Aprile 1984

1. Aprile 1984 A San Leonardo al Palco (Prato) Il nostro primo Convegno

2. 27° CONVEGNO SULLADIDATTICA DELLAMATEMATICA VIAREGGIO 9–10 Settembre 2010

3. Congetturare in un ambiente digeometria dinamica Maria Alessandra Mariotti DipartimentodiScienzeMatematicheedInformatiche Universitàdi Siena mariotti.ale@unisi.it

4. Di cosaparleremo • Complessità del comando di trascinamento in un AGD • Trascinamento e congetture: analisi del processo di esplorazione • Esempi dalla classe • Discussione sulle implicazioni didattiche

5. Introduzione • Immaginiin Matematica e in particolare inGeometria: ‘oggetti’ matematici e rappresentazoni • Il movimento in Geometria Scriveva F: Monge(1792) nelle “Leçonsdonnéesà l’Ecole Normale de l’an III”: “Il fautque l’élève se mette en état, d’une part de pouvoirécriretouslesmouvementsqu’il peutconcevoirdans l’espace, et de l’autre, de se représenterperpétuellementdans l’espace le spectaclemouvantdontchacunedesopérationsanalytiques est l’écriture.”

6. Introduzione "... the changes in the solving process brought by the dynamic possibilities of Cabri come from an active and reasoning visualisation, from what we call an interactive process between inductive and deductive reasoning " (Laborde & Laborde, 1991 p. 185)

7. AmbientidiGeometriaDinamica (AGD) Cosaèdavverocambiato ? Riflettiamo su un esempio molto semplice Costruire una retta r passante per due punti, A e B, e una retta s ad essa perpendicolare, passante per un punto P. Chiamare H il punto d’intersezione tra r e s.

8. TrascinamentoeInvarianti • Il movimentodiunafiguraèpercepitonelcontrastotracosavariaecosarestainvariato Invariante per trascinamento Unacostruzioneprovocailfenomenodi Mantenere le proprietàdicostruzione Manteneretutte le conseguenzedelleproprietàdicostruzione, Complessitàdimantenereilcontrolloconcettuale Invariantidicostruzione Simultaneitàdegliinvarianti Relazionediimplicazionetraproprietà Invariantiderivatidallacostruzione

9. TrascinamentoeInvarianti Unadistinzionechiave • Movimentodiretto • Movimentoindiretto puòesserecomplessocogliere la differenzatra Punto base Puntodipendente

10. Movimento & Invarianti Analitico Una prima analisi delle difficoltà porta a distinguere due situazioni: • Uso del trascinamento per testare se la costruzione effettuata è corretta, ovvero se la costruzione corrisponde allo scopo che si era prefissa. • Uso del trascinamento al fine di produrre una congettura, ovvero data una certa configurazione formulare un enunciato che esprima la dipendenza logica tra proprietà riconoscibili per trascinamento in tale configurazione. Globale

11. Invariantiper trascinamento • Invariantidicostruzione • Invariantiderivati Ma anche • Invariantiimpostitramite un movimentoguidato.

12. Problemiapertidicongettura • Unaconsegnache pone unadomandasenzarivelareosuggerireunarispostaattesa, cherichiedaesplicitamenteunacongetturae la suaprova … ProblemaapertodiCongettura

13. TrascinamentoeCongetture La produzionediunacongetturasibasasullainterpretazionediinvariantierelazionitrainvarianti… l’efficaciadiunaesplorazioneèlegataallacapacitàditrasformare: Datipercettivi in unarelazionecondizionaletraproprietàgeometriche

14. TrascinamentoeCongetture Il processo di produzione di una congettura richiede la “cristallizzazione” di un processo dinamico di esplorazione in una proposizione condizionale. Devonoemergere due componentidi un enunciatocondizionale

15. TrascinamentoeCongetture Almeno due livellidicomplessità • Emergenzadiproprietàinvarianti come direttaconseguenzadellacostruzione • Ricercadi sotto-configurazioninellequalisievidenzia un legamecondizionaletraproprietà.

16. ProblemidicongetturaConsideriamo due esempi

17. Congetture in un ADG Sia dato un quadrilatero ABCD e siano E, F, GeHrispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA. Cosa posso dire del quadrilatero EFGH?

18. Congetture in un AGD Dato un quadrilaterocostruire i punti medi delle diagonali, M e N. Sono possibili varie domande … • Portare M ed N a concidere, cosa posso dire del quadrilatero? • Sotto quali condizioni M coincide con N?

19. Congetture in un AGD Dato un quadrilatero costruire gli assi dei suoi lati, siano MNRQ i punti di intersezione. Sono possibili varie domande … • Portare M, N, R e Q a concidere, cosa posso dire del quadrilatero? • Sotto quali condizioni M, N, R,Q coincidono?

20. Congetture in un AGD A secondadegliinvariantimessi in relazione due tipi dicongettura: • Assoluto: gliinvarianticostruitisonomessi in relazione con unoopiùinvarianti ‘derivati’ • Relativo: l’invarianzadi un particolareproprietàèmessa in relazione con un particolare ‘movimento’ … ovvero “sotto qualecondizioneunacertaconfigurazione assume unaparticolareproprietà?”

