İSTATİSTİK VE OLASILIK I

1. İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 11. Hafta: Tahmin Teorisi Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

2. Nokta Tahmini ve Güven Sınırları • Modern istatistik teorisinin en önemli konusu örnek istatistikleri yardımıyla anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. • Anakütledenseçilen belirli büyüklükteki tesadüfi bir örnekten elde edilen istatistikler anakütle parametre­lerinin nokta tahminini sağlar. • Bir örnekten elde edilen istatistiği anakütle ortalaması ‘in nokta tahminidir. • Aynı şekilde, örnekten hesaplanan s istatistiği anakütle standart sapması ’in; p istatistiği ise anakütle oranı P’nin nokta tahminidir. • Yeterince büyük olmaması veya bir örnekten elde edilen istatis­tiğin bir başka örnekten sağlanan istatistikle aynı olmayışı yüzünden anakütle parametresini bir noktada tahmin etmek yanlış sonuçlar doğurabilir. • Bu yüzden anakütle parametresi belirli bir hata seviyesi göz önüne alınarak belirli bir aralıkta hesaplanır.

3. Nokta Tahmini ve Güven Sınırları • Hata terimini ile gösterirsek, 1- güven seviyesinde aralık tahmini yapabiliriz. • Hata terimi normal eğrinin her iki ucunda eşit olarak yer alır. • Bu /2 ‘lik hata terimlerine karşı gelen ±Z değerleri tespit edilerek örnek dağılımının standart hatası ile çarpıldığında hata payı elde edilir. • Hata payının örnek istatistiğine eklenip çıkarılmasıyla aralık tahmini yapılır. • Bu şekilde, anakütle parametresinin belirlenen aralıkta yer aldığını, 1- güven seviyesinde söyleyebiliriz. • Güven sınırlarından küçük olanına alt güven sınırı, büyüğüne ise üst güven sınırı denilir. • Hata terimi küçüldükçe güven aralığı genişler. • Güven sınırlarının tespit edileceği ihtimal seviyesine göre Z değeri değişir. 0 1- güven aralığı

4. Bazı (1-) değerleri için Z tablo değerleri

5. Ortalamalar için Güven Aralığı • Bir örnekten elde edilen istatistiği anakütle ortalaması ‘in nokta tahminidir. • Bununla birlikte gerçek anakütle ortalaması, 1- güven seviyesinde, • aralığında yer alır. • Anakütle standart sapması bilinmediğinde, örnek standart sapması kullanılır. • Sınırlı anakütleden iadesiz örnekleme yapılmışsa, güven sınırları; • formülü ile hesaplanır.

6. Ortalamalar için Güven Aralığı • Formüldeki N, anakütle hacmini göstermektedir. • Aşağıdaki grafik, anakütle ortalamasına ait güven sınırlarını göstermektedir. 0 1- güven aralığı

7. Ortalamalar için Güven Aralığı • %95 güven sınırları tesbit edilirken hatası 1 - 0.95 = 0.05’tir. • Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında /2 = 0.05/2 = 0.025 olur. • Bu alanları belirleyen biri negatif diğeri pozitif iki Z değeri vardır. • Normal eğri alanları tablosunda 0.5 - 0.025 = 0.4750 alanına tekabül eden Z = ±1-96 değerleri aradığımız Z değerleridir. • %99 güven sınırları tesbit edilirken hatası 1-0.99 = 0.01’dir. • Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında /2 = 0.01/2 = 0.005 bulunur. • Normal eğri alanları tablosunda 0.5 - 0.005 = 0.4950 alanına tekabül eden -2.58 ve 2.58 değerleri aradığımız Z değerleridir.

8. Örnek 1 Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı 1040 g standart sapması 25 g bulunmuştur. Bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle hangi aralıkta yer alır?

9. Çözüm 1 • %95 güven seviyesi için Z değerleri ±1.96’dır. • Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler de yerine yazıldığında; 1035.1 1044.9 • Sözkonusuimalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığının, %95 güvenle, 1035.1 ile 1044.9 aralığında yer alacağım söyleyebiliriz.

