MPI, 8.-12. prednáška

1. MPI, 8.-12. prednáška Matematická analýza

2. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Motivácia k derivácii -geometrická -fyzikálna • Definícia derivácie Definícia. Nech je funkcia definovaná v okolí bodu . Ak existuje konečná limita tak túto limitu nazveme deriváciou funkcie f(x) v bode a budeme ju označovať symbolom f´(a). Ak uvedená limita neexistuje, hovoríme, že funkcia v danom bode nemá deriváciu.

3. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Definícia. Nech je reálna funkcia. Označme množinu všetkých tých bodov definičného oboru , v ktorých má funkcia deriváciu. Funkciu , ktorá každému bodu priradí hodnotu (deriváciu funkcie v bode ) nazývame deriváciou funkcie f na množine M.

4. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Dotyčnica ku grafu funkcie Veta . Nech funkcia má deriváciu v bode a. Potom dotyčnica ku grafu funkcie , vedená bodom má rovnicu

5. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Základné derivačné vzorce Pre derivovanie elementárnych funkcií platia nasledujúce vzťahy (vzorce), ktoré používame pri počítaní derivácií zložených funkcií: Veta 1)Ak f(x)=c (konštantná funkcia) , tak pre každé je . 2) Ak f(x)=xn (n = 1,2,...), tak pre každé je 3) Ak f(x)=xα , , tak pre každé , x≠0, je .

6. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. 4) Ak f(x)=ax (a>0), tak pre každé je . Špeciálne, ak f(x)=ex , tak . • 5) Ak f(x)=sinx , tak pre všetky x je • . • Ak f(x)=cosx , tak pre všetky x je

7. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. 7) Ak f(x)=tgx, tak pre tie x, pre ktoré je cosx ≠0 8) Ak f(x)=cotgx, tak pre tie x, pre ktoré je sinx≠0

8. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. 9) Ak f(x)=logzx ,z>0,z≠1, tak pre všetky x>0 je = . Špeciálne, ak f(x)=ln x, tak pre všetky x>0 je .

9. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. Derivácia súčtu, rozdielu, súčinu a podielu, derivácia zloženej funkcie Veta Nech funkcie f a g majú derivácie na množine M. Potom aj funkcie c.f(c-je reálne číslo),f+g , f -g a f.g majú na tejto množine derivácie a platí:

10. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Ak navyše g(x)≠0 pre všetky x, tak na množine M majú derivácie i funkcie , a platí:

11. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Veta (O derivácii zloženej funkcie.) Nech je zložená funkcia, definovaná v nejakom okolí bodu a. Nech funkcia g má deriváciu v bode a a funkcia f má deriváciu v bode g(a). Potom aj funkcia h má deriváciu v bode a platí

12. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Príklad 1. Z definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie f(x)=x2. • Príklad 2. Vypočítajte deriváciu funkcie • Príklad 3. Vypočítajte deriváciu funkcie • Príklad 4. Zderivujte funkciu +

13. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Príklad 5. Vypočítajte deriváciu funkcie • Príklad 6. Nájdite rovnicu tej dotyčnice k parabole y=x2-x+3, ktorá je • rovnobežná s priamkou 3x-y+5=0; • kolmá na priamku x+y-1=0.

14. Derivácia funkcie, derivačné vzorce, derivácia a spojitosť. • Derivácie vyšších rádov • Derivácie vyšších rádov (alebo krátko vyššie derivácie) definujeme rekurentne: Nech funkcia má deriváciu v každom bode neprázdnej množiny M, t.j. v každom bode existuje f´(x), čo je vlastne zase funkcia, definovaná na množine M. Preto má zmysel uvažovať a pýtať sa, či existuje derivácia funkcie f´(x) na množine M. Ak táto derivácia existuje, tak ju nazývame druhou deriváciou funkcie f na množine M a označujeme f´´(x), kde f´´(x)=(f´(x))´. • Analogicky tretiu deriváciu (ak existuje) definujeme ako deriváciu druhej derivácie, atď. (Pôvodnú hodnotu funkcie zvykneme tiež nazývať „nultou deriváciou“.) Obecne: Hovoríme, že funkcia má n - tú deriváciu (vlastnú, alebo nevlastnú) na množine M , ak na tejto množine existuje (vlastná,alebo nevlastná) derivácia (n–1)-vej derivácie funkcie f . Označenie je f(n)(x). Teda f(n)(x)=(f(n-1)(x))´ Príklad 7. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie y=x2lnx.

15. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Monotónnosť a derivácia

16. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. Veta Nech funkcia f(x) je spojitá v intervale J a nech v každom vnútornom bode tohto intervalu má deriváciu. Potom platí: Ak f´(x)> 0 (f´(x)<0) potom f(x) je na intervale J rastúca (klesajúca). Príklad 1. Vyšetrite monotónnosť funkcie f(x) = lnx. Príklad 2. Vyšetrite monotónnosť funkcie f(x) = x3 - 3x.

17. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Poznámka . Predchádzajúca veta hovorí, že podmienka f´(x)> 0, resp. f´(x)< 0 je postačujúca na to, aby funkcia f(x) bola na príslušnom intervale rastúca, resp. klesajúca. • Veta . Nech funkcia f(x) je spojitá v intervale J a vo vnútri intervalu J má deriváciu. Nutná a postačujúca podmienka na to, aby funkcia f(x) bola na intervale J rastúca (klesajúca) je: f´(x)≥ 0 (f´(x)≤0) v každom vnútornom bode intervalu J, pričom rovnosť f´(x) = 0 nastáva len v konečnom počte bodov intervalu J.

18. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Maximum (minimum) a derivácia • Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a), a MD(f), nazývame globálnym maximom funkcie f(x) v bode a na množine M práve vtedy, ak pre každé x M platí: f(x) f(a). • Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a), aMD(f), nazývame globálnym minimom funkcie f(x) v bode a na množine M práve vtedy, ak pre každé x M platí: f(x) f(a).

19. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a), a D(f), nazývame lokálnym maximom funkcie f(x) v bode a práve vtedy, ak existuje také okolie O(a) D(f), že pre každé x O(a) platí: f(x) f(a). • Definícia . Nech funkcia f je definovaná na množine D(f). Funkčnú hodnotu f(a) , a D(f), nazývame lokálnym minimom funkcie f(x) v bode a práve vtedy, ak existuje také okolie O(a) D(f), že pre každé x O(a) platí: f(x) f(a) • Poznámka . • Ak sú splnené podmienky lokálneho maxima (minima) a naviac pre každé x O(a) D(f), xa, platí f(x)  f(a), resp. f(x)  f(a) , potom hovoríme, že funkcia f má v bode aostré lokálne maximum, resp. ostré lokálne minimum.

20. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Veta .Nutná podmienka existencie lokálneho extrému. Nech funkcia f(x) má v bode x0 lokálny extrém. Potom f´(x0)= 0, alebo derivácia funkcie f v bode x0 neexistuje. • Poznámka . • Bod x = a, v ktorom f´(a) = 0, sa nazýva stacionárny bod funkcie f. • Geometricky môžeme nutnú podmienku existencie lokálneho extrému interpretovať takto: ak funkcia f(x) má v bode x = a ostrý lokálny extrém, potom jej graf v bode P a, f(a) buď má dotyčnicu rovnobežnú s osou x alebo v tomto bode dotyčnicu nemá .

21. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. Ilustrácia predchádzajúceho textu

22. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Skutočnosť, že f´(a) = 0, ešte neznamená, že funkcia f(x) má v bode a lokálny extrém. Napríklad funkcia f(x) = x3 má deriváciu f´(x) = 3x2a x = 0 je nulovým bodom derivácie funkcie.

23. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Veta . Postačujúca podmienka lokálneho extrému funkcie v bode a • Nech funkcia f má v bode x = a deriváciu druhého rádu a nech f´(a) = 0. Nech f´´(a) 0 resp. f´´(a) 0. Potom funkcia f má v bode a ostré lokálne minimum resp. ostré lokálne maximum. • Veta .Postačujúca podmienka lokálneho extrému funkcie v bode a • Nech existuje také okolie O(a) bodu a, že funkcia f je v O(a) spojitá, má deriváciu v každom x O(a), xa a naviac pre x  a je f´(x) 0 a pre x  a je f´(x) 0. Potom funkcia f(x) má v bode a ostré lokálne maximum. • Nech existuje také okolie O(a) bodu a, že funkcia f je v O(a) spojitá, má deriváciu v každom x O(a), xa a naviac pre x  a je f´(x) 0 a pre x  a je f´(x) 0. Potom funkcia f(x) má v bode a ostré lokálne minimum.

24. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Príklad 3. Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x) = x4 - 4x3 + 4x2. • Poznámka . • Hľadanie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie (teda globálnych extrémov funkcie) v nejakom intervale J.

