ITSLP 1100 – vår 2008

1. ITSLP 1100 – vår 2008 Om syntaks Herman Ruge Jervell

2. Datamaskiner som syntaksmaskiner • Nøyaktige • Raske • Små • Stort lager • Mest avansert teknologi • Datamaskiner som modell

3. Nøyaktige Klarer ikke å måle veldig nøyaktig – 10-9 . Datamaskiner er mye mer nøyaktig enn det vi får med fysiske målinger. Hugs> product [1 .. 500] 1220136825991110068701238785423046926253574342803192842192413588385845373153881997605496447502203281863013616477148203584163378722078177200480785205159329285477907571939330603772960859086270429174547882424912726344305670173270769461062802310452644218878789465754777149863494367781037644274033827365397471386477878495438489595537537990423241061271326984327745715546309977202781014561081188373709531016356324432987029563896628911658974769572087926928871281780070265174507768410719624390394322536422605234945850129918571501248706961568141625359056693423813008856249246891564126775654481886506593847951775360894005745238940335798476363944905313062323749066445048824665075946735862074637925184200459369692981022263971952597190945217823331756934581508552332820762820023402626907898342451712006207714640979456116127629145951237229913340169552363850942885592018727433795173014586357570828355780158735432768888680120399882384702151467605445407663535984174430480128938313896881639487469658817504506926365338175055478128640000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

4. Raske og små • Maskiner med klokke 2 GHz • Lyset går 15 cm • Ingen signaler når lenger enn 15 cm • Maskiner må være små for å være raske

5. Stort lager • Enorm utvikling • 1 kontorist skriver på maskin • 1 kilobyte i timen • 1750 timer i året • 40 år • 70 megabyte som et livsverk • Vi har passert kilobyte, megabyte, gigabyte, terrabyte

6. Måleenheter • Slå opp i web på Powers of ten • http://www2.sims.berkeley.edu/research/projects/how-much-info/datapowers.html • http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/ • http://www.gofish.com/player.gfp?gfid=30-1025863

7. Mest avansert teknologi • 1650 – fontener og sluser • 1800 – gnister og elektrisitet • 1900 – dampmaskiner og mekanikk • 1940 – telefonsentraler og hullkort • Nå – datamaskiner • Vi bruker den mest avanserte teknologien for å beskrive mennesker. Mennesket som en informasjonsprosessor.

8. Beskrive med syntaks • SIVILISASJONSPROSESSEN • Lyd – tegn – alfabet • Varer – penger • Terreng – sti – vei – bane • Byråkrati • Håndverk – fabrikker • Sykdommer • Arbeid

9. Syntaks • Drøm om universalspråk • Språk: lingua characteristica • Kalkyle: calculus ratiocinator • Leibniz 1700 • Frege 1879

10. Syntaktisk kalkyle Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646 - 1716 Gottlob Frege 1848 - 1925 Alan Turing 1912 - 1954

11. Turingmaskin - 1936 • Hva er en beregning ? • Alfabet av tegn – nok med 0 1 • Regnemedium – tape med ruter • En beregner – computor - ser en rute • Leser tegn t i ruta • Er i tilstand q • Skriver nytt tegn • Ny tilstand • Beveger seg høyre/venstre/stopp • Endelig alfabet, tilstander, skrevne ruter

12. Om turingmaskiner • Kan realiseres elektronisk • Viktigste teoretiske modell av datamaskiner • Analyserer beregninger på tape – trinn for trinn • Turing viste at det var problemer som turingmaskiner ikke kunne løse • Stoppeproblemet ikke løsbart • Gitt maskin M og tape T • Kan vi avgjøre om M stopper satt i gang på T Det er et gap mellom å definere en beregning og å finne terminalegenskapene ved beregningen Intensjonal – definert ved program Ekstensjonal – definert ved input/output

13. Hva regnes på ? • Tall • Unære tall 1 11 111 1111 11111 … • Binære tall 0 1 10 11 100 101 110 … • Reelle tall 2.7182… 3.14159… • Datastrukturer • Start, konstruktorer • Lister, trær, stakker, arrays, … • Logiske utsagn • Algoritmer og datastrukturer

14. Logiske utsagn • Utsagn – har sannhetsverdi dvs er enten sann eller gal • Konnektiver – og, eller, ikke, hvis – så • Kvantorer – for alle, det fins • Predikater og relasjoner • Funksjoner og individkonstanter • Variable

