1 / 95

Phần 1 HÌNH HỌA

Phần 1 HÌNH HỌA. Chương 1 Mở đầu Cơ sở của biểu diễn. 1.1 Giới thiệu môn học Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.

iria
Download Presentation

Phần 1 HÌNH HỌA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Phần 1 HÌNH HỌA

  2. Chương 1 Mở đầu Cơ sở của biểu diễn

  3. 1.1 Giới thiệu môn học Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế. Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều. Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều? Gaspard Monge Hình họa Đối tượng môn học - Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

  4. 1.2 - Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π. *Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi là tâm chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A S A A’ П Hình 1.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

  5. b) Tính chất phép chiếu П C’ C S A’ A C S E F’ B B B’ D A D D’ F C’=D’ E’ A’ B’ T’ b) П Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm a) - Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)

  6. 1.3- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một điểm A bất kỳ trong không gian. - Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π. * Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm A a s A A’ П Hình 1.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

  7. b) Tính chất phép chiếu - Nếu đường thẳng AB không song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là một điểm C’=D’ - Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: - Nếu MN//QP thì: - Nếu IK// Π thì: C a) s B M D A C’=D’ A’ B’ M’ П b) K I Q N s M P N’ K’ I’ M’ Q’ П P’ Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu song song

  8. 1.4- Phép chiếu vuông góc - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm các tính chất sau: + Chỉ có một phương chiếu s duy nhất + Giả sử AB tạo với П một góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp hình chiếu thẳng góc a a) s A A’ П B b) s A φ B’ A’ П Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc

  9. Chương 2 Biểu diễn liên thuộc

  10. 2.1 – Điểm 2.1.1– Xây dựng đồ thức của 1 điểm a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 vàП2. - Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng. - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao điểm của П1 vàП2 (x = П1∩П2 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1vàП2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2 trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b) a) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 b) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

  11. a) * Các định nghĩa và tính chất - Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng - Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng - Đường thẳng x : trục hình chiếu - A1: hình chiếu đứng của điểm A - A2: hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2) - Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. Π1 A1 A x Ax A2 Π2 b) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

  12. * Độ cao của một điểm - Ta có: gọi là độ cao của điểm A - Quy ước: + Độ cao dương : khi điểm A nằm phía trên П2 + Độ cao âm: khi điểm A nằm phía dưới П2. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x + Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x a) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 b) Π1 A1 A Ax x A2 Π2 Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

  13. * Độ xa của một điểm - Ta có: gọi là độ xa của điểm A - Quy ước: + Độ xa dương : khi điểm A nằm phía trước П1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П1. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x + Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x *Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển a) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 b) A1 Ax x A2 Π2 Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

  14. b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một. + Gọi x là giao điểm của П1 vàП2 (y = П1∩П2) + Gọi y là giao điểm của П2 vàП3 (y = П2∩П3) + Gọi z là giao điểm của П1 vàП3 (z = П1∩П3) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1,П2 vàП3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 vàA3 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b) a) z Π1 Az A1 A3 A Ax x O Ay A2 y A2 Π2 Π3 b) z A3 Π3 A1 Π1 A Az Ax Ay x O y Ay A2 Π2 y Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

  15. b) Các định nghĩa và tính chất Bổ xung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A3: hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi - Trên đồ thức: + A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng + A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang. a) z Π1 Az A1 A3 A Ax x O Ay A2 y A2 Π2 Π3 z b) A3 Π3 A1 Π1 A Az Ax Ay x O y Ay A2 Π2 y Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

  16. b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) * Độ xa cạnh của một điểm - Ta có: gọi là độ xa cạnh của điểm A - Quy ước: + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm phía bên trái П3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải П3. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục z + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục z a) z Π1 Az A1 A A3 Ax x O Ay A2 y A2 Π2 Π3 z b) A3 Π3 A1 Π1 A Az Ax Ay x O y Ay A2 Π2 y Hình 2.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

  17. 2.1.2 – Một số định nghĩa khác a) Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. + Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV) Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV B1 Π1 A1 Π1 C2 ( II ) B2 ( I ) x C1 D1 ( III ) A2 A2 Π2 D2 Π2 ( IV ) Hình 2.4. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV Hình 2.3. Góc phần tư I, II, III, IV