25. Využitie derivácie na zisťovanie monotónnosti funkcie a lokálnych extrémov funkcie. Globálne extrémy funkcie. • Nájdeme najprv body z vnútra intervalu, v ktorých je buď f´(x) = 0, alebo v ktorých derivácia neexistuje. Označíme ich x1, x2, ..., xk,... • Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch x1, x2, ..., xk,... , t.j. f(x1), f(x2), ..., f(xk),... f(a), f(b). Najväčšie z týchto čísel je globálne maximum, najmenšie globálne minimum funkcie f na uzavretom intervale. • Príklad 4. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x +1 v intervale .

26. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Konvexnosť a konkávnosť a derivácia • Definícia . Nech f je funkcia, ktorá je spojitá v intervale J a v každom vnútornom bode tohto intervalu má deriváciu. Hovoríme, že funkcia f je konvexná (konkávna) na intervale J, ak pre každú dotyčnicu k jej grafu platí, že všetky body grafu funkcie okrem dotykového bodu ležia nad (pod) touto dotyčnicou. • Poznámka . Niekedy sa funkcia, ktorú sme nazvali konvexnou (konkávnou) na intervale J nazýva rýdzo konvexnou (rýdzo konkávnou) v intervale J na rozdiel od prípadu, keď pripúšťame, aby body grafu ležali buď nad (pod) každou dotyčnicou, alebo na niektorej dotyčnici..

27. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Ilustrácia definície

28. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Veta . Nech funkcia f je spojitá v intervale J a v každom vnútornom bode intervalu J má druhú deriváciu. Ak pre každé x z vnútra intervalu J platí f´´(x) 0 (f´´(x) 0) pričom rovnosť platí len pre konečný počet bodov, potom funkcia f je v intervale J rýdzokonvexná (rýdzokonkávna). • Príklad 5. Zistite, v ktorých intervaloch je funkcia f(x) = x3 - 3x konvexná, resp. konkávna.

29. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Poznámka . Podmienka f ´´(x) >0 (f ´´(x) < 0) je postačujúca, ale nie nutná na to, aby funkcia f bola v intervale J konvexná, resp. konkávna. • Možno dokázať nasledujúce tvrdenie: Nutná a postačujúca podmienka na to, aby funkcia f bola v intervale J konvexná (konkávna), je, aby jej derivácia f ´ bola v intervale J rastúca (klesajúca).

30. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Definícia . Bod (číslo) x0, v ktorom funkcia f má deriváciu, nazývame inflexným bodom funkcie f práve vtedy, keď existuje také okolie O(x0) bodu x0, že pre každé x O(x0), x  x0 je funkcia konvexná (konkávna), a pre každé x O(x0), x  x0 je funkcia konkávna (konvexná). Ak x0 je inflexným bodom funkcie, potom bod x0,f(x0) nazývame inflexným bodom grafu funkcie.

31. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Ilustrácia definície

32. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Veta . Nech funkcia f má v nejakom okolí bodu x0 spojitú druhú deriváciu. Nutná podmienka, aby x0 bol inflexný bod funkcie f , je aby f ´´(x0) = 0, alebo aby f ´´(x0) neexistovala. • Príklad 6. Nájdite inflexné body funkcie f(x) = x3.

33. Konvexnosť a konkávnosť a derivácia, inflexné body • Veta . Nech funkcia f má v bode x0 tretiu deriváciu a nech f´´(x0) = 0, f´´´(x0) 0. Potom bod x0,f(x0) je inflexný bod grafu funkcie f. • Príklad 7. Zistite intervaly, na ktorých je funkcia f(x) = konvexná, konkávna a nájdite jej inflexné body.

34. l´Hospitalove pravidlá • Veta . Prvé l´Hospitalove pravidlo Nech 1/ f(x) = g(x) = 0 a nech 2/ existuje (vlastná alebo nevlastná). Potom existuje aj a platí: = .

