Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I, m. kohlmann Willkommen zur Stochastik an Ihrer Uni Konstanz im SS 11

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Organisation: Vorlesung Mo14.00h in R512 und Di 8.30h in M629 Skriptum auf meiner homepage, woraus wir etwa die ersten 120 Seiten besprechen werden (s.u.) in den nächsten sieben Vorlesungswochen: „Wort zum Sonntag“: Nacharbeiten der Vorlesung, Teilnahme an Übungen, Veranschaulichungen durch applets, …. und Freude an der Sache ! Bitte schicken Sie mir eine email, damit ich Sie regelmäßig updaten kann webpage der Vorlesung (Folien, weitere Erläuterungen, Mitteilungen… ) erhalten Sie dann per email. Und wenn Sie Probleme – Vorschläge - … haben : schreiben Sie mir oder sprechen Sie nach der Vorlesung mit mir

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Übungen Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungsgruppen ist Voraussetzung zur Zulassung zur Klausur Einteilung

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Übungen • Die ersten Ü-aufgaben sind bereits auf dem Netz • Abgabe: Mo 18.04. 12h in Briefkästen auf F4 • (Die Ü-gruppenleiter richten diese ein (Janssen)) • 3) Die neuen Ü-aufgaben erscheinen immer am Wochenende, spätestens montags • 4) Die Übungen beginnen in der nächsten Woche ab 18.04. • 5) Die Einteilung in die Ü-gruppen finden Sie auf der Seite „exercises“ spätestens am Sonntag mit Raumangabe • 6) Ein Wechsel der Ü-gruppe ist nur im Tausch und nach Absprache mit dem Ü-gruppenleiter möglich

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I homepage Struktur Stochastik I BA Teil I bis Anfang Juni 1.Einheit: Motivation für die Kolmogorovschen Axiome zur Einführung des Maßraums (Ω,A,P) [topologischer Raum] Eigenschaften, Rechenregeln, Spezialfälle 2. Einheit: Kolmogorovsche Axiome, Diskussion der ~, Beispiele diskreter und nicht diskreter Maßräume

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 3. Einheit: Reduktion von Modellen: bedingte W-keit Abbildungen zwischen Maßräumen (Ω,A) (Ω‘,A‘) =“Zufallsvariablen“ [Abbildungen zw. topol. Räumen, Stetigkeit] Verteilungsfunktionen induziert durch Maß und Zufallsvariable Zusammensetzung von Experimenten

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 4. Einheit: Erwartungwert, Varianz, Kovarianz als charakteristische Größen von Zufallsvariablen [Integral von stetigen Abbildungen] Bedingter Erwartungswert als Verallgemeinerung eines Integrals bezüglich der bedingten W-keit 5. Einheit: Konvergenzbegriffe von Zufallsvariablen [Konvergenzen stetiger Funktionen] Gesetze der großen Zahlen (auch zur Rechtfertigung der Kolmogorovschen Axiomatik)

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Struktur: 6. Einheit: Charakteristische Funktionen [Fourier Transformierte] Konvergenz von Verteilungsfunktionen Zentrale Grenzwertsätze In eckigen Klammern sind die aus der Analysis bekannten analogen Begriffe angegeben, damit Sie auch ohne die neuen Begriffe zu kennen einen Eindruck haben, was gemacht wird. Man sollte diese Analogien jedoch sehr bedacht einsetzen.

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten Vor 20000 JAHREN. Würfel auf Felsmalereien in Jabiru um 00 die alten Römer: alea iacta 15./16. Jh. Erste Beschäftigungen mit speziellen wahrscheinlichkeitstheoretische Aufgaben durch Luca Pacioli (1445-um1514), NicoloTartaglia(um1499-1557), Hieronimo Cardano (1501-1576) und Galileo Galilei (1564-1642) 1654 Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Beschäftigung mit Glücksspielerproblemen durch Chevaliere de Méré und dem Mathematiker Blaise Pascal (1623-1662) Korrespondenz zwischen den Mathematikern Pierre Fermat (1601-1665) und Blaise Pascal (1623-1662) Herauskristallisierung der Begriffe Wahrscheinlichkeit und mathematische Erwartung Anfang 17. Jh. Beschäftigung Graunts mit der Sterbewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom Lebensalter Aufstellung von Tabellen für Rentenzahlungen durch Johan De Witt (1625-1672) und Edmund Halley (1656-1742) Nutzung wahrscheinlichkeitstheoretischer Gedanken in der Histographie und der Fehlerrechnung durch Isaac Newton (1643-1727) Würfel

