Mat-5110 : Introduction aux vecteurs

1. Mat-5110 : Introduction aux vecteurs • Martin Francoeur • Conseiller en évaluation • martin.francoeur@grics.qc.ca Document original réalisé par Claude Boucher

2. Présentation du programme • Mat 5101 : Optimisation I • Mat 5102 : Statistique III (corrélation) • Mat 5105 : Coniques • Mat 5106 : Fonctions réelles et équat. • Mat 5107 : Fonctions exp et log • Mat 5108 : Fonctions trigo • Mat 5109 : Géométrie IV • Mat 5110 : Introduction aux vecteurs • Mat 5111 : Complément et synthèse II Document original réalisé par Claude Boucher

3. Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire? • Notion mathématique utilisée en physique • Façon de réinvestir les démonstrations Document original réalisé par Claude Boucher

4. Définitions • Scalaire: quantité définie par un nombre réel. • Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens. Document original réalisé par Claude Boucher

5. Comment nomme-t-on les vecteurs? • Lettre minuscule surmontée d’une flèche a • Point de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche AB Document original réalisé par Claude Boucher

6. Comment nomme-t-on les vecteurs? • Vecteur algébrique: par ses composantes • Composantes horizontale et verticale v=(3,4) • Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien. Document original réalisé par Claude Boucher

7. Direction et sens • Toutes les flèches parallèles ont la même direction. • Une même direction peut se prendre dans les deux sens. Document original réalisé par Claude Boucher

8. Vecteurs colinéaires • Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction. • Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants. Document original réalisé par Claude Boucher

9. Orientation d’un vecteur géométrique • Avec la rose des vents… Document original réalisé par Claude Boucher

10. Orientation d’un vecteur géométrique • Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire. • Détermine à la fois la direction et le sens. Document original réalisé par Claude Boucher

11. Orientation d’une vecteur algébrique • Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur. • Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie. Document original réalisé par Claude Boucher

12. Norme d’un vecteur • Longueur du vecteur • Notation : ||v|| • Vecteur géométrique • On mesure avec une règle • Vecteur algébrique • Distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur Document original réalisé par Claude Boucher

13. Vecteurs opposés • Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire • v est toujours opposé à –v. • AB est opposé à BA. • m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4). Document original réalisé par Claude Boucher

14. Vecteur nul et vecteur unitaire • Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0. • Le vecteur nul a toutes les orientations. • Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée. • Vecteurs orthogonaux • Vecteurs dont les directions sont perpendiculaires. Document original réalisé par Claude Boucher

15. Angle entre deux vecteurs • Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident. • La plupart du temps noté  • Utilisation de la loi des sinus et des cosinus Document original réalisé par Claude Boucher

16. Addition de vecteurs • Méthode du parallélogramme • Méthode du triangle • Addition des composantes • Le vecteur somme s’appelle la résultante • Pour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé Document original réalisé par Claude Boucher

17. Résultante • Norme de la résultante • Loi des cosinus • Orientation de la résultante • Mesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs Document original réalisé par Claude Boucher

18. Exercices 1 et 2 : • Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

19. Relation de Chasles • AB + BC + CD = AD • AB + BC + CA = AA = 0 • AB – CB = AB + BC = AC Document original réalisé par Claude Boucher

20. Exercice 3 : • Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

21. Multiplication d’un vecteur par un scalaire • Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur. • Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. • Même sens si le scalaire est positif. • Sens contraire si le scalaire est négatif. Document original réalisé par Claude Boucher

22. Combinaison linéaire • w = 3u + 4v • Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction. • Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente. Document original réalisé par Claude Boucher

23. Base vectorielle • Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle. • À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan. • La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes. Document original réalisé par Claude Boucher

24. Exercice 5 • Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

25. Base vectorielle orthonormée • Vecteurs orthogonaux et de norme 1. • i = (1,0) et j = (0,1) Document original réalisé par Claude Boucher

26. Base vectorielle et combinaison linéaire • Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire. Document original réalisé par Claude Boucher

27. Multiplication scalaire de 2 vecteurs • Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. • Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. • Notation : u  v Document original réalisé par Claude Boucher

28. Multiplication scalaire • Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0 • Produit scalaire de vecteurs géométriques u  v = ||u|| ||v|| cos  • Produit scalaire de vecteurs algébriques u=(a,b) et v=(c,d) u  v = ac+bd Document original réalisé par Claude Boucher

29. Propriétés de l’addition de vecteurs • La somme de deux vecteurs est un vecteur. • Commutativité : u + v = v + u • Associativité : (u + v) + w = u + (v + w) • Existence de l’élément neutre : u + 0 = u • Existence de l’opposé : u + -u = 0 Document original réalisé par Claude Boucher

30. Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire • Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur. • Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u • Existence d’un scalaire neutre : 1u = u • Distributivité sur l’addition de vecteurs k(u + v) = ku + kv • Distributivité sur l’addition de scalaires k1u + k2u = (k1 + k2)u Document original réalisé par Claude Boucher

31. Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs • La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire • Commutativité : u  v = v  u • Associativité des scalaires : k1u  k2v = (k1k2)(u  v) • Distributivité sur une somme vectorielle : u  (v + w) = (u  v ) + (u  w) Document original réalisé par Claude Boucher

32. Un peu de pratique maintenant! • Document exercices complémentaires. • Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11. Document original réalisé par Claude Boucher

33. Démonstrations à l’aide des vecteurs • Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs. • Construire ou compléter une démonstration. • Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée … Document original réalisé par Claude Boucher

34. Exercices 14 et 15 • Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

35. Résoudre des problèmes • Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes. • Justifier les étapes de sa démarche. Document original réalisé par Claude Boucher

36. Exercices 18 et 22 • Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher