MONTE CARLO METODUNA GİRİŞ

1. MONTE CARLO METODUNA GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİR Uludağ Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Bursa dnilgun@uludag.edu.tr NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

2. Monte Carlo Metod?? Monte Carlo Simülasyon Tekniği Sadece sistemi tanımlar, Onu optimize etmez. Hedef; gerçek bir sistemi tam ve doğru olarak tanımlayan deneysel sistem kurmak. Simülasyon modelleri 3 genel özellik ile ele alınabilir: 1. Fonksiyonel Özellik: Deterministik özellik: Gerçek bir modeldir. Simülasyon sonucu her bir tekrar için aynıdır. Stokastik özellik: Bu model gelişigüzel bir yapıya sahiptir. Simülasyon sonucu her bir tekrar çalışmada aynı olmaz. 2. Zamana Bağlılık: Statik özellik:Bu model zamana bağlı değildir. Dinamik özellik: Bu model, incelenen süreç boyunca pek çok zaman aralıklarında değişim gösterir. 3. Giriş Verisi: Kesikli özellik: Giriş verisi kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. Sürekli özellik: Giriş verisi sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

3. Monte Carlo simülasyonları, “ Gerçek Stokastik simülasyonlardır “ Başlangıç durumun dağılım fonksiyonlarından yola çıkarak son durumu tanımlar. Statik (kolay) ya da dinamik (zor) olabilir. • Herhangi bir süreç bir çok sebepten dolayı gelişigüzel bir karakteristik gösterebilir. Bunların başlıcaları şöyle sıralanabilir: • Gerçek bir fiziksel süreç olayların büyük ölçeklerde gözlemlendiği gibi stokastiktir. • Süreç, bilgi eksikliğimizden dolayı sürecin gelişigüzel gösterilmesinde olduğu gibi büyük ölçekli dalgalanmalara dayanır. • Sistem için kurulan model, sistemin sürecini yeteri derecede temsil etmeyebilir. • Süreç insan davranışlarına da bağlıdır. • Sonuç olarak kesin bilgi sahibi olamadığımız bir yanı varsa bu süreç • gelişigüzel (stokastik) bir özellik gösterir. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

4. Stokastik modeller, olayı karakterize eden gelişigüzel değişkenlerin özelliğine bağlı olarak değişir. Değişkenler kesikli veya sürekli olabilir, zamanla süreklilik değişebilir veya zamanın belirli bir anında değerler alabilir. Mesela iş gücü değişiminde (akışkanlık, devri) işçinin işini ne zaman değiştireceğini kestiremeyiz. Bu süreç probabilistik olarak tanımlanabilir. Benzer şekilde bir madde içinde hareket eden parçacığın hangi etkileşmeleri yapacağı veya hangi açılarda saçılacağı olasılıklar dahilindedir. Stokastik bir modelden istenen öncelikli sayısal değerler şöyle belirtilebilir; (1) - zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin ortalama değeri, (2) – zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin değişimi, (3) – çeşitli durum değişkenleri arasındaki bağımsızlık derecesi. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

5. Varsayalım ki x gelişigüzel bir değişken olsun. Bu değişkenin t=t1, t=t2 ve t=t3 zamanlarında ölçülen x1, x2, x3 değerlerine gelişigüzel dizi veya stokastik süreç denir. x’de burada t’ye bağlı olarak iki mümkün durum vardır. x yalnızca t’nin kesikli değerini alır. Bu durumda “xt kesikli zamanlı stokastik süreçtir.” *Bütün değerlerin meydana gelmesi eşit şansa sahiptir. *Bütün yeni değerler bütün önceki elde edilen değerlerden bağımsızdır. Eğer gelişigüzel değişken x t zamanın bir fonksiyonu olarak sürekli gözlenebilirse x(t) sürekli zamanlı stokastik süreçtir. X rastsal bir değişken olmak üzere önce (1) kümülatif yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Sonra 0 ile 1 arasında değişen düzgün bir gelişigüzel sayı üretilir. Sonuncu adım, ' i (2) Gelişigüzel sayıya eşitleyip x'e göre çözmektir. ' i NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

6. Sonuç olarak, Monte Carlo metodunu gerçek bir durumun stokastik modelini oluşturup, bu model üzerinden örnekleme deneyleri hazırlama tekniği olarak tanımlayabiliriz. Bu tip simulasyonlar, stokastik yapıda birbiriyle ilişkili çok sayıda değişkene sahip sistem çıktılarının çalışılmasında kullanılmaktadırlar. Monte Carlo metodları, bilgisayarda analitik olarak ele alınması mümkün olmayan gelişigüzel davranışları incelemek için kullanılır.Hesaplamaların çoğu düzgün dağılımlı, çeşitli istatistiksel testleri sağlayan ve (0,1) aralığında üretilen, tekrarlanabilir, sözde gelişigüzel sayılara dayandırılır. Gerçekte bu sayılar düzgün dağılımlı ve birbirinden bağımsız değildir. Bu nedenle bilgisayarda Üretilen bu sayılara sözde gelişigüzel sayılar denir. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

