Tema 0 4 . Binarna aritmetika

1. Tema 04.Binarna aritmetika Osnovi informacione tehnologije Profesor dr Boško Rodić, dipl. inž.

2. Pitanja • Binarna aritmetika • Brojevi u pokretnom zarezu • Algebra logike

3. 1. Binarna aritmetika Pravila za osnovne računske operacije su: a) sabiranje: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 (1 prenos)

4. 1. Binarna aritmetika

5. 1. Binarna aritmetika b) oduzimanje: 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 1 0 – 1 = 1 (1 prenos) Binarno oduzimanje obavlja se kao i decimalno oduzimanje, osim što se posuđuje 1 od bita veće težine.

6. 1. Binarna aritmetika

7. 1. Binarna aritmetika

8. 1. Binarna aritmetika

9. 1. Binarna aritmetika

10. 1. Binarna aritmetika

11. 1. Binarna aritmetika

12. 1. Binarna aritmetika c) množenje: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 1 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Kod binarnog množenja delimičan proizvod pomiče se za jedno mesto udesno po navedenim pravilima, a zatim se proizvodi saberu

13. 1. Binarna aritmetika

14. 1. Binarna aritmetika

15. 1. Binarna aritmetika d) deljenje: 0 / 0 = nedeljivo 1 / 0 = ∞ 0 / 1 = 0 1 / 1 = 1 Deljenje binarnih brojeva obavlja se na isti način kao i dekadnih. Praktično se deljenje svodi na množenje i oduzimanje.

16. 1. Binarna aritmetika

17. Brojni sistemi, tabela konverzije

18. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu • Problem je nastao, kada je bilo potrebno vršiti kalkulacije sa vrlo velikim i vrlo malim brojevima. Na primer: • 00000000000000.000000000000000009 • 20000000000000000000000.000000000 • Kalkulacije zahtevaju veoma veliki broj cifara ispred i iza decimalnog zareza. • Obzirom da CPU računara ima maksimalno 62 binarne cifre na raspolaganju, ispada da ove brojeve sa primera ne bi mogli sabrati. • Ono što je potrebno, je da se omogući da se brojevi mogu reprezentovati na taj način, da broj cifara po svakom od brojeva ne zavisi od njegove veličine. Ovo je neophodno zbog primene računara u fizici, hemiji i u opšte u naučne svrhe i inžinjeringu.

19. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Brojevi u pokretnom zarezu se predstavljaju kao proizvod MANTISE (f) i stepena broja na EKSPONENT (e)

20. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Opseg vrednosti brojeva je determinisan brojem cifara u eksponentu, dok je preciznost određena brojem cifara u mantisi. Obzirom da ima više načina predstavljanja datog broja, jedna forma je izabrana kao standardna.

21. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Slika prikazuje 7 regiona realnih brojeva

22. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu IEEE Floating Point Standard 754 Do pojave Standarda IEEE 754, svaki proizvođač računara je imao svoju formu zapisa cifara u pokretnom zarezu. Pored toga, proizvođači su koristili različite algoritme u zaokruživanju vrednosti, izračunavanju vrednosti elementarnih funkcija i izvođenju osnovnih aritmetičkih operacija. Zbog toga je, prenosivost numerički intenzivnih programa, između različitih računarskih sistema bila vrlo slaba, često uz razliku u rezultatima izvršavanja takvih programa. IEEE 754 standard propisuje algoritme za operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i izračunavanja kvadratnog korena, kao i načine njihove implementacije (na primer zaokruživanje, ponašanje u graničnim slučajevima,...). Zbog toga, rezultati osnovnih operacija su isti na svim računarima koji podržavaju standard, čime se pojednostavljuje prenošenje programa.

23. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Formati podataka pokretnog zareza Standardni format, 32 bita (single precision) Format dvostruke preciznosti, 64 bita (double precision) Format proširene tačnosti, 80 bita (Extended precision). Ovaj format je predviđen da umanji greške koje nastaju zaokruživanjem.

24. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Format Standardnog zapisa, Single precision

25. 2. Brojni sistemi, brojevi u pokretnom zarezu Sign (1 bit), označava znak broja i to 0 za pozitivne brojeve i 1 za negativne. Eksponent , (8 bita) koristi EXCESS 127 numeraciju za eksponent. Pri tome eksponent može imati vrednosti od -126 do +127. Fraction (23 bita)

26. 3. Algebra logike Algebra je deo matematike u kojoj se izučavaju operacije nad elementima sa određenim svojstvima. Algebra u kojoj postoji ograničeni broj elemenata, naziva se algebra logike. Često se naziva i Bulova algebra, po matematičaru Georg-u Boole-u. Promenljiva u Bulovoj algebri uzima vrednosti iz skupa S={0,1}.

27. 3. Algebra logike Radovi američkog naučnika Šenona 1938. god. ukazali su na praktičnu primenu Bulove algebre u analizi složenih prekidačkih mreža. Funkcija definisana nad skupom x binarnih promenljivih x = x1, x2, . . . . . . . . . . . . . . , xn koja uzima vrednosti 0 li 1 zove se funkcija algebre logike. Elementarne funkcije algebre logike su: negacija, konjukcija, disjunkcija i ekvivalencija. Funkcija negacije je funkcija koja dobije vrednost 1, ako je vrednost ulaza 0, i vrednost 0 ako je vrednost ulaza 1.

28. 3. Algebra logike f1 (x) = (crta iznad x čita se “ne x” ili “x crta”). Tablično to možemo prikazati:

29. 3. Algebra logike

30. 3. Algebra logike Za funkciju negacije važi = x što se može dokazati tablično: Fizički objekt čiji je matematički model ekvivalentan s definicijom funkcije negacije zove se NE element.

31. 3. Algebra logike Funkcija konjunkcije je funkcija dva argumenta koja dobije vrednost 1 samo, ako su vrednosti oba ulaza 1. U svim ostalim slučajevima vrednost funkcije je 0. Piše se u obliku: i naziva se logičko množenje ili “I” funkcija. Uzima vrednosti prema tablici:

32. 3. Algebra logike Fizički objekt ekvivalentan za funkciju konjunkcije naziva se I element.

33. 3. Algebra logike Funkcija disjunkcije dobije vrednost 0 samo, ako su vrednosti oba ulaza nule, a u svim drugim slučajevima vrednost 1. Piše se: i često se naziva i logičko sabiranje ili “ILI” funkcija. Uzima vrednost prema tablici:

34. 3. Algebra logike Na pravilima algebre logike izrađuju se logički sklopovi s više ulaza te različitim kombinacijama elemenata (I-element, ILI-element, NE-element).

35. 3. Algebra logike Funkcija ekvivalencije je funkcija koja dobije vrednost 1 samo ako su vrednosti ulaza jednake.

36. 3. Algebra logike

37. 3. Algebra logike Na pravilima algebre logike izrađuju se logički sklopovi s više ulaza te različitim kombinacijama elemenata (I-element, ILI-element, NE-element).

38. 3. Algebra logike

39. 3. Algebra logike

40. 3. Algebra logike

41. 3. Algebra logike

42. Komponente računara Odgovarajući nazivi delova računarskog sistema preuzeti su iz engleskog jezika. Hardver (Hardware) predstavlja celokupni fizički deo, čiji se sastavni delovi mogu opipati. Glavne hardverske komponente računarskog sistema su: ulazne jedinice, centralna jedinica, izlazne jedinice, spoljne memorije, komunikacije.

43. Komponente računara , ulazne jedinice Preko ulaznih jedinica, učitavaju se podaci sa nosača podataka u memoriju računara. Osnovna uloga ovih jedinica je transformisanje podataka, iz oblika u kome se nalaze na spoljnom nosaču u oblik u kome ih pamti memorija računara. Po načinu na koji su povezani s centralnom jedinicom dele se na onlajn (on-line) i oflajn (off-line) jedinice.

