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Distribuciones habituales

Distribuciones habituales. Tema 5. Descripción breve del tema. Distribuciones discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal. Objetivos.

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  1. Distribuciones habituales Tema 5 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  2. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  3. Objetivos • Adquirir soltura con el manejo de funciones de distribución, probabilidad y densidad. • Reconocer los modelos básicos de distribución: Binomial, Geométrica, etc. • Reconocer el papel central que juega la distribución Normal. • Aplicar con soltura el Teorema Central del Límite. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  4. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  5. Distribución de Bernoulli Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en 1 realización de un experimento, en el que la probabilidad de éxito es p decimos que sigue distribución de Bernoulli de parámetro p. X ~ B(1, p) Xº “número de éxitos en 1 realización” Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  6. Distribución de Bernoulli • Función de probabilidad: P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1-p • Función de distribución: • Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1-p) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  7. Distribución de Bernoulli Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  8. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  9. Distribución Binomial Una variable aleatoria que describe el número de éxitos en n realizaciones independientes de un experimento, en el que la probabilidad de éxito en cada realización es p decimos que sigue distribución binomial de parámetros n y p. X ~ B(n, p) Xº “número de éxitos en los n intentos indep.” Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  10. Distribución Binomial • Función de probabilidad: Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables de Bernoulli e independientes. • Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1-p) Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces X+Y~B(n1+n2, p) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  11. Distribución Binomial Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  12. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  13. Distribución Geométrica Una variable aleatoria que describe el número de realizaciones independientes de un experimento para el que la probabilidad de obtener éxito en cada realización es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución Geométrica o de Pascal de parámetro p. X ~ G(p) Xº “número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito” Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  14. Distribución Geométrica • Función de probabilidad: • Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1-p)/p2 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  15. Distribución Geométrica Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  16. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  17. Distribución de Poisson Una variable aleatoria que describe el número de sucesos ocurridos en una región, de tal modo que dichos sucesos ocurren independientemente y con una tasa constante decimos que sigue distribución de Poisson de parámetro l. X ~Ã(l) Xº “número de sucesos ocurridos en una región” Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  18. Distribución de Poisson • Función de probabilidad: • Parámetros: E[X] = l ; Var[X] = l Si X~Ã(l1) e Y~Ã(l2) son independientes, entonces X+Y~Ã(l1+l2) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  19. Distribución de Poisson Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  20. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  21. Distribución Uniforme (continua) Una variable aleatoria X con distribución uniforme entre a y b (a<b) representa un número elegido al azar entre los valores a y b, de tal modo que la probabilidad de que dicho número esté en cualquier subconjunto del intervalo (a,b) depende exclusivamente del tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  22. Distribución Uniforme (continua) • Función de densidad: • Función de distribución: • Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (b-a)2/12 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  23. Distribución Uniforme (continua) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  24. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  25. Distribución Exponencial Si el número de sucesos que ocurren en un tiempo t sigue distribución de Poisson proporcional a dicho tiempo Ã(lt), entonces la variable aleatoria Xº “tiempo entre sucesos” sigue distribución exponencial de parámetro l. X ~ Exp(l) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  26. Distribución Exponencial • Función de densidad: • Función de distribución: • Parámetros: E[X] = l-1; Var[X] = l-2 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  27. Distribución Exponencial Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  28. Distribución Exponencial La distribución exponencial no tiene memoria. Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con distribución exponencial P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  29. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  30. Distribución Normal La distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media m y la desviación típica s , X ~ N(m,s) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  31. Distribución Normal • Función de densidad normal estándar N(0,1): • Función de densidad N(m,s): • Parámetros: E[X] = m ; Var[X] = s2 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  32. Distribución Normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  33. Distribución Normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  34. Distribución Normal • Propiedades de la Normal. • Si X ~ N(m,s) , para cualesquiera a y b, aX+b ~ N(am+b , |a|s) • SiX~N(m1,s1)eY~N(m2,s2)indep,paraa,b aX+bY ~ N(am1+bm2 , (a2s12+b2s22)1/2) • Tipificación. Dada X~N(m,s), la variable aleatoria (X-m)/s sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  35. Tabla de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  36. Teorema Central de Límite Dada X1,X2,…,Xnn variables aleatorias independientes, con medias y varianzas finitas E[Xi]=mi y Var[Xi]=si2, su suma sigue aproximadamente distribución normal X1+X2+…+Xn»N(Si=1,nmi , (Si=1,nsi2)1/2) Buena aproximación si n > 30. Si las variables son discretas, para aproximar su suma porunacontinua,realizamoscorrecciónporcontinuidad. Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  37. Aproximaciones con la Normal • Aproximación Binomial-Normal. Una binomial B(n,p) puede construirse como suma de n variables de Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30 y np(1-p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  38. Aproximaciones con la Normal • Aproximación Poisson-Normal. Una Poisson Ã(l) con l > 5 puede aproximarse por una normal N(l, l1/2) Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  39. Descripción breve del tema • Distribuciones discretas • Bernoulli • Binomial • Geométrica • Poisson • Distribuciones continuas • Uniforme • Exponencial • Normal • Teorema Central del Límite • Distribuciones derivadas de la normal Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  40. Chi cuadrado Si X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias independientes con distribución N(0,1), entonces Y=X12+X22+…+ Xn2 es una variable aleatoria con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, Y ~cn2 E[Y] = n ; Var[Y] = 2n Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  41. Chi cuadrado Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  42. t de Student Si Xes una variable aleatoria normal estándar e Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n grados de libertad, entonces X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de libertad E[Z] = 0 si n ³ 2 ; Var[Z] = n/(n-2) si n ³ 3 Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  43. t de Student Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  44. F de Fisher Si Xes una variable aleatoria chi cuadrado con n1 grados de libertad e Y es independiente de ella con distribución chi cuadrado con n2 grados de libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue distribución F con n1 y n2 grados de libertad Depto. Estadística, Universidad Carlos III

  45. F de Fisher Depto. Estadística, Universidad Carlos III

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