10. Örnek 2 Konserve bezelye üreten bir fabrikadan, üretim sırasında 64 konserve kutusundan oluşan rassal bir örneklem seçilmiştir. Bu konserve kutularının ortalama ağırlığı 492 gr. ve standart sapma 12 gr. olarak belirlenmiştir. Üretilen konservelerin ortalama ağırlığını %95 güven düzeyinde tahmin ediniz.

11. Çözüm 2 • n = 64 konserve • X= 492 gr. • s = 12 gr. • G.D. = 1 - = 0.95 dolayısıyla = 0.05 olur. • Örneklem hacmi n = 64 birim (n >30 birimdir, ayrıca anakütle hacmi sonsuzdur.) olduğu için • ’nın örnekleme bölünmesi normaldir (Merkezi Limit Teoremi). • Bu bilgilere göre Z= ± 1.96 alınır. Buna göre; • 492-1,96492+1,96 489,6 494,94

12. Örnek 3 Bir anakütleden rastgele seçilen 50 birimin ortalama ağırlığı 4,98 kg ve standart sapması 0,07 kg olarak bulunmuştur. Anakütle ortalamasının %99 güven sınırlarını bulunuz.

13. Çözüm 3 • %99 güven seviyesi için Z değerleri ±2.58’dir. 4,95 5,01 • Söz konusu anakütle ortalamasının, %99 güvenle, 4.95 kg ile 5.01 kg arasında olmasını bekleriz.

14. Oranlar için Güven Aralığı • Örnek oranı p anakütle oranı P’nin nokta tahminidir. • Oranlar için güven aralığını veren formül, • Görüldüğü üzere örnek oranı bilindiğinde verilen güven seviyesi için anakütle oranının aralık tahminini yapabiliriz. • Örnekleme sınırlı bir anakütleden iadesiz olarak yapılıyorsa güven sınırları, • Formülü ile hesaplanır. • N, anakütle hacmini göstermektedir.

15. Oranlar için Güven Aralığı • Aşağıdaki grafik anakütle oranı için güven sınırlarını göstermektedir. 0 1- güven aralığı

16. Örnek 4 Bir fabrikanın imalatından tesadüfi olarak 200 mamul seçil­diğinde bunların %70’inin iyi kalite mallardan oluştuğu gözlenmiştir. Buna göre, fabrikada üretilen iyi kalite mal oranının, %95 güvenle,hangi aralıkta olması beklenir?

17. Çözüm 4 0 0.64 < P < 0.76 aralığında yer almasını bekleriz.

18. Örnek 5 Bir bölgede yaşıyan kişiler arasından A gazetesi okuru olanların oranı belirlenmek isteniyor. Bu amaçla rassal olarak 200 kişiden oluşan bir örneklem seçiliyor ve seçilen 200 kişi arasından 58 kişinin A gazetesi okuru olduğu belirleniyor. Bu bölgedeki A gazetesi okurlarının oranını %95 güven düzeyinde tahmin ediniz

19. Çözüm 5 • p===0,29 • 0,22728 0,35272 • n = 200 kişi • r = 58 kişi • 1 - = 0.95 • = 0.05 • P = ? • Z = ± 1.96

20. Örnek 6 Bir okulda okuyan 800 öğrenciden 100’ü tesadüfi olarak se­çildiğinde bunların %20’sinin başarısız olduğu gözlenmiştir. Bu okulda okuyan başarısız öğrencilerin oranının, %99 güvenle hangi aralıkta bulunduğunu hesaplayınız.

21. Çözüm 6 0.0968 < P < 0.3032 aralığında yer almasını bekleriz.