44. Komponente računara , ulazne jedinice • Onlajn jedinice rade pod direktnom kontrolom upravljačke jedinice, prenoseći podatke s ulaza u memoriju. Oflajn jedinice rade neovisno od upravljačke jedinice. Obično se podaci prenose fizički do sistema za obradu podataka. • Svaka od jedinica koristi poseban medij kao nosača podataka, pri čemu moraju biti zadovoljeni sledeći uslovi: • podatak mora biti mašinski čitljiv, • podaci moraju biti u definisanom rasporedu, i • nosioci podataka moraju biti normirani.

45. Komponente računara , ulazne jedinice • Prilikom opisa ulaznih jedinica biće opisani i pripadajući nosači podataka. Najpoznatije ulazne jedinice su: • čitači bušenih kartica, • čitači papirnih traka, • optički čitači obeleženih znakova, • optički čitači znakova, • koordinatni čitači, • disketne – jedinice, • terminali,...

46. Komponente računara , ulazne jedinice Razlikujemo ulazne podatke: 1. Koje preuzimamo i kontrolišemo na ulazu na obradu ili memorisanje u organizovanom obliku na spoljnim memorijama (diskovi, trake, diskete), te 2. Ulazne podatke koji se nalaze pripremljeni za obradu (diskete, trake), ili organizovani za stalni pristup za obradu i korišćenje (disk, traka), te 3. Povremeni pristup (trake, disketa). Pojam podatak ovde ima šire značenje: kao ulazni podatak podrazumevamo tekst, sliku, brojne vrednosti, znak, naredbe programa.

47. Komponente računara , ulazne jedinice • Ovde će biti objašnjen unos alfanumeričkih i numeričkih podataka (slova, posebni znaci i brojevi) kao organizovanih podataka za memorisanje odnosno zapis i obradu. Unos ove vrste podataka može biti optičkim prepoznavanjem znakova i unos direktnim radom korisnika putem tastatura. Unos direktnim radom korisnika može biti organizovan na tri načina: • upis na formatizovane obrasce s naknadnim unosom, • unos s originalnih dokumenata s delimično formatizovanih polja, • direktni unos preko formatizovanih maski na ekranu terminala.

48. Komponente računara , ulazne jedinice Unos podataka s formatizovanih (unapred po rasporedu kolona i redova pripremljenih obrazaca, s definisanim početkom i završetkom svakog polja) primenjivao se kod masovnog unosa podataka. Ove obrasce popunjavaju korisnici i dostavljaju na unos u jedinice za unos kod korisnika (disketne jedinice, terminal) ili u računskom centru u odeljenju za unos podataka u kojem rade operateri unosa podataka.

49. Komponente računara , ulazne jedinice • Dobra strana ovako organizovanog unosa podataka je velika brzina unosa podataka, rade ih obučeni kadrovi za unos, koji obavljaju unos, naročito kod obrazaca koji se ponavljaju, veoma velikom brzinom. Nedostaci ovog načina unosa su: • obavlja se prepis podataka s originalnih dokumenata na obrazac za unos što zahteva više vremena i uzrokuje pogreške, • korisnik je udaljen od podataka te nema mogućnost intervencije (ispravke) kod samog unosa, • moguće je gubljenje pojedinih slogova, • potrebne su posebne tabele za upis informativnih oznaka, • ispravke grešaka kod upisa i unosa obavljaju se sporo.

50. Komponente računara , ulazne jedinice Rad programa s ovako učitanim podacima obavlja se programskom proverom identifikacije sloga tako što svaki ulazni slog dobije identifikaciju u polju vrste sloga VS ili raniji kod bušenih kartica VK (vodeća kartica). U cilju smanjenja grešaka identifikacione oznake sloga ispisuju se unapred na obrascima za unos podataka. Ovaj način unosa koristio se kod masovne obrade podataka u vreme korišćenja računskih centara ili odeljenja za usluge obrade podataka u bankama, javnim upravama i preduzećima. Danas se ovakva organizacija unosa sve manje koristi.