7. Monte Carlo Metodun Tarihsel Gelişimi Stanislaw Ulam 1909 - 1984 Stanislaw Ulam, II. Dünya savaşında Manhatten projesinde yer alan ve nükleer silahların tasarımını amaçlayan polonyalı bir matematikçidir. Los Alamos’ ta iken Nükleer reaksiyon teorilerinde karşılaşılan kompleks integrallerin çözümü için Monte Carlo Metodu’ nu önermiştir. (Fermi ve diğerlerinin daha önce buna benzer bir metod kullandığını bilmez) Bu önerme, Von Neumann, Metropolis ve arkadaşlarıtarafından Monte Carlonun daha sistematik gelişimine yol açmıştır. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

8. John Von Neumann (1903 – 1957) Von Neumann, yeni gelişen elektronik hesaplama tekniklerini kullanarak istatistiksel örnekleme yapma fikri ile anılır. Ona göre, fisyon olaylarında nötron zincir reaksiyonlarının davranışları bu yöntemle açıklanabilirdi. Özellikle nötron çarpışma oranları tahmin edilebilir ve fizyon silahlarının patlayıcı davranışları öngörilebilirdi. 1947’ de bu durumu, Robert Richtmyer’ e ( Los Alamos’ un Teorik Kısım başaknı) yazdı. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

9. Nicholas Metropolis (1915-1999) Metropolis, Pensilvanya üniversitesinde 1948 yılında kurulan dünyanın ilk elektronik dijital Bilgisayarında (ENIAC) ilk gerçek Monte Carlo hesaplamasını gerçekleştridi.1953’ te Metropolis algoritması makale halinde yayınlandı. Bu algoritma, bilim ve mühendislikte hesaplamalar alanında en popüler 10 algoritma arasına yerleşti. 20. yüzyılda bilim ve mühendislik alanında gelişmelere çok büyük katkılar sağladı. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

10. SİMÜLASYONUN AVANTAJLARI: • Bir sistemin modeli kurulduktan sonra farklı durumlar için • tekrar tekrar kullanılabilir. • Sistem verilerinin detaylı olmadığı durumlarda elverişlidir. • Sistemdeki kompleks yapıları analiz etme ve bunlar üzerinde denemeler • yapmaya imkan sağlar. • Sonuçları çok uzun zaman sonra alınacak sistemlerin daha kısa sürede • çözümlenmesini sağlar. • Modellenen sistemi değiştirmeden yeni fikir ve politikaların model • üzerinde rahatça uygulamasına olanak verir. • Kullanıcı simülasyonu istenen zamanda durdurup yeniden • başlatabildiğinden deney koşullar üzerinde tam bir kontrole sahiptir. • Simulasyon, analitik çözümlerin doğruluğunu ispatlamak üzere kullanılabilir. • Simule edilen sistemin ayrıntılı gözlemlenmesi daha iyi anlaşılmasını, • daha önce görülmemiş eksikliklerin giderilmesini, daha etkin fiziksel ve • operasyonel sistemin kurulmasını sağlayabilir. • Analistleri daha genel düşünmeye zorlar. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

11. SİMÜLASYONUN DEZAVANTAJLARI: • Araştırıcılar simulasyon tekniğini öğrendikten sonra onu analitik yöntemlerin daha uygun olduğu durumlarda da kullanma eğilimindedirler (Craig, 2004). • Genel olarak her bir sistem için ayrı bir program yazma gereği vardır. Simulasyon dilleri bu mahsurları bir dereceye kadar ortadan kaldır-mıştır. NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

12. MONTE CARLO METODUN UYGULAMA ALANLARI • MC yöntemleri, Fizik ve Mühendislik alanlarında pekçok uygulama alanı bulmuştur. Bunlardan başlıcaları: • [Matematik] Sayısal Analiz • [Fizik] Doğal olayların simülasyonu • [Fizik] Atom ve Molekül Fiziği, Nükleer Fizik ve özellikle Yüksek Enerji Fiziği modellerini test eden simülasyonlar • [Mühendislik] Deneysel aletlerin (örneğin detektör) simülasyonu • [Biyoloji] Hücre Similasyonu • [Ekonomi] Borsa Modelleri • [İstatistik] Dağılım Fonksiyonları NUPAMC10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi