1 / 63

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

Program Studi Statistika Universitas B rawijaya. DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING. Dynamic programming problems adalah masalah multi tahap (multistage) dimana keputusan dibuat secara berurutan (in sequence) Beberapa aplikasi dari dynamic programming antara lain: Network

irish
Download Presentation

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Program StudiStatistika UniversitasBrawijaya DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

  2. Dynamic programming problems adalahmasalah multi tahap(multistage) dimanakeputusandibuatsecaraberurutan (in sequence) • Beberapaaplikasidari dynamic programming antara lain: • Network • Resource allocation • Inventory control,

  3. Untukmenemukan shortest (longest) path yang menghubungkanduatitikdalam network Contoh: Joe tinggal di new York danakanpergike LA. Diaberencanamenginap di rumahtemannyadalamperjalanantersebut. Joe punyateman di Columbus, Nashville, Louisville, Kansas, Omaha, Dallas, San Antonio, danDenver. Joe tahusetelahsatuhariperjalanandiaakanmencapai Columbus, Nashville atau Louisville. Setelahperjalanan 2 hariakanmencapai Kansas, Omaha, atau Dallas. Setelah 3 hariperjalananakanmencapai Denver atau San Antonio. Setelah 4 hariakanmencapai LA. Untukmeminimalkanjarak, kemana Joe harusmenginapsetiapmalamdalamperjalanannya ? Network problem

  4. 680 1050580610 5507907901030 900 760 540 660 700 940 1350 770 510 790 830 270 Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 Stage 5 network Kansas 5 Columbus 2 Denver 8 Nashville 3 Omaha 6 LA 10 New York 1 San Antonio 9 Louisville 4 Dallas 7

  5. Ide bekerjasecara backward adalahkitamulaimenyelesaikanmasalahdari yang paling sederhanauntukmenyelesaikanmasalah yang kompleks. Jadikitamulaidarikota yang hanyamembutuhkanperjalanansatuharike LA yaitukota Denver dan San Antonio (kotapada stage 4) Kemudiankitagunakaninformasidari stage 4 untukmenemukanjarakterpendekdarikotapada stage 3 ( yang membutuhkan 2 hari) ke LA Demikianseterusnyasampaikitamenemukan shortest path darikota New York ke LA The recursion

  6. TentukanCij = jarakkota i kekota j Tentukan Ft(i) = panjang shortest path darikota i kekota LA dimanakota i adalahkotapada stage t Tentukan shortest path ke LA darisetiapkota di setiap stage mulaidari stage akhir Solusi

  7. Karenahanyaadasatu path darikotapada stage 4 ke LA makakitadapatlangsungmenentukan Jarakterpendekdarikota Denver kekota LA adalah F4(8) = 1030 Dari kota San Antonio ke LA adalah F4(9) = 1390 Stage 4 computation

  8. Terdapattigakotapada stage 3 yaitukota Kansas, Omaha dan Dallas Dari kota Kansas terdapat 2 path menujukota LA yaitu Path 1. Kansas – Denver – kemudianmengambil shortest path dari Denver ke LA Path 2. Kansas – San Antonio – kemudianmengambil shortest path dari San Antonio ke LA Stage 3 computation

  9. Panjang Path 1 didapatkandari C58 + F4(8) Panjang Path 2 didapatkandari C59 + F4(9) SehinggaJarakterpendekdarikota 5 kekota 10 adalah

  10. Dengan cara yang sama, jarakterpendekdarikota Omaha(6) ke LA adalah Jarakterpendekdarikota Dallas ke LA adalah

  11. Pada stage 2 terdapat 3 kotayaitu Columbus, Nashville, dan Louisville Terdapat 3 path dariCoulumbuske LA yaitu Path 1. Columbus – Kansas – kemudainmengambil shortest path dari Kansas Path 2. Columbus – Omaha – kemudianmengambil shortest path dari Omaha Path 3. Columbus – Dallas – kemudianmengambil shortest path dari Dallas Stage 2 computation

  12. Panjang Path 1. adalah C25+F3(5) Panjang Path 2. adalah C26+F3(6) Panjang Path 3. adalah C27+F3(7) SehinggaJarakterpendekdarikota 2(Columbus ) ke LA adalah

  13. Dengan cara yang sama, jarakterpendekdarikota Nashville(3) ke LA adalah Jarakterpendekdarikota Louisville(4) ke LA adalah

