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Interpolación por Splines

Interpolación por Splines. Función Spline. Ajusta una curva suave a los puntos Sigue la idea de la spline flexible de un dibujante Consiste de polinomios definidos sobre subintervalos Los polinomios se unen entre sí satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad.

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Interpolación por Splines

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Presentation Transcript

  1. Interpolación por Splines

  2. Función Spline • Ajusta una curva suave a los puntos • Sigue la idea de la spline flexible de un dibujante • Consiste de polinomios definidos sobre subintervalos • Los polinomios se unen entre sí satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad

  3. Aplicación: spline natural

  4. Grados de una spline

  5. Spline lineal • Pendiente discontinua en los puntos

  6. Polinomios de más alto grado • F es chata (excepto entre -1 y 1) • Se requieren ceros fuera de [-1,1] • Así se crean las oscilaciones • SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios

  7. Ajuste mixto • Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65] • P(x)=0 fuera de esa región • Discontinuidad en las pendientes donde se unen los polinomios

  8. Definición

  9. Splines cúbicas

  10. Balance de Ecuaciones • Condiciones de interpolación • Para los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones • Para los extremos: 2 ecuaciones • Condiciones de continuidad • 2(n-1) ecuaciones • Condiciones de extremo (terminales) • Spline cúbica natural ó • Spline enclavada ó • Spline periódica • 2 ecuaciones

  11. Condiciones de Interpolación

  12. Condiciones de Continuidad

  13. Condiciones de Extremo:Spline Cúbica Natural • Derivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constante • => función lineal en los extremos • La curva se “achata” cerca de los extremos

  14. Condiciones de Extremo:Spline Enclavada (clamped)

  15. Aplicación: splines enclavadas

  16. Condiciones de Extremo:Spline Periódica

  17. Ventaja: evita el fenómeno de Runge

  18. Algoritmo de splines cúbicas

  19. Ecuaciones

  20. Condiciones

  21. Solución

  22. Simplificación del desarrollo

  23. Coeficientes

  24. Sustituyendo …

  25. Invocando iguales pendientes …

  26. Ecuación general

  27. En forma matricial:

  28. Condiciones para Extremos

  29. La matriz de coeficientes queda así:

  30. Condiciones para extremos

  31. La matriz de coeficientes queda así:

  32. Observaciones • Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbica • Matrices simétricas • Datos igualmente espaciados, las matrices se reducen a formas simples

  33. Lectura obligatoria • Gerald págs 212-260

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