論理回路第 5 回

論理回路第5回 http://www.fit.ac.jp/~matsuki/LCA.html

今日の内容 • 前回の復習 • ブール代数 • 公理(P1 – P5) • 定理(T1 – T5) • 定理(T6 – T10)

ブール代数 • 公理：２つの定数０と１に関する論理積，論理和，否定などの演算の基礎法則 • 定理：　公理をもとに導かれる法則（公理を使って証明する必要がある）

ブール代数（公理P1～P5） • P1 (a):　もしA≠0ならば，A=1 (b):　もしA≠1ならば，A=0 • P2 (a):0・0=0 (b):1+1=1 • P3 (a):1・1=1 (b):0+0=0 • P4 (a):0・1=0・1=0 (b):1+0=0+1=1 • P5 (a):1=0 (b):0=1 (a)と(b)は双対の関係にある

ブール代数（定理T1～T5） 交換律 • T1 (a):A・B = B・A (b):A+ B = B+ A • T2 (a):(AB)C = A(BC) (b):(A + B) + C = A + (B + C) • T3 (a):(A + B)(A + C) = A + BC (b):AB + AC = A(B + C) • T4 (a):A・0 = 0 (b):A + 1 = 1 • T5 (a):A・1 = A (b):A + 0 = A 結合律分配律 (a)と(b)は双対の関係にある

ブール代数（定理T6～T10） • T6 (a):A・A = 0 (b):A+ A = 1 • T7 (a):A・A = A (b):A + A = A • T8 (a):A(A + B) = A (b):A + AB = A • T9 :(A) = A • T10 (a):(A・B) = A + B (b):(A + B) = A・B 補元律べき等律吸収律二重否定ド・モルガンの定理

ブール代数（定理T10’） • T10’ (a):(A・B・C・…) = A + B+ C + … (b):(A + B+ C + …) = A・B・C・… 多変数のド・モルガンの定理

練習問題【定理T3 (a)の証明】 問) 定理T3(a)が成り立つことを真理値表を用いて証明しなさい。解）　変数A,B,Cによる真理値すべての組み合わせで、T3(a)の左辺と右辺が同じであることを示せば良い。

練習問題【定理T3 (a)の証明】 上記表より、すべてのA,B,Cの組み合わせにおいて、(A+B)(A+C)とA+BCが等しいことを確認した。よって、定理T3(a)は成り立つ。

ド・モルガンの定理 ( A ・ B ) = A + B

双対性 • 練習問題：次の論理関数の否定を計算せよ f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) = ?

双対性 • 練習問題：次の論理関数の否定を計算せよ f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) = ( x + y ) + ( x + z ) = x ・ y + x ・ z = x ・ y + x ・ z ド・モルガンの定理ド・モルガンの定理関数 f を否定すること　＝　各変数 x, y, x, z を否定し，論理積と論理和を入れ替える

双対性 • T11　定数０，１を含む論理関数の恒等式は，０と１，＋と・を同時に入れ替えても成立する０　⇔　１１　⇔　０＋ ⇔　・・　⇔　＋

双対性 • 練習：次の恒等式に双対な恒等式を求めよ．（１）　( x + y ) y = x y （２）　x + y + x y = 1

標準形 以下の真理値表による論理関数 f を求める f ( A, B, C ) = ??

標準形（主加法標準形） 最小項（minimal term）：すべての変数が真または偽の形で含まれている論理積項（論理的な最小区分を表す） B ③ ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ① ⑦ ④ ⑧ ⑥ ② ⑤ A C

標準形（主加法標準形） • fが１の行に着目 • 入力変数が0ならば否定，1ならばそのままにして最小項を取る • すべての最小項の論理和を求める⇒ｆとなる

標準形（主加法標準形） • fが１の行に着目 • 入力変数が0ならば否定，1ならばそのままにして最小項を取る • すべての最小項の論理和を求める⇒ｆとなる A = 0, B = 1, C = 1の時 ABC = 0・1・1 = 1

標準形（主加法標準形） f( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + ABC

標準形（主乗法標準形） 最大項（maximal term）：すべての変数が真または偽の形で含まれている論理和項（論理的な最大区分を表す） B A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A C

標準形（主乗法標準形） • fが0の行に着目 • 入力変数が0ならば否定，1ならばそのままにして最大項を取る • すべての最大項の論理積を求める⇒ｆとなる

標準形（主乗法標準形） • fが0の行に着目 • 入力変数が0ならばそのまま，1ならば否定にして最小項を取る • すべての最大項の論理積を求める⇒ｆとなる A=0, B=0, C=1の時 A+B+C = 0+0+1 = 0

標準形（主乗法標準形） f( A, B, C ) = ( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )

注意事項 • 講義に関する質問・課題提出など： • 2009lcx@gmail.com • メールについて • 件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名 • （例）S09F2099 　松木裕二 • 本文にも短いカバーレター（説明）をつける • 課題はWordなどで作り，添付ファイルとして送る

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