第四章电磁波的传播

第四章电磁波的传播 Electromagnetic Wave Propagation

Maxwell’s equations的另一个重要成果，就是它揭示了在非稳恒情况下，电磁场变化具有波动性质。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁波已在广播通讯、光学和其他科学技术中得到广泛应用。本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论。也就是说，只研讨电磁场在电介质、导体以及在边界上的传播特性。

本章主要内容 平面电磁波单色平面电磁波在介质界面上的反射和折射有导体存在时电磁波的传播电磁波在波导中的传播

§4.1 平面电磁波 Plane Electromagnetic Wave

一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell’s equations，即 1、电磁场波动方程

在自由空间中（即 ），电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律将由无源情况下的Maxwell’s equations导出。即此时有：其中：

a) 真空情形：即 对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，即： 0

即同理，对（8）式两边取旋度，并将（6）式代入，即可得到：令

则得到： 这就是众所周知的波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、

光波、X射线和γ射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。光波、X射线和γ射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。 b) 介质情形当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受场作用，亦以同样频率作正弦振荡，可知

对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的，即对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不同的，即 ε和μ随频率ω而变化的现象，称为介质的色散。由于色散，对于一般非正弦变化的电场，关系式不再成立，这是因为

因此在介质内不能导出 的一般波动方程，千万不要把(9)、(10)两式中的，即由真空情况就转在介质情形，这是不正确的。 2、时谐电磁波（单色电磁波）在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用Fourier频谱分析方法分解为不同频率的正弦波的叠加。

下面，我们只讨论一定频率的电磁波。设角频率为ω，电磁场对时间的依赖总是cosωt ，其复数形式为 a) 时谐情形下的Maxwell’s equations 由于在一定频率条件下，有把(11)式代入到一般情况下的Maxwell’s equations中去，则有：

0 得：由同理，由由得：

同理得到： 故有： b) 亥姆霍兹（Helmholtz)方程由时谐电磁波的Maxwell’s equations可看出：

即 0 (16)、(17)即为Helmholtz方程。注意：Helmholtz方程是一定频率下的电磁波的基本方程，

其解代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。概括起来，在一定频率下， Maxwell’s equations可以化为以下方程：

或者 3、平面电磁波主要求解亥姆霍兹方程。我们知道，时谐情形下的Maxwell’s equations为所谓的Helmholtz方程，以电场为例：

以任意一个标量 f 表示 中的任一分量，则有在直角坐标系中，其解的形式为另外，我们还知道，电荷和电流是产生电磁场的源，如果只在空间某一有限区域内，在此区域外，，因此在距离存在的区域线度 l，即

B l x A 0 C 这样，在 x>>l的条件下，不为零的区域对 A点来说可视为一个“物理点”。即在 A 点附近，场的大小只与距离有关，与方向无关，BC 段是很大球面上的一小部分，可视为平面，该平面上场强的大小相等，所以离电荷ρ，电流很远处的场可视为平面场。

因此，波动方程的解形式， 其中A代表振幅，代表位相，为等相面的法线矢量，且等相面是平面，其满足这种波称为平面波。一般情况下，考虑时间因子在内，则有

故由此可得到电场和磁场的Helmholtz方程的解： 这里讨论：单色平面电磁波的特性： • 沿方向的两个相距为的等相面，其位相差为2π，所以波长为

即由于的方向为等相面的法线方向，其大小与波长相关，所以称为波矢量，其大小称为2π距离内的波数。 b)在单色情形下，麦克斯韦方程组中只有两个方程是独立的，即由此可看到

由此出发，可得

c)由单色平面电磁波的解 出发，在微分过程中，注意到这表明，电磁场振动方向与传播方向互相垂直，由此可见电磁波是横波。

d) 这表明电场和磁场之间不独立，且电磁场，振动方向与传播方向三者互相垂直，并满足右手螺旋法则。

另外，还可看到： 这表明电场和磁场位相相同，振幅之比为υ。

x 单色平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如下图所示： 4、电磁波的能量和能流 a)电磁波的能量密度根据电磁场的能量密度

式子，对于单色平面电磁波，满足 则有：又因为电磁波的振幅之比关系，即得

从而得到 说明了电场能量和磁场能量相等。 b)电磁波的能流密度因为，则：

故有： 0

也可以看到的关系: 注意：由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入，这是因为这就要求计算的瞬时值时，应把场强的实部代入，即为

实际上， 都是随时间迅速脉动的量，只需用到它们的时间平均值，即因为

故得同理可得：从而得到返回

§4.2 单色平面电磁波在介质 界面上的反射和折射 Reflection and Refraction of Monochromatic Plane Electromagnetic Wave at Interface of Medium

本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。本节所要研讨的问题是：用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。

（1）运动学规律: 关于反射和折射的规律包括两个方面：入射角、反射角和折射角的关系；（2）动力学规律: 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。

1、反射和折射定律（即相位关系） Law of Reflection and Refraction ( i.e. Phase Relation) 任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，是由的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。

一般情况下，电磁场的边值关系为： 在介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，即

因此，介质的分界面上的Maxwell’s equations为： 但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系只取下列两式：

也就是说， ，即切向连续性。下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。 a)由法拉第（Faraday)电磁感应定律出发：因为

L2 Ⅱ L1 Ⅰ 对于单色平面电磁波，上式可改写为：设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示：

对于两个回路，有 考虑到L1=L2=L，S1=S2=S，则

即两式相减，得如果。故上式左边为零，则得到右边，即得。这就是说

与 b)同理，由出发，对于单色平面电磁波，有只有一个是独立的。对于两个完全相同的回路，有

即两式相减，有

，故上式左边为零。则得右边 ，即得。这也就是说：与只有一个是独立的。证毕。下面来讨论反射和折射定律。假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z = 0 平面的上、下方的介质不同，如图所示

z 介质2 x 介质1 设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为、，波矢量分别为、。由Fourier 频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也

是平面波。这样就可以把入射波、反射波和折射波写为：是平面波。这样就可以把入射波、反射波和折射波写为：同时由可得磁场矢量为

在 z=0的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实意味着：在 z=0处，所有场的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在 z=0处必须相等，即在边界面上，所以要使该式成立，只有

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