EDO de 2ª ordem Linear (continuação)

EDO de 2ª ordem Linear (continuação) Matemática para Economia III 2013.2

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0 Derivada de 2ª ordem Derivada de 1ª ordem Derivada de ordem zero (a própria função)

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Para que y(t)=eλt seja solução devemos λ2+p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Caso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas: λ1 = λ2= -p/2. Candidatos a solução: y1 = e –pt/2 e y2 = t e –pt /2 (verifique que são L.I.)logo, se λ1 = λ2 a solução geral é y = c1 e –pt /t + c2 t e –pt / 2 Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 2y’ + y = 0.

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes • Caso 3: (p2-4q<0) Duas raízes complexas conjugadas λ1= a+bi eλ2= a-bi Candidatos a solução: y1 = e (a+bi)t e y2 = e(a-bi)t (verifique que são L.I.)logo qualquer combinação linear de y1 e y2 é. Em particular temos que são também soluções, para obtê-las usamos a fórmula de Euler: eiβ=cos β+isen β Deste modo podemos construir uma solução da forma: y(t)=Aϕ1(t)+Bϕ2(t)=eat(A cos(bt)+B sen(bt))

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’+ y = 0. Obs: O estudo das soluções fundamentais de equações lineares homogêneas pode ser feito também via a definição de um operador diferencial L dado por: L[] = ’’ + p ’ + q  onde p e q são funções contínuas em (a,b). Seja V o espaço vetorial das funções que são duas vezes diferenciáveis. O operador L está definido em V com imagem em V (L:V→V). O valor de L[] em t é dado por L[](t) = ’’(t) + p(t) ’(t) + q(t) (t).

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes O operador L é normalmente usado como L = D2 + pD + q, onde D é o operador derivada. Usando y para representar (t), temos L[y] = y’’ + p(t) y’(t) + q(t) y = 0 e as condições y (t0) = y0 e y’ (t0) = y0’. Exercício: Verifique que o operadorL:V→V é um operador linear.

EDO’s de 2ª ordem linearesnão homogêneas Dada a equação não homogênea L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) (5) onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I. A equação L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 é chamada de equação homogênea associada. Teorema: Se Y1 e Y2 são duas soluções da equação não homogênea acima (5), então sua diferença Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea associada. Se além disso, y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, então Y1(t) - Y2(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t), onde c1e c2 são constantes determinadas.

EDO’s de 2ª ordem linearesnão homogêneas Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) + Y(t), onde y1e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c1e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea. Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada. 1- Encontrar a solução geral c1 y1(t) + c2 y2(t) da equação homogênea associada (yh); 2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea (yp); 3 – Somar as duas funções encontradas ( y = yh + yp).

Método dos coeficientes a determinar Seja y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) Vimos que y(t) = yh + yp é solução. Vamos ver como achar yp(t) quando g(t) é um(a): 1- Polinômio de grau n na variável t 2- Múltiplo de uma função exponencial 3 - Combinação linear de funções trigonométricas 4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

Método dos coeficientes a determinar Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita.

Método dos coeficientes a determinar Obs: Se algum termo da expressão de yp for solução da equação homogênea associada propõe t.yp(t) para solução particular de (5). Caso t.yp(t)seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t2.yp(t)e assim por diante. Deste modo na prática temos: De modo que s seja o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2,...) que garanta que nenhuma parcela de yp(t)seja solução da equação homogênea correspondente.

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