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten 1665 Befassung mit geometrischen Wahrscheinlichkeiten in einem unveröffentlichten Manuskript 1655 Verfassung des Lehrbuches der Wahrscheinlichkeitsrechnung "De ratiociniis in ludo aleae" (Über Berechnungen beim (Würfelspiel) durch Christian Huygens (1629-1695) 1713 Erscheinen des Buches "Ars coniectandi" (Kunst des Vermutens) von Jacob Bernoulli (1654 - 1705) 1718 Publizierung des Buches "The doctrine of chances" von Abraham de Moivre (1667-1754) 1730 "Miscellanea analytica" (Analytische Beiträge), Abraham de Moivre 1733 Ableitung der Nominal-Verteilung der Wahrscheinlichkeit als Näherung der Binominalverteilung und Aufstellung einer zur Stirlingschen Fomel äquivalenten Formel durch Abraham de Moivre (1667-1754) 1740 Angabe einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Aufgabe durch Th. Simpson (Simpsonsches Verteilungsgesetz) Verbindung von theoretische Problemen der Völkerkunde und des Versicherungswesens mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Leonhard Euler (1707-1783) Formulierung des "Petersburger Spiel" von Nikolaus Bernoulli (1695-1726)

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten Mitte 18. Jh. Aufwerfen der Frage nach der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, wenn schon Beobachtungsergebnisse vorliegen, durch Daniel Bernoulli (1700-1782), Lösung hierzu von Thomas Bayes (gest. 1751) 1777 Einführung einer geometrischen Wahrscheinlichkeit durch den französische Naturforscher Graf Comte de Buffon (1707-1788) 1812 Entwicklung der Hauptsätze der Wahrscheinlichkeit durch Laplace in seinem Werk "Théorie analytique des probabilités" zur Mitte des 19. Jh. Stagnation der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Westeuropa ab Mitte des 19. Jh. russische Gelehrte wie Pafnuti L. Tschebyschew (1821-1894), A.A.Markow und A.M. Ljapunow fördern die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Vorbereitungen durch W.J.Bunjakowski Erstes russisches Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung von W.J. Bunjakowski Ab 1918 Entwicklung eine "statistischen Wahrscheinlichkeitstheorie" durch den österreichischen Mathematiker Richard von Mises

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Geschichte und Geschichten 1933 nach dem Vorbild des Axiomensystems für die Geometrie des deutschen Methematikers David Hilbert (1863-1943) wird auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Axiomensystem aufgebaut, das in seiner endgültigen Form von Andrej N. Kolmogorov formuliert wird um 1910 E. Borel verknüpft die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Theorie der reellen Funktion, A.J. Chintschin, A.N. Kolmogoroff, E.E. Slutzki, P. Lévy und A. Lomnicki entwickelten diese Idee in den zwanziger Jahren ab 1920 abschließende Lösungen für klassische Aufgaben, die schon von P.L. Tschebyschew gestellt worden waren, werden gefunden weiter Größen sind in diesem Zusammenhang auch Lindeberg, S.N. Bernstein und W. Feller Ab 1930 Grundlagenschaffung für die Theorie der stochastischen (zufälligen) Prozesse Und das kommt in Stochastik II Stoch Prozess Heute: Anwendungen in Physik (Feynman), der Technik (Nelson) und der Finanzmathematik (ab 1980) (Merton, Black-Scholes

