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A Distributed Arrangement Selection Algorithm on a Line Network

A Distributed Arrangement Selection Algorithm on a Line Network. 平成 13 年 4 月 24 日 NTT コミュニケーション科学基礎研究所 佐々木 淳. left. right. 線形ネットワーク. 初期状態：. 2. 5. 4. 3. 1. 最終状態：. 1. 2. 分散 Arrangement Selection 問題. 　 　 に属する k プロセスに，最小値から k 番目に小さな要素までを左から昇順に割当. 応用例：資源割当.

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A Distributed Arrangement Selection Algorithm on a Line Network

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Presentation Transcript

  1. A Distributed Arrangement Selection Algorithm on a Line Network 平成13年4月24日 NTTコミュニケーション科学基礎研究所 佐々木 淳

  2. left right 線形ネットワーク

  3. 初期状態： 2 5 4 3 1 最終状態： 1 2 分散Arrangement Selection問題 　 　 に属する k プロセスに，最小値から k 番目に小さな要素までを左から昇順に割当

  4. 応用例：資源割当 • 同等の資源がネットワーク上に分散して複数存在 • 各プロセスはいずれかひとつの資源が割り当てられれば良い • 各資源を同時に使用できるのは唯一のプロセス • 優先度が高い順に割当 というときの，ひとつの解を与える

  5. 関連研究 • 分散 k-selection • k番目に小さな要素を求める • 通信複雑度の最小化が目的 • 分散ソーティング[COMP2000-32] • 要素を左端から昇順に並べ替える • 分散Arrangement Selection問題の部分問題

  6. 目的 　 分散Arrangement Selection問題を　　　　　 厳密に最適な時間複雑度で解く

  7. 同期モデル ※同期メッセージの利用で同期アルゴリズムを 　　非同期モデル上で実行可能　 　　　　　→　同期アルゴリズムのみを議論 モデル • 同期モデル • 通信がプロセス間で同期して実行 • 1ラウンド：受信，内部処理，送信　　　　　　　（通信回数を表す；最初の送信はラウンド0） • 非同期モデル • 通信はプロセスごと独立に発生 • 通信リンクはFIFO

  8. 仮定 • 各プロセスは大域的な情報（大域的な位置，システム中のプロセス数n，等）を持たない • 局所メモリの大きさをO(log L)ビットに， メッセージ長をlog L+O(1)ビットに制限 ※L：要素の最大値

  9. 時間複雑度 評価尺度 • 時間複雑度 • 同期モデル： ラウンド数 • 非同期モデル： 最長鎖のメッセージ数 • 通信複雑度 • メッセージ複雑度： 総メッセージ数 • ビット複雑度： 全メッセージの総ビット数

  10. 初期状態： 2 5 4 3 1 最終状態： 1 2 分散Arrangement Selection問題 　 　 に属する k プロセスに，最小値から k 番目に小さな要素までを左から昇順に割当

  11. 簡単な方法 • 要素をセンタに集め，そこで最小値から順にk要素を選択し，ひとつずつ各サーバに割当 • 大容量(O(n)以上)の局所メモリが必要 • 局所計算量が大きく偏る • 局所メモリ量を制限した場合の時間複雑度： n+k－2 • 分散 k-selectionアルゴリズムを利用して最小値から順に k要素を選択し，ひとつずつ各サーバに割当 • 事前に kの算出が必要 • 時間複雑度：　2(n－1)　以上 時間複雑度の下界はn－1　→　さらに高速化

  12. 従来法の適用 • 分散ソーティング[COMP2000-32]の動的な問題に対するアルゴリズムが利用可能 注） 動的なソーティング： 　 初期状態と最終状態とで，総要素数は等しいが，各プロセスの要素数は異なる

  13. 2 5 4 3 1 25 4 13 2 145 3 1 234 5 1 23 4 5 1 2 3 45 1 2345 1 2 345 解： 1 2 動的なソーティングアルゴリズムの利用

  14. 従来法を適用した際の問題点 　 時間複雑度がn－1よりも大 　　　　（kが小さいほど時間がかかる） • 不要な要素が最後まで残る（要素の選択・削除の判断が難しい） • 右端に近いプロセスの解となる要素（特にk番目に小さな要素）の配送が大きく遅れやすい 　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　最大値よりも最小値の扱い方が重要

  15. アイデア • ネットワークの右半分に，全要素をソートしつつ収集 • 最小値から順にk要素を選択（より大きな要素ほど右のプロセスで選択） • 未選択要素を削除 • 選択した要素を，選択した順に適切なプロセスへ配送

  16. 要素の流れの概観（従来法） →プロセス →ラウンド 1要素 2要素 3要素

  17. 要素の流れの概観（本手法） →プロセス →ラウンド 1要素 2要素

  18. arrangement状態の基本動作： 左右にある　　に属するプロセス数と左にある 要素数とを知ることができ，それに基づいて要素を送信 左にある　　に属するプロセス数と，左 にある要素数とが一致するため終了 要素が互いに送られても，一方が終 了したら，もう一方が両要素を保持 要素が交互に送られたら，それらが 昇順になるように1要素ずつ保持 2,left ここより左に　　に属するプロセスが なく，全要素が右にあるため終了 　　に属するプロセス数kと，左にある 要素数の情報により，2要素削除 5,left 4 wait状態の基本動作： 要素を右へ送信 sorting状態の基本動作： 最大値を右へ，最小値を左へ送信 4: 3: 3: 1 2 2: 2: 1 1 2 4 4: 15 24 3 1 4 3 2 5,left 1,right 4 1: 2 3 1: 5 4 13 2 1,right 2 0: 5 4 3 2 1 propagation状態の基本動作：　要素を右へ送信 2 5,left 4 3 0: :propagation 状態 :wait 状態 1,right 3: 1 235 4 :sleep(終了) :sorting 状態 :arrangement 状態 アルゴリズムの動作概要 解（最小値）が確定

  19. アルゴリズムにおける状態遷移 propagation状態 →プロセス wait 状態 →ラウンド sorting 状態 sleep arrangement状態

  20. アルゴリズムの特徴 • sorting状態からarrangement状態に移動する要素は，sorting状態にある要素のなかの最小要素と2番目に小さな要素

  21. アルゴリズムの特徴 →プロセス →ラウンド

  22. 解が確定するラウンド →プロセス →ラウンド

  23. アルゴリズムの複雑度 • 時間複雑度：n－1 • 厳密に最適 • 通信複雑度：k=nのときにn(n－1) • 最適値の約倍 • オーダーとしては最適

  24. まとめ • 分散ソーティングと k-selectionを組み合わせた問題（分散Arrangement Selection問題）を，厳密に最適な時間複雑度で解決 • 厳密に最適な時間複雑度を実現できる問題規模を拡大

  25. 今後の課題 • 木ネットワークへの拡張の検討 • k要素の並び順に昇順以外の制約を入れた場合の検討

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