INTERVALOS CARACTERÍSTICOS

1. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ+ k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: • P(μ – k < x < μ+ k) = p Área=0,05 Área=0,9 Área=0,05 • k 0 k Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Ejemplo_1 • Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9. • Si dentro del intervalo hay un área de 0,9, fuera de él habrá 0,1. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,05. Por tanto: P (z > k) = 0,05  P (z ≤ k) = 0,95 • En las tablas encontramos p(1,64) = 0,9495, p (1,65) = 0,9505. • Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,6451) = 0,9. • Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total. Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS • En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. • Principales valores críticos • 1 – αα/2 zα/2 • 0,9 0,05 1,645 • 0,95 0,025 1,96 • 0,99 0,005 2,575 • k 0 k=zα/2 Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Ejemplo_2 • Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,95. • Si dentro del intervalo hay un área de 0,95, fuera de él habrá 0,05. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,025. • Por tanto: P (z > k) = 0,025  P (z ≤ k) = 1 – P (z > k) = 0,975 • En las tablas encontramos p(1,96) = 0,975. • Hemos encontrado un intervalo [-1,96; 1,96], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 95% del total. Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS • Ejemplo_3 • Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,99. • Si dentro del intervalo hay un área de 0,99, fuera de él habrá 0,01. • Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,005. Por tanto: P (z > k) = 0,005  P (z ≤ k) = 0,995 • En las tablas encontramos Ф(2,57) = 0,9949 y Ф(2,58) = 0,9951 • Tomamos un valor intermedio entre ambos: k = 2,575, que nos asegure o aproxime a que su probabilidad sea p=0,9950 • Hemos encontrado un intervalo [-2,575; 2,575], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 99% del total. Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. Intervalos en N(μ, σ) • A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable: • X - μ • Z = --------- • σ • Operando tenemos: X - μ = Z.σ  X = μ + Z.σ • En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p=1 – α es: • (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) • Ejemplo • Para el 90% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. • (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645.6 , 50 + 1,645.6) = • = ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87) Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. INTERVALOS Y VALORES CRÍTICOS • En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. • Probabilidades Valor crítico Intervalos característicos • 1 – αα/2 zα/2 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) • 0,9 0,05 1,645 (μ – 1,645.σ , μ + 1,645.σ) • 0,95 0,025 1,96 (μ – 1,965.σ , μ + 1,96.σ) • 0,99 0,005 2,575 (μ – 2,575.σ , μ + 2,575.σ) Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. INTERVALOS Y NIVEL DE CONFIANZA • k 0 k=zα/2 0,05 0,90 0,05 0,025 0,95 0,025 0,005 0,99 0,005 • – 4.σ – σ μ + σ + 4.σ Matemáticas 2º Bachillerato CS