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I • Der Begriff • Tradeology (2007): Stochastics • History • George Lane was the originator of the stochastics in the 1970's. Lane observed that as prices increase in an up trend, closing prices tend to be closer to the upper end of bars and in a down trend closing prices tend to be nearer the lower end of bars. Lane developed stochastics to discern the relationship between the closing price and the high and low of a bar. • (meanwhile corrected) • Die Stochastik (von altgr: στόχαστικὴ τέχνη, (stochastike techne), lat. ars coniectandi, also Kunst des Vermutens, "Ratekunst") ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen. • Mathematische Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten wie zum Beispiel dem Werfen von Würfeln oder Münzen sowie vom Zufall beeinflussten zeitlichen Entwicklungen und räumliche Strukturen. • Was hat das mit der exakten Mathematik zu tun ? Galton Board und random walk Würfel

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Wir unterscheiden also zwischen den Auskommen ωϵΩ des Experiments und den Ereignissen AϵK. Spezielle Ereignisse sind dann die Elementarereignisse {ω}. Bspl: 5 ist ein Auskommen beim Würfelwurf, {5} ist das Ereignis, dass eine 5 fällt. Der Stichprobenraum=Urne ist also die Familie der Auskommen. Die Algebra K ist die Familie der Ereignisse. Je nach Experiment wird (Ω, K) sehr unerschiedlich sein (Bsple)

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Allgemein beachte: ω ϵΩϵK und {ω} ΩϵK P(Ω) (Definition!)

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R mit verschiedenen Erzeugern

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf Rn

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf R ∞

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Algebra auf RT

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Borelschen σ-Algebren auf R, Rn,R, RT anschaulich auf RErzeugendensystem T = {(-∞,a), (a,b], [a,∞)} Borelsche -Algebra B B= σ ( T)) = kleinste sigma_Algebra, die T enthält …………………………………. RnErzeugendensystem Tn= {I1 x I2 …. x In} Ij T Bn = σ ( Tn) ……………………………………… R ∞= Rx Rx .…. Rx .….. = {x: N → R } (a1, …., an, …..) (x(1), … x(n), ….) Erzeugendensystem = T∞ = Urbilder in Raller Rechteckmengen

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Borelschen σ-Algebren auf R, Rn,R ∞, RT R ∞ (x1,x2 ,x3….) → (x1,x2 ) B∞ = σ ( T∞)) …………………………………………. RT ={x: T → R } Erzeugendensystem = T = Urbilder in RT aller Rechteckmengen BT = σ ( T)) RT (xt) → (xt1,xt2 ,….. )

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Die Methode der Konstruktion einer Sigmaalgebra auf den reellen Zahlen (und den Produkten solcher Räume) läßt sich natürlich verallgemeinern: Betrachten wir eine beliebige nichtleere Menge Ω und eine beliebige nichtleere Teilmenge T vonP(Ω), so bezeichnet Ϭ(T) die kleinste Sigmaalgebra, die T enthält. Bspl: Sei A eine Teilmenge von Ω, so ist mit T={A} Ϭ(T)={ ,A, Ac , Ω }

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Einige Eigenschaften

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I N 50 W 13 40 T 5 17 13 30 80=P(N W T) = P(N) + P(W) + P(T) P(N)+P(W)+P(T) – P(N W)-P(N T) – P(W T) +?

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Überprüfen Sie, ob dies formal W-maße auf der entsprechenden Algebra sind ! s.u.

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Buffon1 THE EXPERIMENT

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Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Jetzt müssen wir messen, ob der Abschnitt x länger ist als die Seite des einbeschriebenen Dreiecks Methode2 : Drehe den Kreis, so dass zurück

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Konsequenz: Das W-modell zu einem Experiment ist nicht eindeutig gegeben !

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Binomial hypergeometrisch poisson

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Diverse Verteilungen/Dichten

Department Mathematics-Statistics: Stochastics I Den vollständigen Beweis entnehmen Sie der Vorlesung zur Maßtheorie.

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