Okénková Fourierova transformace

1. Okénková Fourierova transformace střední široké úzké

2. Heisenbergův princip t * f > 1/(4) Gaborův princip neurčitosti fFrequency rozlišení:separace 2 spektrálních komponent tTime rozlišení:separace 2 „špicí“ v časové oblasti Obě rozlišení nemohou být libovolně velké! Intervaly

3. Historie Wavelet · 1909 Alfred Haar - Haar b áz e . · 1946 Gabor - ne - orthogonální neomezené wavelety · 1976 Croisier, Esteban a Galand - filter banks pro dekompozici a rekonstru kci signálu · 1982 Jean Morlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů

5. Komprese Odstraňování šumu a poškození Detekce struktur Fúze dat s různým rozlišením Problematika rozmazání Registrace

6. O co tady jde ? „Laplacian“ pyramida - time scale space Analýza signálu - time frequency space

7. O co tady jde ?

8. Haarova waveleta • kompaktní • dyadická • ortonormální

9. h = [ , ] g = [ , - ]

10. h* = [ , ] g* = [ - , ]

11. Wavelet transformace • Okno proměnné šířky • analýza vysokých frekvencí  úzké okno pro lepší „time“ rozlišení • analýza nízkých frekvencí  širší okno pro lepší „frequency“ rozlišení

12. Okénková Fourierova transformace translace, dilatace a > 0,  R   R waveletová transformace

13. x - b a,b  Waveletová transformace h a, =>a,b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave... osciluje - ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle -   = 0 - |  |2 <  - FT()a,b v 0 - 0, v  - 0 - něco jako band-pass filtr ve FT 2 < ∞ a > 0,  R b  R, normalizace přes škály

14. Spojitá waveletová transformace a,b* a, b a,b a, b c - záleží na  WF(a,b) =  f (t), a,b a > 0,  R b  R REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b

15. m,n - ortonormální báze L2(R)  m,n ,k,l = m,k n,l f(x) =   cm,n ,m,n cm,n=  f (x), m,n   -  -  Dyadická waveletová transformace - waveletové řady -  < m, n <  m, n Z binární škálování - zmenšování o faktor 2 dyadický posun - posun o k/2j Přeurčenost

16. j  f(x) =  cj ,j cj=  f (x), j -  spojité Diskrétní waveletová transformace - cesta Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x), m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval j =2m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2m  j, n = j - 2m Diskretizace f … f (i x) N vzorků … mocnina 2

17. N f(x) =  cj ,j cj=  f (x), j =  f(x) j 1 N diskrétní 1 Diskrétní waveletová transformace Kompaktní dyadická waveleta Diskretizace f …. f (i x) N vzorků … mocnina 2 j

18. Vj Vj0 WJ-1 Waveletová dekompozice funkce f základ +  detaily různého měřítka

19. Mutliresolution analysis (MRA) - postup pro konstrukci ortonormálních bází - L2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů Vi - každé Viodpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovacífunkce 

20. Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance

21. shift invariance funkce ij (x), kde tvoří ortonormální bázi Vi … škálovací funkce „father wavelet“ Pi(f) - ortonormální projekce f do Vi , pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) Vi+1 - Vi ortonormální doplněk Wi

22. každý Wi je generován posuny i, j waveleta Platí: škálová invariance translační invariance ortonormalita Wi a Wk waveletové koeficienty

23. Waveletová transformace - dekompozice Vj Vj0 Wj0 Wj-1

24.  … vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový   (=1) -   = 0 -  a FT() dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní ,  - nulové krom určitého konečného intervalu škálovací koeficienty waveletové koeficienty

25. V0  V1 V0 V1 W0  V1 V0 W0 V1 dilatační rovnice

26. h = [ , ] g = [ , - ] Haar waveleta