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1. Cálculo Numérico Aula – 3
Sistemas Lineares
Métodos Diretos e Métodos Iterativos
3. Considere o problema de determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça. Para isso, temos que determinar 17 forças. As componentes são presas nas junções por pinos, sem fricção. Um teorema da mecânica nos diz que:
O número de junções x está relacionado ao número de componentes y por:
2x – 3 = y.
Pelo fato da treliça ser estaticamente determinante, isto é, as forças componentes são determinadas completamente pelas condições de equilíbrio estático nos nós, então:
Fx e Fy são as componentes horizontal e vertical respectivamente e
? = sen 45º = cos 45º, as condições de equilíbrio são:
4.
Junção 2 Junção 6
Junção 3 Junção 7
Junção 4 Junção 8
Junção 5 Junção 9
Junção 10
5. Para obter as componentes pedidas, é necessário resolver o sistema linear acima que tem dezessete variáveis: f1, f2, ..., f17.
A resolução do sistema consiste em calcular os valores de xj (j = 1, ..., n) que satisfaçam as n equações simultaneamente.
Em termo de notação matricial, representamos da seguinte maneira:
A.X = b
6. Os métodos numéricos para resolução de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos:
Métodos Diretos: são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema após um número finito de operações aritméticas. Pertencem a esta classe todos os métodos estudados nos cursos de 1.º e 2.º graus, como a regra de Cramer e o método de eliminação de Gauss.
Métodos Iterativos: São métodos que fazem uso apenas da matriz A original. Seus algoritmos procuram converter qualquer vetor x(k) em outro, x(k+1) , que depende de x(k). A e B preservam a esparsidade de A não alterando seus elementos.
7. A desvantagem do método de Cramer
Se tivéssemos que resolver um sistema com 20 equações, o número total de operações efetuadas seria de 21 . 20! . 19 multiplicações e o mesmo número de adições. Um computador que efetuasse cerca de cem milhões de multiplicações por segundo levaria 3 . 108 anos para efetuá-las.
Método de eliminação de Gauss
Consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular .
8. Algoritmo
Dado um sistema triangular superior n x n com elementos da diagonal da matriz A não nulos, as variáveis xn, xn-1, xn-2, ..., x2, x1 são obtidas da seguinte forma:
Da última equação, temos:
9. Algoritmo
xn-1 pode então ser obtido da penúltima equação:
E assim sucessivamente obtém-se xn-2, ..., e finalmente x1:
10. Exemplo
Seja o sistema linear:
Passo 1: Eliminar x1 das equações 2 e 3 utilizando como pivô o elemento a11 = 3.
11. Obteremos o seguinte sistema equivalente:
Passo 2: Eliminar x2 da equação 3 utilizando como pivô o elemento a22 = 1/3.
Obteremos o seguinte sistema equivalente
12. Resolvendo o sistema:
Obtemos os seguintes valores para x1, x2 e x3:
x3 = 0; x2 = 5 e x1 = -3. Logo, o vetor solução é:
13. Erros decorrentes da escolha do pivô
Se o pivô for nulo ou próximo de zero podemos chegar a resultados totalmente imprecisos. Como os computadores e calculadoras efetuam cálculos com aritmética de precisão finita, cálculos com pivôs próximos de zero dão origem a erros de arredondamento.
Estratégias de pivoteamento
Pivoteamento parcial;
Pivoteamento completo.
14. Pivoteamento parcial
Consiste em:
I. No início de cada passo do processo de eliminação, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes;
II. Trocar as linhas k e i se for necessário.
Exemplo
Considere o sistema com n = 4 e k = 2.
15. Início do passo 2:
Escolher pivô: -3;
Trocar linhas (2) e (3), obtendo o seguinte sistema:
Os multiplicadores desse passo serão: -1/3 e -2/3. A escolha do maior elemento em módulo faz com que os multiplicadores, em módulo, estejam entre 0 e 1, evitando assim a ampliação dos erros de arredondamento.
16. Pivoteamento completo
Consiste em:
I. No início do passo k, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação.
Exemplo
Além das linhas, troca-se também as colunas.
17. Pivoteamento completo
A estratégia do pivoteamento completo exige grande esforço computacional , logo não é muito empregado.
Fatoração LU
Consiste em decompor a matriz A em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema original.
Se pudermos fazer A = C.D, o sistema linear A.x = b pode ser escrito como: C.D.x = b => C. (D.x) = b.
Fazendo y = D.x, resolver o sistema C.y = b, e em seguida o sistema D.X = y significa resolver o sistema original A.x = b.
A matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.
18. Exemplo
Resolver o sistema:
A matriz dos coeficientes A:
19. Exemplo
Usando o processo de Gauss, obtemos:
Guardamos os multiplicadores das posições a22 e a31 para construir a matriz L:
20. Exemplo
Ao fatorar a 3.ª linha, guardamos também o multiplicador da posição a32:
Os fatores L e U serão , respectivamente:
e
21. Exemplo
Resolvendo :
I) obter y:
L.y = b => y1 = 1 ; y2 = 5/3 e y3 = 0.
II) obter x:
U.x= y => x1 = -3 ; x2 = 5 e x3 = 0.
22. Referências bibliográficas:
Darezzo, A; Arenales, S. Cálculo Numérico: Aprendizagem com apoio de software. Thomson Learning, 2008.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.
FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2006.
Humes, A.F. P. C. [et alii]. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: Makron, 1984.
Maia, M.L. [et alii]. Cálculo Numérico (com aplicações). São Paulo: Harbra, 1987.
Massarani, G. Introdução ao Cálculo Numérico. Rio de Janeiro. Livro TécnicoS.A., 1967.
Ruggiero, M.A.G. & Lopes, V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. , São Paulo: McGraw-Hill, 1988.