15. Utsagn • Noe som har sannhetsverdi • Meget spesiell form for utsagn • Vi regner på sannhetsverdiene og ser bort fra mye som hører med til forståelsen av setningen • Kan uttrykke dette med andre utsagn

16. Konnektiver • Sannhetsfunksjoner • Konjunksjon: A  B • Disjunksjon: A  B • Negasjon:  A • Kondisjonal: A  B • De giftet seg og fikk barn • Om månen er en gul ost, så er Ola 21 år

17. Kvantorer - Frege • Alle mennesker puster • x. Menneske(x)  Puster(x) • Fins pattedyr som legger egg • x. Pattedyr(x) Egg(x) • Variablene finnes ikke i dagligspråket • Relasjon – predikater med flere argumenter

18. Predikatlogikk • Det er gitt et formelt språk som inneholder et bestemt antall • Relasjonstermer (inklusive predikater og utsagn) • Funksjonstermer (inklusive individer) • Variable • Logiske termer – konnektiver og kvantorer -fast tolking • Ikke-logiske termer – relasjoner og funksjoner – må gis tolking

19. Semantikk for predikatlogikk • En tolkning er gitt ved • Et univers U • Sannhet/galhet av predikater i U • Funksjoner fra U til U • Et utsagn er gyldig om det er sant i alle tolkninger

20. Gyldig • Gyldig: Alle tolkninger gir verdien sann • Verifiserbar: Fins en tolkning som gir verdien sann • Falsifiserbar: Fins en tolkning som gir verdien gal • Kontradiktorisk: Alle tolkninger gir verdien gal

21. Oppsummering • Forutsetter et skille mellom logiske og ikke-logiske termer • Utsagnslogikk – enkel – holde orden på kombinasjoner av sannhetsverdier • Predikatlogikk – ikke avgjørbar, men fins en kalkyle • Kan lage en kalkyle for ”gyldighet” • ”Gyldighet” er enklere enn ”sannhet”

22. Freges tre nivåer • Syntaks F • Kan gjenkjenne tegn • Semantikk • Skjønner betingelsene for at F er sann • Pragmatikk • Vet konsekvensene av at F er sann • Selv etter at en har skjønt et utsagn er det mye en kan gjøre med det – vise at noe er sant, vise at noe er usant, bløffe, lyve, angre, true, love, … F F

23. Freges tre gap • Fra det fysiske til det syntaktiske • Fra det syntaktiske til det semantiske • Fra det semantiske til det pragmatiske • Disse gapene kan bare overstiges ved at vi foretar sprang

24. SLUTT FØRSTE DOBBELTTIME

25. ANDRE DOBBELTTIMEOm syntaks • Syntaksmaskiner • Hva kan beskrives med syntaks ? • Sivilisasjonsprosessen • Ekstensjonal / intensjonal • Finne syntaktiske kalkyler • Forstå syntaktiske kalkyler

26. Kunstig intelligens • Ønsker å regne på menneskelige aktiviteter som • Resonnering • Læring • … • Hovedproblem: Lage fornuftige syntaktiske kalkyler Dette gjøres i mange vitenskaper

27. Søking • Gitt • problemområde • start • Mål • Finn vei til mål • Legge inn motpart – to person spill

28. Planlegging • Kan sees som et søkeproblem • Finne best mulig plan eller bare finne en god nok plan • Hvor mye binder foreløpige valg – søking uten backtracking

29. Resonnering • Ofte brukes logikk • Språk – representere problemet • Kalkyle – utføre resonneringstrinn • Mekanisme – data + kontroll

30. Læring • Finne enklest mulig forklaring av data • Ofte inngår søk • Parameterjustering • Hva slags læring blir simulert

31. Menneske + maskin • Damen har semantikk • Oversettes til syntaks – tastes inn på maskin • Maskinen utfører syntaktisk kalkyle • Syntaktisk resultat på skjerm • Oversettes av damen til semantikk Menneske + maskin er et system

32. Kalkyler • Vi definerer en syntaktisk kalkyle ved å si hvordan overgangen er fra trinn til trinn • Vi er interessert i egenskaper som • Invarians: uansett hvilken input så .. • Spesifikasjon: for alle input I fins output O slik at det er en viss sammenheng mellom I og O • Terminering: For alle input I så terminerer beregningen

33. Ekstensjonal/intensjonal • Gap mellom vår definisjon av kalkyle • Program, transisjoner, … • De egenskapene vi er interessert i • Invarians, terminering, spesifikasjon, … • Skiller mellom • Ekstensjonal: input/output • Intensjonal: program