  18. b) – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) C1 =C2 Π1 Π1 A1 ( II ) B2 (Pg1) x Ax Bx Dx Cx x ( I ) ( III ) A2 B1 A2 =D2 D1 Π2 Π2 ( IV ) (Pg2) Hình 2.6. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2) Hình 2.5. Mặt phẳng phân giác I và II

  19. 2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức. Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức z(+) z(+) z(+) a) c) Δ’ Δ’ b) Az A1 A3 B1 B3 Δ Bz Δ C2 Cy B2 By O Ay O Cy x(+) Cx x(+) Ax y(+) y(+) Cz O C3 Δ x(+) Bx Ay A2 C1 By y(+) By Δ’ y(+) y(+) y(+) z(+) z(+) Δ’ e) d) =E2 Dy E1 O x(+) Dx =Ey Ez y(+) E3 Δ D1 Dz Δ D3 O y(+) x(+) Ex D2 Dy Δ’ Ey y(+) y(+)

  20. 2.2 Đường thẳng 2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; -l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l Π1 B1 l1 B A1 l x A l2 B2 A2 Π2 B1 l1 A1 Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l l2 B2 A2 Hình 2.7. Đồ thức của một đường thẳng

  21. 2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng a)- Trường hợp tổng quát Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Π1 l1 l1 A1 A1 l x A x l2 l2 A2 A2 Π2 Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng

  22. b)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П3 ) Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh z z Π1 p1 α E3 E1 E E3 E1 p3 p1 α p3 p Π3 F1 F3 F1 x β O O x Ax F3 E2 y F A2 E21 p2 F2 y Π2 F2 p2 y Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt.

  23. Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: z P3 P1 I3 I1 Q3 Q1 O x y P2 I2 Q2 y Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh

  24. - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau - Nếu thì tỉ số đơn khác nhau Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu: P1 α I1 I’1 t - Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ). - Trên t lấy: - Vẽ Q1 x P2 I2 Q2 Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh

  25. c- Áp dụng. Tìm vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1Þ M1Îl1 , M2Îx - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2Þ N1Îx, N2Îl2 M1 Π1 M1 l1 l1 l N1 x N1 x M2 M2 l2 l2 N2 Π2 N2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng

  26. 2.3- Mặt phẳng 2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng a) Các cách xác định 1 mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng 3) I1 b1 a1 1) A1 C1 2) a2 l1 A1 B1 b2 I2 C2 4) l2 A2 A2 c1 d1 B2 Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng d2 c2

  27. b) Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14) a1 I1 b1 x a2 I2 b2 Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau

  28. Trường hợp đặc biệt Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15) Giải: Ta có: IÎl Þ PQ∩l Û IÎPQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên P1 l1 α I1 I’1 t Q1 x P2 I2 Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh) l2 Q2

  29. c) Điều kiện để hai đường thẳng song song * Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. * Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức - Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) a1 b1 x b2 a2 Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnh

  30. * Trường hợp đặc biệt Cả hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường cạnh RS. Ta có: P1Q1//R1S1 P2Q2//R2S2 Xét xem PQ có song song với RS không? (Hình 2.17) Giải: - Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: - Cách 2: Dùng định nghĩa. Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không? R1 P1 I1 S1 Q1 x P2 R2 I2 Q2 S2 Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có song song hay không?

  31. d) Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu z z Π1 mα m=m1 m p1 p p=p3 Π3 pα α m2=n1=p2 O x x O y n y n=n2 nα Π2 Hình 3.2. Vết của mặt phẳng y Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pα

  32. c) a) b) mα mα m1 αx αx m2=n1=x x x x n2 nα nα Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αxÎx (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)

  33. 2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) a) Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) I1 I1 I1 l1 21 l’1 21 11 11 11 K1 l1 b1 b1 b1 a1 l1 a1 a1 l2 l2 a2 b2 b2 b2 a2 a2 K2 12 l’2 22 12 12 22 l2 I2 I2 I2 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) KÎ l’→l qua IK a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22) c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1

  34. Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12) Giải: - Lấy M1≡ l1∩ mα→ M2Î x - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2Î nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm M1 mα l1 N1 x M2 l2 nα N2 Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1 Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết

  35. b) Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1:Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13) Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng lÎ(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2Î l2 (Điểm thuộc đường thẳng) I1 l1 21 K1 11 b1 a1 b2 a2 K2 12 22 l2 I2 Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2

  36. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2 (Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng aÎ(α) →a1 qua K1. Tìm K2? - K2Î a2 mα K1 M1 K2 a1 αx N1 M2 x Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự a2 nα N2 Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2

  37. 2.4 Mặt 2.4.1 Mặt kẻ a) Biểu diễn mặt kẻ Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) S1 A1 l1 A1 B1 B1 C1 C1 C2 C2 A2 A2 S2 l2 B2 B2 Hình 5.1. Biểu diễn đa diện Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.

