DENSITY FUNCTIONAL THEORY (DFT) I

1. DENSITY FUNCTIONAL THEORY (DFT) I WIPSAR SUNU BRAMS DWANDARU Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, 16 Februari 2011

2. apa itu Teori Densitas Fungsional (TDF)? • Untuk sistem-sistem quantum,TDF adalah teori atau gagasan eksak tentang problema banyak-partikel (many body problem) untuk mempelajari perilaku-perilaku ground state sistem-sistem elektron (electronic systems) melalui prinsip variasi (variational principle). • Walaupun secara formalnya eksak, fungsional yang eksak tersebut secara umum tidak diketahui (unknown). • Namun demikian, terdapat berbagai teknik pendekatan (approximations) yang bekerja dengan baik untuk berbagai macam sistem elektronik. Secara praktis, TDF sangat baik digunakan untuk mempelajari stabilitas struktural sistem, elastisitas, perilaku vibrasi, dan, menentukan equation of state. • Ada pula berbagai kelemahan dari TDF, di antaranya 1) uncontrolled approximations, 2) kurang baik untuk strong correlated electron systems.

3. latar belakang • Tahun 1920-an: Model Thomas-Fermi diperkenalkan, yaitu E [n]. • Tahun 1964: Teori Density Functional (TDF) kali pertama digagas dan dibuktikan eksistensinya oleh P.Hohenberg dan Walter Kohn [Phys. Rev. 136, B 864 (1964)] khususnya untuk sistem-sistem quantum terutama elektron (electronic structures). Dikenal dengan teorema Hohenberg-Kohn. Tetapi hanya sebatas konsep, belum pada tataran aplikasi. • Tahun 1965: Skema Kohn-Sham diperkenalkan yang sudah dilengkapi dengan Pendekatan Densitas Lokal (PDL). Pengembangan TDF untuk sistem-sistem kuantum pada suhu berhingga (finite temperature) oleh N. D. Mermin [Phys. Rev.137, A1441 (1965)]. • Tahun 1970-an dan awal 1980-an: TDF menjadi populer dengan adanya PDL. • Tahun 1979: Pengembangan TDF untuk sistem-sistem klasik (yang memenuhi statistika Boltzmann) oleh R. Evans [Adv. Phys. 28, 143 (1979)].

4. latar belakang • Tahun 1985: Pengembangan TDF melalui molecular dynamics (Car-Parrinello). Artikel ini menjadi salah satu artikel dalam PRL yang paling banyak dirujuk. • Tahun 1988: Muncul berbagai skema pendekatan terutama fungsional Becke dan LYP. Saat ini TDF kerap digunakan di bidang kimia. • Tahun 1998: Penghargaan di bidang kimia diberikan kepada Walter Kohn dan John Pople.

5. motivasi • Pada prinsipnya, TDF memungkinkan untuk dipelajarinya berbagai perilaku (properties) suatu sistem melalui besaran densitas (rapatan) yang hanya bergantung pada tiga variabel, x, y, dan z. Tentu hal ini menguntungkan ketimbang mencari solusi untuk persamaan Schrodinger banyak partikel yang bergantung pada variabel tiap partikel penyusun sistem, sebagaimana metode Hartree-Fock. • Dengan demikian, TDF menawarkan suatu konsep yang cukup sederhana dan juga efisiensi dalam melakukan perhitungan kopmutasi.

7. Hamiltonan Bohr-Oppenheimer approximation external potential (Vext) kinetic energy (T) electron-electron repulsion (Vee)

8. problema banyak partikel untuk elektron

9. The many-electron wave function determines uniquely the density via: (5)

10. teorema Hohenberg-Kohn n(r) Vext

12. teorema Hohenberg-Kohn Minimizing E[n] for a given Vext(r) → n0(r) and E

13. (9) (10) (11) (12) fungsional energi Dicari nilai harap energi pada ground state, yaitu Dari prinsip variasi (4), diperoleh Sehingga, Dengan demikian, E[n0] dapat ditentukan melalui prosedure minimisasi:

14. ) ) )

16. kesimpulan • Telah dipelajari dua teorema mendasar tentang TDF. • Teorema I menyatakan adanya korespondensi satu-satu antara potensial eksternal dan densitasnya. Sehingga dengan mengetahui densitas, dapat diketahui fungsi gelombang. • Teorema II menyatakan prinsip variasi dimana energi merupakan fungsional dari densitas.