1 / 10

Solving Systems of Linear Equations using Gauss Elimination

Learn the Gauss Elimination method for solving systems of equations efficiently with step-by-step instructions and example calculations. Contact: peep.miidla@ut.ee

jalena
Download Presentation

Solving Systems of Linear Equations using Gauss Elimination

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamine Üldkuju: peep.miidla@ut.ee

  2. Gaussi elimineerimismeetod I Algoritm 1. Et lahendada võrrandite süsteem A*x = b Gaussi elimineerimismeetodiga , tuleb • FaktoriseeridaA, A = P*L*U , kus P on permutatsioonimaatriks, L on ühtedest koosneva diagonaaliga alumine kolmnurkne maatriks ja U on mittesingulaarne ülemine kolmnurkmaatriks. • Lahendada süsteem P*L*U*x= b vektori L*U*xsuhtes, permuteerides vektori b komponendid. • Lahendada süsteem L*U*x = P-1*b vektori U*x suhtes, • U*x= L-1*(P-1*b) (forwardsustitution). • Lahendada süsteem U*x= L-1*(P-1*b) vektori x suhtes, x = U-1*(L-1*P-1*b) (backwardsubstitution). Tehete arv Gaussi elimineerimismeetodi korral: n3 /3 *(n2+3*n-1) peep.miidla@ut.ee

  3. Maatriksi faktoriseerimine peep.miidla@ut.ee

  4. Gaussi elimineerimismeetod II • Def. Permutatsioonimaatriksiks nimetatakse maatriksit P, mis saadakse ühikmaatriksist ridade vahetamise (permuteerimise) tagajärjel. Lemma Olgu P1, P2 ja Ppermutatsioonimaatriksid (dimensiooniga n*n). Siis • P*X on maatriks, mis saadakse maatriksist X selle ridade vahetamise teel ja X*P on sama veergude vahetamise järel. • P-1 = PT . • det(P ) = ± 1 . • P1 * P2on samuti permutatsioonimaatriks. peep.miidla@ut.ee

  5. Maatriksite faktoriseerimine • TEOREEM. Kui n*n maatriks A ei ole singulaarne,siis leiduvad permutatsioonimaatriks P (ühikmaatriks, mille read on vahetatud), mittesingulaarne alumine kolmnurkmaatriks L ja mittesingulaarne ülemine kolmnurkmaatriks U sellised, et A=P*L*U. • Süsteemiga A*x = b ekvivalentset süsteemi P*L*U*x = b lahendatakse sellises järjekorras:  L*U*x = P-1*b = PT*b(vahetatakse b komponendid); U*x = L-1*(PT*b) (forwardsubstitution); x = U-1*(L-1*PT*b) (backsubstitution). peep.miidla@ut.ee

  6. Gaussi elimineerimismeetod III Peaelementide väljaeraldamine (pivoting) • Osaline peaelementide kasutamine (partial pivoting). Kasutatakse suurimat elementi igas veerus; L*U = P*A. [Kasutab MATLAB] • Täielik peaelementide kasutamine (complete pivoting). Leitakse igal elimineerimissammul suurim element kogu maatriksis; L*U = P*A*Q. • Peaelemente ei eraldata välja; erijuhtudel. peep.miidla@ut.ee

  7. Gaussi elimineerimismeetod IV Juhud, mil ei ole vaja juhtelemente välja eraldada: • Kui maatriks A on domineeriva peadiagonaaliga: • Kui maatriks A on positiivselt määratud: AT = A ; x*A*xT > 0 iga x korral peep.miidla@ut.ee

  8. Näide Maatriksi LU faktoriseering: Teeme läbi Gaussi elimineerimismeetodi peaelementi välja eraldamata. Esialgu ε väike arv. Kui võtta ε väga väikeseks, ε < εmach ≈ 2-53 , siis saame lahendiks x1 = x2 = 1. peep.miidla@ut.ee

  9. Gaussi elimineerimismeetod, kolmnurksele kujule viimine Lahend: Rida2-3*Rida3, 2*Rida3-Rida1 Rida3/11, 10*Rida3+Rida2 Süsteem on kolmnurksel kujul, tehakse tagasisamm. peep.miidla@ut.ee

  10. Gauss-Jordani elimineerimismeetod Lahend: R2-2*R3, 3*R3-R1 -R3/8, R2+4*R3 5*R2+7*R3, R2R3 R2/5, R1-4*R2 R1-R3 R1/3 Süsteemi maatriks on viidud diagonaalkujule peep.miidla@ut.ee

More Related