Bloque II * Tema 051

1. Bloque II * Tema 051 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Matemáticas Acceso a CFGS

2. EL RADIAN • SISTEMA SEXAGESIMAL • Cada una de las 360 partes iguales en que queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. • EL RADIAN • En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. • Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. • P = 2.π.r • Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: • 2.πrad = 360º A Radio =r Arco AB = r B Matemáticas Acceso a CFGS

3. Equivalencias • Tenemos que π radianes es igual a 180°. • Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Matemáticas Acceso a CFGS

4. Trigonometría • Trigonometría • La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. • La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. • Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos, y de las funciones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un lado. • Y así posteriormente podremos combinar las funciones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. Matemáticas Acceso a CFGS

5. Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b Matemáticas Acceso a CFGS

6. Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. • Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO. • Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. • Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO. • Los tres ángulos son menores de 90º. • Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. • Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b Matemáticas Acceso a CFGS

7. Razones trigonométricas • Razones Trigonométricas • En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo. B Hipotenusa B c a A=90º C A b C Matemáticas Acceso a CFGS

8. Razones en un triángulo • RAZONES DIRECTAS • El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. • Se escribe sen C • El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. • Se escribe cos C • La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. • Se escribe tg C Matemáticas Acceso a CFGS

9. Razones en un triángulo • RAZONES INVERSAS • Se llaman así porque son inversas de las razones anteriores: • La cosecante de un ángulo agudo, B, es la inversa del seno. • Se escribe cosec B = 1 / sen B • La secante de un ángulo agudo, B, es la inversa del coseno. • Se escribe sec B = 1 / cos B • La cotangente de un ángulo agudo, B, es la inversa de la tangente. • Se escribe cotg B = 1 / tg B Matemáticas Acceso a CFGS

10. Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 • sen C=c/a=3/5=0,6 • cos C=b/a=4/5=0,8 • tg C=c/b=3/4=0,75 • cosec C=1/sen C=1/0,6=5/3 • sec C=1/cos C=1/0,8=1,25 • cotg C=1/tg C=1/0,75=4/3 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C • IMPORTANTE • Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: • sen α≤ 1 • cos α ≤ 1 Matemáticas Acceso a CFGS

11. Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=10, b=8, c=6 • sen B=b/a=8/10=0,8 • cos B=c/a=6/10=0,6 • tg B=b/c=8/6=4/3 • cosec B=1/sen B=1/0,8=1,25 • sec B=1/cos B=1/0,6=5/3 • cotg B=1/tg B=1/(4/3)=0,75 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C • IMPORTANTE • Cuando los ángulos son complementarios, B+C=90º: • sen B = cos C • cos B = sen C Matemáticas Acceso a CFGS

12. Algunas razones muy utilizadas • RAZONES MUY UTILIZADAS • Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: • Sen 30º = 1 / 2 = 0,50 • Cos 30º = √3 / 2 = 0,866 • Tg 30º = √3 / 3 • Sen 45º = √2 / 2 = 0,707 • Cos 45º = √2 / 2 = 0,707 • Tg 45º = 1 • Sen 60º = √3 / 2 = 0,866 • Cos 60º = 1 / 2 = 0,50 • Tg 60º = √3 √2 45º 30º √3/2 60º ½ ½ Matemáticas Acceso a CFGS