Míry variability

1. Míry variability

2. Míry variability • Pokus shrnout jedním číslem míru odlišnosti hodnot statistických znaků • Míry variability pro nominální znaky existují, ale nejsou náplní kurzu • Míry variability pro ordinální a kvantitativní znaky jsou založeny na: • Kvantilech – vybraných hodnotách ze souboru • Všech hodnotách v souboru

3. Variační rozpětí • Variační rozpětí je rozdílem mezi maximem a minimem • R = max – min

4. Příklad • Určete variační rozpětí daného souboru:

5. Výsledky • W: 5 – 5 = 0 • X: 50 – 3 = 47 • Y: 18 – 5 = 13 • Z: 60 – 0 = 60

6. Rozpětí kvantilů • Rozpětí různých kvantilů, nejčastěji: • Kvartilové rozpětí x0,75 – x0,25 • Decilové rozpětí x0,9– x0,1 • Percentilové rozpětí x0,99– x0,01

7. Příklad • U dat z předchozího příkladu určete kvartilové a decilové rozpětí.

8. Výsledky • Kvartilové: • W: 5 – 5 = 0 • X: 7 – 3,5 = 3,5 • Y: 13 – 5,5 = 7,5 • Z: 54 – 11 = 43 • Decilové: • W: 5 – 5 = 0 • X: 8 – 3 = 5 • Y: 14 – 5 = 9 • Z: 55 – 10 = 45

9. Průměrná absolutní odchylka • První ukazatel míry odlišnosti počítaný ze všech čísel • Jedná se o průměr z absolutních odchylek jednotlivých hodnot od průměru • Musí se tedy určit průměr, následně určit (absolutní – kladný) rozdíl mezi průměrem a jednotlivými hodnotami znaku (d) a tyto rozdíly se průměrují

10. Příklad • Určete průměrnou absolutní odchylku z dat předchozích příkladů.

11. Výsledky Průměry: W = 5; X,Y = 9,4; Z = 31,9 Průměrné abs. Odchylky: W = 0; X = 8,12; Y = 3,4; Z = 17,52

12. Příklad • V následující tabulce jsou četnosti známek pro dvě skupiny studentů – určete průměrnou absolutní odchylku v těchto skupinách a porovnejte, kde je větší variabilita známek.

13. Výsledky - průměr Skupina: 200/80 = 2,5 Skupina: 2,5

14. Výsledky – pr. absolutní odchylka Skupina: 70/80 = 0,875 Skupina: 1,1

15. Rozptyl • Rozptyl je nejpočítanější mírou variability, byť sám o sobě nemá velký věcný význam. • Jedná se o průměrnou čtvercovou odchylku od průměru. • Pro každou hodnotu se musí udělat její rozdíl od průměru a tento rozdíl umocnit na druhou (tomu se říká čtverec). Tyto umocněné (čtvercové) odchylky se potom průměrují.

16. Vlastnosti rozptylu • Rozptyl je nejmenší ze všech čtverců odchylek od libovolné konstanty • Rozptyl konstanty je roven 0 • Přičteme-li k jednotlivým hodnotám konstantu, rozptyl se nezmění • Vynásobíme-li jednotlivé hodnoty konstantou, rozptyl se násobí druhou mocninou této konstanty

17. Výpočet roztpylu • Rozptyl má dva tvary pro výpočet • Definiční: • Výpočtový:

18. Směrodatná odchylka • Směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Jedná se de facto opět o průměrnou odchylku od průměru, ale jedná se o odlišný typ průměru (tzv. kvadratický průměr)

19. Variační koeficient • Všechny dosavadní ukazatele byly tzv. absolutními mírami variability – byly uváděny ve stejných jednotkách jako zkoumané proměnné. • Variační koeficient je poměr směrodatné odchylky a průměru. Jedná se tedy o tzv. bezrozměrný ukazatel – relativní variabilitu. • Jedná se o výborný ukazatel pro srovnání variability více souborů.

20. Příklad • Na základě dat z prvního příkladu vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

21. Výsledky

22. Výsledky • S2w = 25 – 52 = 0 • S2x= 273,6 – 9,42= 185,24 • S2y= 104,8 – 9,42= 16,44 • S2z= 1416,5 – 31,92= 398,89 • Sw = 0 Vw = 0 • Sx= 13,61 Vx= 1,45 • Sy= 4,05 Vy= 0,43 • Sz= 19,97 Vz= 0,63

23. Shrnutí výsledků

24. Příklad • Na základě údajů z druhého příkladu na průměrnou absolutní odchylku vypočítejte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

25. Výsledky Rozptyly: 1. skupina: 580/80 –2,52 = 1 2. skupina: 7,7 – 2,5 2 = 1,45 Sm. odchylky: 1. skupina: 1 2. skupina: 1,2049 Var. koeficienty: 1. skupina: 0,4 2. skupina: 0,48

26. Příklad • Máme vypočtený průměr 100 a rozptyl 400. Jak se tyto hodnoty změní, jestliže.. • A.) od každé hodnoty daného znaku odečtu 15 • B.) každou hodnotu daného znaku snížím o 15% • Jak se změní variační koeficient v těchto případech?

27. Výsledky • A.) nový průměr 85 a rozptyl 400. Variační koeficient se zvýší z 0,2 na 0,24 • B.) nový průměr 85 a rozptyl 289. Variační koeficient se nezmění.