35. l´Hospitalove pravidlá • Veta . druhé l´Hospitalove pravidlo Nech 1/ = a nech 2/ existuje (vlastná alebo nevlastná). Potom existuje aj a platí: =

36. l´Hospitalove pravidlá • Poznámka . Uvedené vety platia aj v prípade, že ide o jednostranné limity, aj v prípade že a predstavuje symbol . • Príklad 7. Vypočítajte . • Príklad 8. Vypočítajte . Poznámka . Počítanie limít, ktoré vedú k výrazom možno za istých predpokladov upraviť na tvar limít, ktoré už vieme vypočítať pomocou l´Hospitalových pravidiel.(na cvičení)

37. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Primitívna funkcia • Definícia.Funkcia F(x) sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f(x) na intervale J, ak pre každé xJ platí F´(x)=f(x). • Príklad 1. Funkcia F(x)=x3+2, aj funkcia G(x)=x3-5 sú primitívne funkcie k funkcii 3x2.

38. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Veta Nech F(x) je primitívnou funkciou k funkcii f(x) na intervale (a,b). Funkcia G(x) je primitívnou funkciou k funkcii f(x) na (a,b) vtedy a len vtedy, ak existuje také reálne číslo c, že pre všetky x(a,b) platí G(x)=F(x) + c. • Neurčitý integrál • Definícia Množinu všetkých primitívnych funkcii k funkcii f(x) na intervale (a,b) nazývame neurčitým integrálom funkcie f(x) na intervale (a,b) a označujeme

39. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. Integračné vzorce:

40. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Príklad 2.

41. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Substitučná metóda a metóda per-partes • Z vety o derivácii zloženej funkcie získame jednu z najdôležitejších metód integrovania – substitučnú metódu. Je založená na nasledujúcom tvrdení. • Veta (Prvá veta o substitúcii). Nech funkcia f(x) je definovaná na intervale (a,b) a funkcia (t) na intervale (α,β). Nech množina hodnôt funkcie (t) , je podmnožinou intervalu (a,b). Nech ďalej (t) je diferencovateľná na (α,β). Ak má f(x) na (a,b) primitívnu funkciu F(x), potom má f((t))´(t) na intervale (α,β) primitívnu funkciu F((t)), t.j.

42. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Poznámka. Všimnime si, že integrovaná funkcia má tieto vlastnosti: • je súčinom dvoch funkcií f((t)) a ´(t) • prvá z nich je zloženou funkciou s hlavnou zložkou f a vedľajšou zložkou . Druhá z nich je deriváciou vedľajšej zložky .

43. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Príklad 3.Vypočítajte

44. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Ak naopak máme vypočítať , pričom vieme vypočítať , môžeme tiež použiť substitučnú metódu. Pre tento prípad môžeme vysloviť novú vetu, ktorá je však bezprostredným dôsledkom vety predchádzajúcej. Tvrdenie tejto vety neuvedieme, ale zapíšeme iba pomocou vzorca (Druhá veta o substitúcii).

45. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Príklad 4.Vypočítajte

46. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Metóda per-partes • Metódu integrovania, ktorú nazývame per-partes dostaneme z vety o derivovaní súčinu dvoch funkcií. Hovorí o tom veta, ktorú neuvedieme v plnom znení ale uvedieme iba príslušný vzorec.

47. Primitívna funkcia a jej výpočet. Substitučná metóda a metóda per-partes. • Poznámka . Metódu per-partes (t.j. integrovanie po častiach) používame najmä na integrovanie súčinu dvoch funkcií. Úspech použitia metódy závisí od toho, ako si zvolíme funkcie a . Nie každá voľba týchto funkcií vedie k cieľu. Zaručený návod na použitie tejto metódy neexistuje. • Uvedieme niekoľko základných typov funkcií, ktoré integrujeme metódou per-partes. • Príklad 5. Vypočítajte:

48. Určitý integrál a jeho výpočet. Aplikácie určitého integrálu. • Motivácia k určitému integrálu • Úvodom sa budeme zaoberať úlohou z geometrie. Riešenie vedie k zavedeniu pojmu určitý integrál. • Úloha (o plošnom obsahu).Uvažujme takýto jednoduchý prípad: zvoľme si v rovine pravouhlý súradnicový systém, nech funkcia f(x) je spojitá funkcia na intervale a,b a nadobúda na tomto intervale nezáporné hodnoty, t.j. f(x) 0 pre xa,b .

49. Určitý integrál a jeho výpočet. Aplikácie určitého integrálu. • Definícia . Nech f(x) je nezáporná spojitá funkcia definovaná na intervale a,b . • Priamky x=a, x=b, y=0 a graf funkcie f(x) ohraničujú geometrický rovinný útvar, ktorý nazývame krivočiary lichobežník L , teda L je množina bodov (aká je plocha?)

50. Určitý integrál a jeho výpočet. Aplikácie určitého integrálu.