22. Standart Sapmalar için Güven Aralığı • Örnek standart sapması s, anakütle standart sapması ’nın nokta tahminidir. • Nokta tahmininden hareketle anakütle standart sapmasının güven aralığı, s s formülü ile hesaplanır. • Aşağıdaki grafik anakütle standart sapmasının güven sınırlarını göstermektedir. 0 s s 1- güven aralığı

23. Örnek 7 Bir ekmek fabrikasında üretilen 200 ekmeğin standart sapması 15 gr’dır. Anakütle standart sapmasının, %95 güvenle hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

24. Çözüm 7 s s 1 1 13,5316,47 • Daha açık bir ifadeyle, sözkonusu fabrikada üretilen ekmekler içini anakütle standart sapması, %95 güvenle 13.53 gr ile 16.47 gr arasındadır.

25. Örnek 8 Bir fabrikada üretilen 150 adet rulmanın çaplan ölçülmüş ve standart sapma 0.12 mm olarak hesaplanmıştır. Fabrikada üretilen rulmanların çaplarına ait standart sapmanın, %99 ihtimalle,

26. Çözüm 8 s s 0 0 00,14 • Anakütle standart sapmasının, %99 güvenle, yaklaşık olarak 0.10 mm ile 0.14 mm arasında olmasını bekleriz.

27. Ortalamalar Arası Fark için Güven Aralığı • Örnek ortalamalarından büyük olanını ile gösterirsek örnek ortalamaları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını, ( )-+ ( )++ • formülüyle hesaplayabiliriz.

28. Ortalamalar Arası Fark için Güven Aralığı • Aşağıdaki grafik ortalamalar arası farkların güven sınırlarını göstermektedir. 0 1- güven aralığı

29. Örnek 9 İki ampul fabrikasının birincisinden tesadüfi olarak 100 ampül seçildiğinde ortalama dayanma süresi 1315 saat ve standart sapma 43 saat bulunuyor. Aynı yöntemle diğer fabrikadan 90 ampül seçilerek ortalama dayanma süresi 1300 saat ve standart sapma 32 saat olarak hesaplanmıştır. %95 güvenle, anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığını bulunuz.

30. Çözüm 9 ( )-+ ( )++ (1300 )-+ (1300 )++ 4,2925,71

31. Örnek 10 100 deneme sonrasında bir benzin pompası, ortalama 125 ml fazla ölçüm yapmış ve standart sapma 17 ml olmuştur. Bir başka benzin pom­pası ise 120 deneme sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin ölçümü yapmış ve standart sapma 19 ml bulunmuştur. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın, %99 güvenle,anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığını bulunuz

32. Çözüm 10 ( )-+ ( )++ (110)-+ 821,27 Yani pompaların fazla ölçümleri arasındaki fark %99 güvenle 8.73 ml ile 21.27 ml arasındadır.

33. Oranlar Arası Fark için Güven Aralığı • Örnek oranlarından büyük olanını ile gösterirsek örnek oranları ara­sındaki farktan hareketle anakütle oranları arasındaki farkın; yani, () far­kının güven sınırlarını, • formülü yardımıyla hesaplayabiliriz.

34. Oranlar Arası Fark için Güven Aralığı • Aşağıdaki grafik oranlar arası farkların güven sınırlarını göstermektedir. 0 1- güven aralığı

35. Örnek 11 A fabrikasından alınan 40 mamul içerisinde 8 kusurlu gözle­nirken, B fabrikasından alınan 60 mamulden 9’u kusurlu çıkmıştır. Fabrikaların bütün mamulleri için kusur oranları arasındaki farkın, %95 güvenle aralığını bulunuz.

36. Çözüm 11 () () -0,10340,2034 aralığında olmasını bekleriz.

37. Örnek 12 Bir video kaset kiralayıcısı macera filmi kiralamanın erkek ve kadınlar itibariyle farklılık gösterip göstermediğini araştırmak istemiş ve belirli bir zaman periyodu içerisinde dükkanına gelen 40 erkekten 13’ünün ve 70 kadından 14’ünün macera filmi kiraladığını gözlemiştir. Erkek ve kadınların macera filmi kiralama oranları arasındaki fark %99 güvenle hangi aralıkta bulunur.

38. Çözüm 12 () () -0,10240,3524 aralığında olmasını bekleriz.