34. Endelig automat • Ser på turingmaskiner • Endelig automat – maskinen beveger seg bare i en retning, computoren har et endelig antall tilstander • Noam Chomsky: eksempel i lingvistikk – undersøke en setning ved å bare bevege seg i en retning uten å gå tilbake • Klarer ikke parenteser

35. Kontekstfritt språk • Turingmaskin som beveger seg i en retning, men computoren har hjelp av en stakk • Klarer parentesspråk • Parenteser vesentlig i dataspråk • Håndtere funksjonskall • Flere typer parenteser spiller liten rolle – kan ta dem med uten at ting blir mer komplisert

36. KONTEKSTSENSITIVT SPRÅK • Turingmaskin uten stakk men der hele beregningen skjer innenfor inputstringen • Det er sammenheng mellom klasser av språk og begrensinger på turingmaskiner • Mange muligheter

37. Ressurser • Tid: antall trinn turingmaskinen bruker • Rom: antall ruter turingmaskinen bruker • Dette er robuste mål. Bruk av turingmaskiner er ingen begrensning • Ofte er en trade-off mellom tid og rom

38. Syntaktiske kalkyler • Utsagnslogikk – OK • Predikatlogikk – nesten OK • Problemer med følgende univers • En datastruktur som univers • Mengder som univers • Reelle tall

39. Utsagnslogikk • Bruker sannhetstabeller – med n utsagnsvariable får vi 2n tilfeller • Åpent spørsmål om vi kan gjøre bedre • Et av de store åpne problemene i teoretisk informatikk er om vi kan lage kalkyler for gyldighet i utsagnslogikk som er bedre enn sannhetstabeller. (P ≠ NP)

40. Predikatlogikk • Det fins kalkyler for gyldighet i predikatlogikk. Om et utsagn er gyldig, så vil kalkylen finne det. Men om utsagnet ikke er gyldig, så har vi ingen garanti for at kalkylen vil finne det. Dette er en variant av Entscheidungsproblem. Turing lagde sine maskiner for å vise at det var uavgjørbart.

41. Datastruktur • Våre datastrukturer er ganske like våre syntaktiske kalkyler. I en syntaktisk kalkyle har vi • Et endelig antall aksiomer • Et endelig antall slutningsregler som tillater oss å vise nye utsagn gitt utsagn som er alt vist. • Dette minner om start / konstruktorer i en datastruktur.

42. Kurt Gödel 1906 - 1978

43. Ufullstendighet • Kurt Gödel viste i 1931 at under ganske enkle forutsetninger kan en ikke lage noen syntaktisk kalkyle for en datastruktur. Dette kalles Gödels ufullstendighetsteorem. • Språket må være mer komplisert enn det språket skal beskrive.

44. Mengder • Dette er måter å skrive mengder på • {1,2,5} = {1,1,5,2} • { x | x er et primtall } • Med det har en en praktisk syntaks som kan brukes til å beskrive en del mengder • A  B , A B

45. Mengdelære • Vi har ingen fullgod syntaks for å beskrive mengder. • Heller ingen syntaktisk kalkyle for dem. • Å beskrive endelige mengder klarer vi like bra som det å beskrive en datastruktur

46. Reelle tall • Verken syntaktisk språk eller syntaktisk kalkyle. • Store problemer med reelle tall på datamaskiner. Som oftest bruker en bare tall avrundet og avskåret. Det betyr at en bare bruker en variant av de naturlige tall i stedet for de reelle tall.

47. Syntaksmaskiner • Datamaskiner er syntaksmaskiner • Ikke alt kan representeres som syntaks og som syntaktiske kalkyler • Sivilisasjonsprosessen • Ekstensjonalt / intensjonalt • Datastrukturer, mengder, reelle tall • Men stor gevinst når vi klarer å representere noe som syntaks

48. Filosofi • Nominalisme – alt er bare syntaks • Konstruktivisme – bruker forståelige konstruksjoner når vi bygger opp syntaks • Platonisme – direkte tilgang til semantikk

49. Nominalisme • Ingen plass for semantikk • Styrer syntaktiske konstruksjoner med semantisk forståelse • Hvorfor skal vi stole på bevis ?

50. Konstruktivisme • Hva er en akseptabel konstruksjon • Ikke en enkel teori, men en hærskare av teorier • Ny forståelse av konnektiver, av kvantorer, av gyldighet – kan ikke bygge på sann/gal