21. Congetture in un AGD CostruzioniRobuste • A secondadegliinvariantimessi in relazione due tipi • Assoluto: gliinvarianticostruitisonomessi in relazione con unoopiùinvarianti ‘derivati’ • Relativo: l’invarianzadi un particolareproprietàèmessa in relazione con un particolare ‘movimento’ … ovvero “sotto qualecondizioneunacertaconfigurazione assume unaparticolareproprietà?” CostruzioniMolli

22. Congetture in un AGD • esplorare una costruzione robusta • Porta a “scoprire” conseguenze di un’ipotesi o definizione costruita in modo robusto. • Per esempio: dato un quadrilatero cosa si può dire del quadrilatero che ha come vertici i suoi punti medi? • esplorare una costruzione molle: • Porta a “scoprire” ipotesi o condizioni sotto cui si verificano determinate conseguenze. • Per esempio: dato un quadrilatero costruire i punti medi delle diagonali, M e N. Sotto quali condizioni M coincide con N?

23. ModalitàdiTrascinamento Studisultrascinamento (Arzarello, Olivero, Robutti, Paola,…) Modalitàosservatenellasoluzionediproblemi, in particolarediapertidicongettura …

24. ModalitàdiTrascinamento Wandering dragging,moving the basic points on the screen randomly, without any plan, in order to discover regularities in the figures; Guided dragging, dragging the basic points of a figure in order to maintain a particular property; Lieu muet dragging, moving a basic point so that the figure keeps a property following a 'hidden' path (lieu muet),; Lieu parlante dragging, moving a basic point activating the trace so that the figure keeps a discovered property following a 'hidden' path , even without being aware of this; Olivero 2002

25. ModalitàdiTrascinamento

26. ModalitàdiTrascinamento In cercadellaTesi Si fissa la Tesi Si cerca le Ipotesi Si evidenzia le Ipotesi Si fissa la Tesi

27. Un progetto di ricerca (in corso) Obiettivo: • Individuare il ruolodeglischemi di trascinamentonellaproduzione di congetture e nellacostruzionedelladimostrazione … Metodologia • Introduzionedegliallieviall’uso di particolarischemidi trascinamento • Analisi di soluzioni di problemiaperti di congettura, Trascinamentodi mantenimento

28. Trascinamentodimantenimento Il trascinamentodimantenimentoèdefinito: • Trascinare un punto base in modoche la figuradicabrimantenga un certapropriet • (con traccia) Attivare la tracciaduranteiltrascinamentodimantenimento.

29. Una possibile sequenza • Si nota unaproprietàdella figura di Cabri (Trasc. Libero ) • Si sceglie la proprietà come proprietà da mantenere • Si trascina in modo da mantenere la proprietà (Trasc. Mantenimento) • Si usa la traccia -->appare un « luogo » • Si individua il luogo come oggettogeometrico • Si formula unacongettura • Si formula un enunciatogeometrico

30. Modello Proposizione A (invarianza osservata): una certa proprietà geometrica è mantenuta. Proposizione B (“regola”): quando un certo punto X della costruzione è trascinato (si muove) su un certo lungo, la proposizione A è vera. Possibile Congettura derivata: se X si muove sul luogo allora A è vera. Come si trasformatuttoquesto in un enunciato?

31. Esempio Consegna: disegnare tre punti A, M, K costruire il punto B come simmetrico di A rispetto a M e C come simmetrico di A rispetto a K. Costruire la retta l paralla a BC per A e la retta perpendicolare a l per C, sia D il punto di itersezione tra queste rette. Al variare dei punti A,M,K fare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare

32. Siano A, M, K tre punti base, costruire B come il simmetrico di A rispetto a M, e C come il simmetrico di A rispetto a K. Costruire inoltre la parallela l a BC per A, e la perpendicolare r a l per C. Sia D l’intersezione di l e r.

33. L’Esplorazione di Fabio & Guido Data la costruzione precedente... Al variare dei punti A, M, K, formulare congetture sui tipi di quadrilatero che ABCD può diventare, cercando di descrivere tutti i modi in cui è possibile ottenere un certo tipo di quadrilatero. Fabio e Guido sono in seconda liceo scientifico e hanno usato Cabri durante il precedente anno scolastico.

34. “Teoremi” e Figure di Cabri • Costruzioni molli – ricerca di condizioni

35. “Teoremi” e Figure di Cabri • Costruzioni molli – ricerca di condizioni

36. Conclusioni • Complessità del comandotrascinamentoedifficoltàdicontrolloe • Necessitàdiunaorganizzazionedidatticaspecifica: • Lavoraresullaconsapevolezza • introduzioneintenzionaledischemid’usodiesplorazione • Sfruttareilpotenzialesemiotico del trascinamentorispetto al significatotooricodiunacongetura.

37. Problemididattici • Come affrontre la complessità del controlloconcettuale del trascinamento? • Come guidarel’aapropriazionedellostrumentoditrascinamento per risolvereproblemiapertidicongettura? • Come sfruttare la ricchezzadisignificatimatematicioffertidall’uso del trascinamento in problemiapertidicongettura?

38. grazie