  14. Dari kota 1(New York) terdapat 3 Path kekota LA yaitu Path 1. New York – Columbus – kemudianmengikuti shortest path dari Columbus Path 2. new York – Nashville – kemudianmengikuti shortest pat dari Nashville Path 3. New York – Louisville – kemudianmengikuti shortest path dari Louisville Stage 1 computation

  15. Jarakterpendekdarikota New york (1) ke LA (10) adalah Penentuan Path optimal Dari Stage 1 kota 1: 1 – 2 Dari Stage 2 kota 2 : 2 – 5 Dari Stage 3 kota 5 : 5 – 8 – 10 Jadi Path Optimal adalah 1 – 2 – 5 – 8 – 10 denganjarak 2870

  16. KarakteristikaplikasiDynamic Programming • Karakteristik1 • Problem dapatdibagimenjadibeberapa stage dandibutuhkansebuahkeputusanpadasetiap stage. • Karakteristik 2 • Setiap stage memilikibeberapa state. • state, adalahinformasi yang dibutuhkanpadasetiap stage untukmembuatkeputusan optimal. • Karakteristik3 • Keputusan yang dipilihpadasetiap stage menggambarkanbagaimana state pada stage sekarangditransformasike state pada stage berikutnya.

  17. Karakteristik4 • Diberikan state sekarang, keputusan optimal untuksetiap stage yang tersisaharustidaktergantungpada state yang dicapaisebelumnyaataukeputusan yang diambilsebelumnya. • Ide inidikenalsebagai the principle of optimality. • Karakteristik5 • Jika state untuksuatu problem telahdiklasifikasikanke T stage, harusterdapatrekursi yang menghubungkanbiayaatau reward yang didapatselama stage t, t+1, …., Tterhadapbiayaatau reward yang didapatdari stages t+1, t+2, …. T.

  18. Production And Inventory Problem • Dynamic programming dapatdigunakanuntukmenyelesaikanmasalah inventory dengankarakteristikberikut: • Waktudibagimenjadibeberapaperiode. Periodesekarangadalahperiode 1, berikutnyaperiode 2 danterakhiradalahperiode T. Padaawalperiode 1, permintaanselamasetiapperiodediketahui. • Padaawalsetiapperiode, perusahaanharusmenentukanberapabanyak unit yang harusdiproduksi. Kapasitasproduksiselamasetiapperiodeterbatas.

  19. Permintaanpadasetiapperiodeharusdipenuhitepatwaktudari inventory ataauproduksisekarang. Selamasetiapperiodedimanadilakukanproduksimakaakantimbul fixed cost danvariabel cost. • Perusahaan memilikikapasitaspenyimpanan yang terbatas. Hal inimencerminkanbataspada end-of-period inventory. Holding cost per unit timbulpadasetiap period’s ending inventory. • Tujuanperusahaanadalahmenentukanjadwalproduksiuntukmeminimumkan total cost daripemenuhanpermintaantepatwaktuuntukperiode 1,2, …., T.

  20. Pada model ini, posisi inventory perusahaandireviewpadaakhirsetiapperiodedankemudiankeputusanproduksidibuat. • Model sepertiinidinamakanperiodic review model. • Model iniberlawanandengan the continuous review model dimanaperusahaanmengetahuiposisi inventory setiapsaatdanmemesan order ataumemulaiproduksisetiapsaat.

  21. PRODUCTION AND INVENTORY PROBLEMS • MJ berencanamemproduksi 15 mobilselama 5 bulanyaitubulan Mei, Juni, Juli, Agustusdan September.

  22. Data • Maximum level produksiadalah 3 untukJuli, dan4 untuksetiapbulan yang lain. • Kapasitaspenyimpananadalah 2 mobildengan holding cost adalah $2,500 per bulan($3,000 untuk Mei). • Fixed costs (untukasuransidan lain – lain) hanyaterjadijikamobilbenar – benardiproduksi

  23. TUJUAN DARI MJ Membuatjadwalproduksi yang meminimumkan total cost

  24. MJ - Definisi • Stage variable j:Bulanke - j. • State variable Xj:Banyaknyamobil di inventory padaawalbulanke - j • Decision variable Dj:Jumlahproduksiuntukbulanke – j

