有的论证就没有任何意义．这样的学习数学，就把数学变成了逻辑推理的游戏，而丧失了其真正的意义．在这道题里，假设了“若f(x)有两个极值点x1，x2”.问题是：这里的函数f(x)真的能存在两个极值点吗？如果这个条件根本无法满足，我们所有的论证就没有任何意义．这样的学习数学，就把数学变成了逻辑推理的游戏，而丧失了其真正的意义． (2011年湖南卷文22) 设函数 (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性． (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

(2011年湖南卷文14) 设m＞1，在约束条件下，目标函数 z=x+5y的最大值为4，则m的值为3．

(2011年湖南卷理7) 设m＞1，在约束条件下，目标函数 Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为() 这些题目好像是线性规划的逆运算．实际上，却没有什么数学上的意义，而是玩一些花样、技巧．

(2010年山东文22)如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.。点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点.(2010年山东文22)如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.。点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2. (i)证明： (ii)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 数学讨论的问题应该有意义.这表现在问题本身有意义.结论和条件有意义.而不是一些形式的结论

除了第一个结论外，后两个结论均不知道要说明什么。而证明的方法也完全是形式推演。不能培养学生分析解决数学问题的能力。除了第一个结论外，后两个结论均不知道要说明什么。而证明的方法也完全是形式推演。不能培养学生分析解决数学问题的能力。另外，目前解析几何的高考题中，形式演算过于繁琐。有时要靠一些技巧才能得到结果。用常规的消元法，会很复杂。例如，此题中如果不用韦达定理，就会很复杂。在考试中，会让学生陷入不必要的复杂计算而不能自拔。而不是让他思考数学问题。

(2010年广东理21)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)=|x2－x1|+|y2－y1|.(2010年广东理21)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)=|x2－x1|+|y2－y1|. 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2) （1）若点C(x，y)是平面xoy上的点，试证明ρ(A，C)+ρ(C，B)≥ρ(A，B). （2）在平面xoy上是否存在点C(x，y)，同时满足 ①ρ(A，C)+ρ(C，B)=ρ(A，B)②ρ(A，C)=ρ(C，B) 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．我们天天讲‘数形结合’，但一到解决问题时，仍然是，只重视形式推导，而不肯从图形上来考虑。

画图。不难看出，满足第一个条件的点在以A，B为对角线顶点的矩形中。另外，从图不难看出，在这种距离下，到原点距离相等的点的轨迹（圆）是边为的菱形。这是解此题的关键。画图。不难看出，满足第一个条件的点在以A，B为对角线顶点的矩形中。另外，从图不难看出，在这种距离下，到原点距离相等的点的轨迹（圆）是边为的菱形。这是解此题的关键。

关于考核学生阅读能力的试题 现在强调学生自主学习．因此，培养学生的阅读能力就十分重要．近几年，高考试题中这类题目的出现，有助于教师重视这个问题，是非常好的．但是，目前有的题目写的偏难．甚至故意写的晦涩难懂．这是不应该的．我们的对象是高中学生，但有些考题，就是给大学数学系的学生来读，也很难读懂．这就不好了．

(2011年广东卷理21)在平面直角坐标系xoy上,给定抛物线L： 实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记记(p,q)=max{x1,x2}． (1)过点作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q(p，q)，有

(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M(a，b)作L的两条切线l1，l2，切点分别为 l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：

(3)设 当点(p，q)取遍D时，求 (p，q)的最小值 (记为min)和最大值(记为max) . 在这道题中，定义了一个二元函数φ(p，q) ，在第一问中，要证明这个二元函数在平面的一个区域(线段)取常数值；第二问，要证明几个充分必要条件；最后一问，要求这个函数在某个区域上的最大最小值．对于一个定义域非全平面的二元函数，讨论上述问题，显然超出了高中课程标准．(在高中课程标准中，只讲了二元线性规划．)

这题要讨论的问题意义不清楚．没有明确的背景，其解法也是形式地推演．对高中生来说，能看懂这道题所要回答的三个问题是什么，很困难．问题在于，问题的编造痕迹重，只看重形式推演，很难让人理解其意义．这题要讨论的问题意义不清楚．没有明确的背景，其解法也是形式地推演．对高中生来说，能看懂这道题所要回答的三个问题是什么，很困难．问题在于，问题的编造痕迹重，只看重形式推演，很难让人理解其意义．该题在表述方面，无论是文字表述(例如，刚给出一个抛物线，突然就出现一个和它无关的二次方程，定义一个二元函数)还是符号语言(如φ(p，q)的表达式)，都不自然．加上符号过多，即使是大学数学系的学生也很难读懂．其实，完全可以换一种表述(如直接给出φ(p，q)的解析表达式，等等)让学生能比较容易弄懂．

我们是要提高学生阅读数学文章和题目的能力，但我们教学的对象是高中学生，如果把大学数学系学生都很难读懂的材料拿来让学生读，不仅无法让绝大部分学生有所收获，反而会伤害他们的学习积极性．我们是要提高学生阅读数学文章和题目的能力，但我们教学的对象是高中学生，如果把大学数学系学生都很难读懂的材料拿来让学生读，不仅无法让绝大部分学生有所收获，反而会伤害他们的学习积极性．

(2010江苏第12题)设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤ ≤9，则的最大值是．这是一个非线性规划问题．即在平面上某个非凸多边形区域内，求一个二元函数的极值问题．一个自然的想法是，根据已知条件，分别找出在区域内部和区域边界上的极值，然后给出的最大值．这类问题的讨论超出了高中数学的范围．出题者的想法是：把我们要求的函数用已知条件中的xy2和来表示，从而得到解．问题是，如何能知道，我们所要求的函数一定能用xy2和来表示？如果我们所求的函数不能用它们来表示，怎么办？把题目编造成恰恰能有这种表示，这不是好题．这种倒过来编题目的做法，可以编出许多难题，不是真正的数学问题．本题可用取对数的办法，使运算降级，转化为线性规划问题，这种转化，作为填空题也要求过高．有些题目思路不自然，学生很难想到

个别题目偏难，超出了对高中生能力的要求．有人认为题目如果不难，大家都会做，无法选拔学生．但如果题目偏难，大家都不会做，也同样无法选拔学生，而且会损伤学生学习数学的积极性．还有些题目，虽然不难，但不关注通性通法，只注重技巧，而且只能处理一些很特殊、人为编造的题目个别题目偏难，超出了对高中生能力的要求．有人认为题目如果不难，大家都会做，无法选拔学生．但如果题目偏难，大家都不会做，也同样无法选拔学生，而且会损伤学生学习数学的积极性．还有些题目，虽然不难，但不关注通性通法，只注重技巧，而且只能处理一些很特殊、人为编造的题目难题

(2012年江苏18) (本小题满分16分) 若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a，b是实数，1和1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g(x)= f(x)+2，求g(x)的极值点； (3)设h(x)=f(f(x))c，其中c2,2，求函数y= h(x)的零点个数．这题要讨论三次多项式的复合(一个九次方程)．借助于变量替换，讨论三次方程根的各种情形．解的过程复杂，也很长，其难度超出中学水平，作为考试题就更不合适了．

(2012年北京20) 设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m,n)为所有这样的数表构成的集合．对于AS(m,n)，记ri(A)为A的第i行各数之和(1im)．cj(A)为A的第j列各数之和(1jn)；记k(A)为r1(A)，r2(A)，…，rm(A)，c1(A)，c2(A)，…，cn(A)中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值：

新课程背景下高考数学试题的研究 2012.12