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EDO de 2ª ordem Linear (continuação)

EDO de 2ª ordem Linear (continuação). Matemática para Economia III 2013.2. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes. Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Candidato a solução: y(t)=e λ t . Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos

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EDO de 2ª ordem Linear (continuação)

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Presentation Transcript


  1. EDO de 2ª ordem Linear (continuação) Matemática para Economia III 2013.2

  2. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0 Derivada de 2ª ordem Derivada de 1ª ordem Derivada de ordem zero (a própria função)

  3. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Para que y(t)=eλt seja solução devemos λ2+p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

  4. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Caso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas: λ1 = λ2= -p/2. Candidatos a solução: y1 = e –pt/2 e y2 = t e –pt /2 (verifique que são L.I.)logo, se λ1 = λ2 a solução geral é y = c1 e –pt /t + c2 t e –pt / 2 Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 2y’ + y = 0.

  5. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Caso 3: (p2-4q<0) Duas raízes complexas conjugadas λ1= a+bi eλ2= a-bi Candidatos a solução: y1 = e (a+bi)t e y2 = e(a-bi)t (verifique que são L.I.)logo qualquer combinação linear de y1 e y2 é. Em particular temos que são também soluções, para obtê-las usamos a fórmula de Euler: eiβ=cos β+isen β Deste modo podemos construir uma solução da forma: y(t)=Aϕ1(t)+Bϕ2(t)=eat(A cos(bt)+B sen(bt))

  6. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’+ y = 0. Obs: O estudo das soluções fundamentais de equações lineares homogêneas pode ser feito também via a definição de um operador diferencial L dado por: L[] = ’’ + p ’ + q  onde p e q são funções contínuas em (a,b). Seja V o espaço vetorial das funções que são duas vezes diferenciáveis. O operador L está definido em V com imagem em V (L:V→V). O valor de L[] em t é dado por L[](t) = ’’(t) + p(t) ’(t) + q(t) (t).

  7. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes O operador L é normalmente usado como L = D2 + pD + q, onde D é o operador derivada. Usando y para representar (t), temos L[y] = y’’ + p(t) y’(t) + q(t) y = 0 e as condições y (t0) = y0 e y’ (t0) = y0’. Exercício: Verifique que o operadorL:V→V é um operador linear.

  8. EDO’s de 2ª ordem linearesnão homogêneas Dada a equação não homogênea L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) (5) onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I. A equação L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 é chamada de equação homogênea associada. Teorema: Se Y1 e Y2 são duas soluções da equação não homogênea acima (5), então sua diferença Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea associada. Se além disso, y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, então Y1(t) - Y2(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t), onde c1e c2 são constantes determinadas.

  9. EDO’s de 2ª ordem linearesnão homogêneas Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) + Y(t), onde y1e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c1e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea. Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada. 1- Encontrar a solução geral c1 y1(t) + c2 y2(t) da equação homogênea associada (yh); 2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea (yp); 3 – Somar as duas funções encontradas ( y = yh + yp).

  10. Método dos coeficientes a determinar Seja y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) Vimos que y(t) = yh + yp é solução. Vamos ver como achar yp(t) quando g(t) é um(a): 1- Polinômio de grau n na variável t 2- Múltiplo de uma função exponencial 3 - Combinação linear de funções trigonométricas 4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

  11. Método dos coeficientes a determinar Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita.

  12. Método dos coeficientes a determinar Obs: Se algum termo da expressão de yp for solução da equação homogênea associada propõe t.yp(t) para solução particular de (5). Caso t.yp(t)seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t2.yp(t)e assim por diante. Deste modo na prática temos: De modo que s seja o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2,...) que garanta que nenhuma parcela de yp(t)seja solução da equação homogênea correspondente.

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