  25. Asumsi: X1 = 0 danC1 = 3 MJ - Definisi • Stage cost function: • Fixed costs FCj(Dj) terjadijikadalambulanke j terdapatproduksimobil. Sehingga FCj(Dj) = SjjikaDj > 0 FCj(0) = 0 jikaDj = 0 • Production costs PCj(Dj) dalambulan j proporsionaldenganjumlahmobil yang diproduksiPCj(Dj) = PjDj • Holding (storage) costs HCj(Dj) dalambulanke j dibayarkanuntukmobil yang tidakterjual di akhirbulanke j. • Untukbulan j =1:HC1(D1) = 3000(X1 + D1 - C1)= 3000D1 – 9000 • Untukbulan j = 2, 3, 4, 5:HCj(Dj) =2500(Xj+Dj - Cj)

  26. MJ - Definisi • The optimal value function Fj(Xj) dalambulan j adalah minimum total cost yang terjadidaribulanke j sampai 5( September), jikaterdapatXjmobilpada inventory di awalbulanke-j • Boundary conditions F5(X5): F5(0) = 2,000 + 23,000(4) = $94,000; D5 = 4 F5(1) = 2,000 + 23,000(3) = $71,000; D5 = 3 F5(2) = 2,000 + 23,000(2) = $48,000; D5 = 2 • Optimal solution F1(0)adalah minimum total cost daribulan Mei sampai September jikatidakada inventory awal

  27. The Recursion Fj(Xj) = Min{FCj(Dj) + PCj(Dj) + HCj(Dj) + Fj+1(Xj +Dj - Cj)}, Djfeasible hanyajikamemenuhikondisiberikut : Dj + Xj³Cj ; D3 £ 3 for July; Dj£ 4 for j = 1, 2, 4, 5; Dj + Xj - Cj£ 2; Dj³ 0 PadasemuaDjyang feasible.

  28. Recursive Calculations – Stage 4: August Bulan Fixed Production Holding PermintaanKapProduksiKapinv j Costs Sj ($) Costs Pj($) Cost s Hc ($) Cj X4 Possible D4 X4 + D4 – C4 FC4 PC4 HC4 F5(X4+D4–C4) Total Optimal Production Units Stored Cost Value 0 Infeasible Infeasible Infeasible 1 4 0 3 52 0 94 149.0 F4=149 D4=4 2 4 1 3 52 2.5 71 128.5 F4=128.53 0 3 39 0 94 136.0 D4=4 August 3000 13,000 2,500 5 4 2

  29. Recursive Calculations – Stage 3: July BulanFixedProduction Holding PermintaanKapProduksiKapinv j Costs Sj ($) Costs Pj ($) Cost s Hc ($) Cj July 4000 9,000 2,500 1 3 2 X3 Possible D3 X3 + D3 – C3 FC3 PC3 HC3 F4(X3+D3–C3) Total Optimal Production Units Stored Cost Value 0 2 1 4 18 2.5 149 173.5 F3=164.5 3 2 4 27 5.0 128.5 164.5 D3=3 1 1 1 4 9 2.5 149 164.5 F3=155.5 2 2 4 18 5 128.5 155.5 D3=2 2 0 1 0 0 2.5 149 151.5 F3=146.5 1 2 4 9 5 128.5 146.5 D3=1

  30. Recursive Calculations – Stage 2: Juni Bulan Fixed ProductionHolding PermintaanKapProduksiKapinv j Costs Sj($) Costs Pj ($) Cost HCjCj June3000 16,000 2,500 2 4 2

  31. Bulan Fixed ProductionHolding PermintaanKapProduksiKapinv j Costs Sj($) Costs Pj ($) Cost s Hc ($) Cj May 2000 21,000 $3,000 3 4 2 Recursive Calculations – Stage 1: Mei

  32. solusi • JadwalProduksi MJ yang meminimumkan total cost • Bulan May : 3 Mobil • BulanJuni : 2 Mobil • BulanJuli : 3 Mobil • BulanAgustus : 4 Mobil • Bulan September : 3 Mobil • Denganbiaya minimum $264,500

  33. Resource allocation Problem • Kementriantenagakerjamemilikidanasebesar 5 juta dollar untukdigunakanolehkementrian – kementrian yang lain untukmenciptakantenagakerja • Terdapat 4 kementrian yang mengajukanpermohonandanauntukkepentinganpenciptaantenagakerja. • Kementriantenagakerjainginmengalokasikandanauntukmemaksimalkanbanyaknyatenagakerja yang diciptakan

  34. Data Estimasipekerjaanbaru yang tercipta

  35. SOLUsi • Kementriantenagakerjaingin : • Memaksimumkan total banyaknyatenagakerjabaru • Biaya yang tersediaadalah$5 juta.

