Série de Fourier

1. Série de Fourier Une série de Fourier est une série du type : s(t) = avec : et pour : Les nombres an et bn sont appelés coefficients de Fourier

2. Théorème 1(Lejeune-Dirichlet) Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a : si f est continue au point t. Et plus généralement :

3. Analyse harmonique ou spectrale composition fréquentielle du signal a0 représente la moyenne f sur une période :

4. Analyse harmonique est le fondamental : c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le rythme du signal.

5. Analyse harmonique Et pour sont les harmoniques de rang n. Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

6. Synthèse harmonique La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

7. Représentation spectrale On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique :

8. Propriétés des coefficients Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent. • Cas où f est paire : tous les bn sont nuls. avec et pour

9. Propriétés des coefficients • Cas où f est impaire : tous les an sont nuls. . avec pour

10. Propriétés des coefficients • Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires : et

11. Propriétés des coefficients • L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

12. EXEMPLE • sur • f paire, -périodique

13. EXEMPLE • f paire : et pour

14. EXEMPLE

15. EXEMPLE • On a donc : et comme f est continue sur IR :

16. Ecriture complexe des séries de Fourier En utilisant les formules d’Euler on obtient: Où :

17. L’égalité de Parseval • On montre que l’énergie du signal est égale à la somme des énergies des harmoniques et de la valeur moyenne au carré