  38. Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón) - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh. S1 l1 O1 O1 O2 O2 S2 l2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.

  39. S1 b) Bài toán điểm thuộc mặt Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp. P1 J1 M1 N1 Q1 B1 I1 A1 C1 E≡E’1 Q’1 C2 E’2 A2 J2 M’2 P’2 N2 I2 Q2 S2 M2 E2 P2 Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1 B2

  40. S1 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2) Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón P1 K1 M1 N1 Q1 O1 I1 J1 E1≡E’1 Q’1 I2 E’2 M’2 P’2 Q2 K2 J2 S2 ≡ O2 N2 P2 M2 Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. Tìm M2 , N2, P2, Q1 E2

  41. Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). PÎb ÞP1Îb1 * Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b) a1 Q1 k1 t1 ≡ s1 b1 k’1 N1 M1 P1 A1 Q’1 c1 H1 E1≡E’1 B1 G1 C1 C2 B’2 E’2 H2 c2 P’2 M’2 A2 N2 G2 s’2 t’2 Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ k2 E2 Q2 M2 a2 B2 t2 P2 Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1 b2 ≡ s2

  42. a1 Ví dụ 4: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) . k’1 s1 P’1 Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2Î a2, M’2Î a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1Î s1, N2Î s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2^l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1 Þ Q1Îl1 l1 M1 N1 Q1 J1 k1 H1 E1≡E’1 P1 T1 O1 G1 T2 H2 E’2 G2 l2 M’2 J2 Q2 P2 k2 O2 a’2 N2 E2 s2 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụ M2 T’2 a2 Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1

  43. 2.4.2 Mặt tròn xoay Ví dụ : Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1Î (u1) Þ N2Î (u2) P1Î (v1) Þ P2Î (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự. (u1) E1 M1 N1 (v1) P1 O1 (v2) P’2 M’2 (u2) O2 E2 N2 M2 Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ? P2

  44. 2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu a) Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Π1 A1 B1 h1 h1 A1 B1  h A x B x   h2 A2 A2 B2 h2 Π2 B2 Hình 2.2. Đường bằng * Tính chất : -Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB - Góc h2,x = h, П1= α

  45. b) Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: CD// П1 D1 f1 Π1 D1 f1 C1 C1 D β x x f β C β f2 f2 C2 D2 C2 D2 Π2 Hình 2.3. Đường mặt * Tính chất : -Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD - Góc f1,x = f, П2= β

  46. c)- Trường hợp đặc biệt (Đường thẳng song song với П3 ) Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3 được gọi là đường cạnh z z Π1 p1 α E3 E1 E E3 E1 p3 p1 α p3 p Π3 F1 F3 F1 x β O O x Ax F3 E2 y F A2 E21 p2 F2 y Π2 F2 p2 y Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. * Tính chất : -p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF - Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β

  47. d) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2 α1 Π1 B1 A1 mα C1 A1 C1 mα B1 x C A x B  C2 A2 C2 A2 B2 Π2 B2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằng *Tính chất : Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng

  48. e) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1 C1 Π1 C1 β A1 C A1 B1 B1 x x A B nβ nβ β2 C2 B2 A2 B2 A2 C2 Π2 Hình 3.9. Mặt phẳng mặt *Tính chất : Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng

  49. f) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 z z C3 Π1 C1 C1 B3 B1 B1 B B3 C3 C mγ mγ γ Π3 p3 A1 p A3 A1 O x x O y A3 B2 A E2 nγ A2 nγ y Π2 A2 C2 C2 Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh y *Tính chất : Chú ý: (γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

  50. 2.5.2- Các đối tượng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: A1 ≡B1 Π1 A1 =B1 A x B x A2 A2 B2 Π2 B2 Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng * Tính chất : -Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1 - Hình chiếu bằng - A2B2=AB

More Related