  36. Fungsinonlinier SOLUsi • Notasi Dj= jumlahdana yang dialokasikankekementrian j, di mana j adalah :1 - Pendidikan, 2 - Keuangan, 3 – Perhubungan , 4 - Pertanian.Rj(Dj) = banyaknyapekerjaanbaru yang terciptajikaKementrian j dibiayaisebesar $Djjuta. • ModelMax R1(D1) + R2(D2) + R3(D3) + R4(D4) STD1 + D2 + D3 + D4 <= 5D1, D2, D3 , D4 >= 0

  37. The Backward Dynamic Programming • DefinisikanFj(Xj) adalahmaksimumbanyaknyapekerjaanbaru yang diciptakanolehkementrian (stage) j,j+1,…, 4, jikatersediadanasebesar$Xjjuta (state) untukkementrian j sampai 4.

  38. The Backward Dynamic Programming • Stage 4: KementrianPertanian,(KPt) • Mulailah dengan tahap terakhir j = 4 (KementrianPertanian, KPt). • Alokasikan dana yang memaksimalkan jumlah pekerjaan baru yang diciptakan untuk kementrianini. • Jelas, solusi optimal untuk kementrianterakhir adalah menggunakan semua jumlah yang tersedia pada stageini). • Solusi optimal untuk stageterakhir disebut “The boundary condition”

  39. Ingat: untukKementrianPertanian SOLUsi • Stage 4: TabelKementrianPertanian States

  40. SOLUsi • Stage 3: KementrianPerhubungan, (KPh) • Pada stage inikitamempertimbangkanpendanaanuntukKementrianPerhubungandanKementrianPertanian • Untukjumlahdanatertentu yang tersediauntukkeduakementrianini, keputusanbesarnyadana yang diberikanuntukkementrianKPhakanberpengaruhpadadana yang tersediauntukKPt

  41. SOLUTION Stage 3: TabelKementrianPerhubungan

  42. SOLUsi Stage 3: TabelKementrianPerhubungan

  43. SOLUsi • Stage 2: KementrianKeuangan, (KKu) • Pada stage inikitamemikirkanpendanaanuntukKementrianKeuangandanduaKementriansebelumnyayaituKementrianPerhubngandanPertanian • Untuk state tertentu (jumlahdana yang tersediauntukketigaKementrian ), keputusanmengalokasikansejumlahdanauntukKementrianKeuanganberpengaruhpadajumlahdana yang tersediauntukKementrianPerhubungandanPertanian (state pada stage j = 3).

  44. SOLUsi

  45. SOLUsi • Stage 1: KementrianPendidikan (KPd) • Pada stage inikitamemikirkanpendanaanuntukKementrianPendidikandansemuakementriansebelumnya. • Perhatikanbahwapada stage 1 masihterdapat $5 jutauntukdialokasikan (X1= 5).

  46. SOLUsi • Stage 1: KementrianPendidikanhanyamengusulkansatu proposal yaitusebesar $4 juta, sehingga (D1 = 0, 4). Tidakdidanai Proposal didanai

  47. SOLUsi Alokasipendanaan optimal untukmemaksimalkanbanyaknyapekerjaan yang diciptakanadalah : Pendidikan = $0 Keuangan = $3 million Perhubungan = $2 million Pertanian = $0 Maximum banyaknyapekerjaan yang diciptakan= 290

  48. komponenDynamic Programming

  49. Dynamic Recursive Relationship • Dynamic programming adalah proses rekursif • Recursive relationship berikutmenggambarkan proses untuk resource allocation • DefinisikanFj(Xj) sebagaimaksimumbanyaknyapekerjaanbaru yang diciptakanolehkementrian (stage j, j+1, …, 4, jikatersedia $Xjjutauntukpendanaankementrian (stage) j sampai 4. Fj(Xj) = Max{(Rj(Xj) + Fj+1(Xj - Dj)} UntuksemuaXj yang feasible

  50. Dynamic Recursive Relationship Bentukdarirecursion relation berbedabedadarisatu problem ke problem yang lain, tapisecaraumumidenyasama : Lakukan yang terbaikuntuk stage yang tersisadengan resource sisa yang tersedia.

More Related