Fraktálok

1. Fraktálok Szirmay-Kalos László

2. Fraktálok Hausdorff dimenzió D= (logN) / (log 1/r) N= 1/rD

3. D= (log4) / (log 3) = 1.26 Koch görbe N = 4, r = 1/3

4. Nem önhasonló objektumok dimenziója Vonalzó ( l ) db l 1 r =1/3 N = 4 r2 N2 rm Nm Hossz( l )= l db = l Nm = l (1/r D) m = = l (1/r m) D = 1/ l D -1 D = - log Hossz( l ) / log l + 1

5. Dimenziómérés = hosszmérés log Hossz( l ) D-1 log l

6. Fraktálok előállítása • Matematikai gépek: • Brown mozgás • Kaotikus dinamikus rendszerek

7. Brown mozgás - Wiener féle sztochasztikus folyamat • Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) • Trajektóriák folytonosak • Független növekményű folyamat • Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás: • a független növekményűségből, a szórás az intervallum hosszával arányos

8. Brown mozgás alkalmazása

9. Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak kis C értékre Sn+1= C Sn(1-Sn)

10. Kaotikus dinamikus rendszer:nyulak közepes C értékre

11. Kaotikus dinamikus rendszer:nyulak nagy C értékre

12. Pseudo véletlenszám generátor • Iterált függvény: • véletlenként hat rn+1= F(rn) F nagy derivált!

13. Rossz: rn+1= F(rn) 1 1 1 1 1 1 1 (rn,rn+1) pairs 1

14. Jó F • Sűrűn kitölti a négyzetet • Mindenütt nagy derivált • a [0, 1]-ben van periodicity Aperiodic length

15. Kongruens generátor F(r) = { g ·r + c } g ·r+c tört része g nagy

16. Kaotikus rendszerek a síkon F z = x + jy

17. z z2 z = r e j r r2  2 divergens konvergens 1 Attraktor: H = F(H)

18. Attraktor előállítása • Attraktor a labilis és a stabilis tartomány határa: kitöltött attraktor = amely nem divergens • zn+1= zn2 : ha z<  akkor fekete • Attraktorhoz konvergálunk, ha az stabil • zn+1= zn2 attraktora labilis

19. Inverz iterációs módszer H = F(H) H = F-1 (H) zn+1= zn2 zn+1=  zn rn+1= rn n+1= n/2 + {0,1}· rn 1 n  {0,1}.{0,1}{0,1}... · 1 n n-1 n-2 Nem lehet csak egy értékkel dolgozni ???

20. Julia halmaz: z z2 + c

21. Kitöltött Julia halmaz: algoritmus Im z (X,Y) FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) z = x + j y FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR ENDFOR END Re z

22. Kitöltött Julia halmaz: kép

23. Julia halmaz inverz iterációval Im z (X,Y) JuliaDrawInverseIterate ( ) Kezdeti z érték választás FOR i = 0 TO n DO x = Re z, y = Im z IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Pixel(X, Y) = fekete ENDIF z =  z - c if (rand( ) > 0.5) z = -z ENDFOREND Re z Kezdeti z érték: z2 = z - c gyöke

24. Julia halmaz nem összefüggő, Cantor féle halmaz összefüggő

25. Julia halmaz összefüggősége H-c H c H-c H c zn+1=  zn-c

26. Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok, amelyekre a z z2 + c Julia halmaza összefüggő

27. Mandelbrot halmaz, algoritmus MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO ViewportWindow(X,Y  x, y) c = x + j y z = 0 FOR i = 0 TO n DO z = z2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR ENDFOR END

28. „Matematikát kijátszó” Mandelbrot halmazok

29. Inverz feladat: IFS modellezés F x, y HF Attraktor: H = F(H) F: szabadon vezérelhető, legyen stabil attraktora

30. F: többértékű lineáris leképzés F = W1W2 … Wn W(x,y) = [ax + by + c, dx + ey + f] H = W1(H)  W2 (H)  … Wn(H) Stabilitás = kontrakció H = F(H)

31. IFS rajzolás: iterációs algoritmus IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A1 + q1 megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Write(X, Y, color); ENDIF Válassz k-t pk valószínűséggel [x,y] = [x,y] Ak + qk ENDFOREND y (X,Y) x Wk

32. Egyszerű IFS-ek

33. IFS modellezés

34. IFS képek