TEMA : ESPACIO R n

1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS UNIDAD 3 TEMA :ESPACIO Rn

2. Habilidades: 1. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn. 2. Define un conjunto LI y LD. 3. Define una base de Rn.

3. a V + a V +... + a V n n 1 1 2 2 COMBINACION LINEAL n Dados los vectores V , V , ... , V de R y sean a , a , ... , a escalares . La expresión 1 2 n n 1 2 Se llama combinación linealdeV , V , ... … , V 1 2 n

4. EJEMPLOS: 1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3 , n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

5. y 3 a u u = 3 a - 2 b a b x -2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

6. z ax + by + cz = d y x Ecuación de un plano La gráfica de toda ecuación de primer grado con tres incógnitas (ax+by+cz=d) en el sistema de coordenadas rectangulares XYZ es un plano y viceversa.

7. INDEPENDENCIA LINEAL Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b a Se tiene : a = t b b Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

8. 2. Dados dos vectores no paralelos a y b a b Como ninguno de ellos puede estar en términos del otro como combinación lineal, es decir, son independientes cada uno, se dice que el conjunto {a, b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE

9. c 2 b b 3 a a 3.Dados los vectores a , b y c Donde: c = 3 a + 2 b ó a = - 2/3b+1/3c ó b =- 3/2a+1/2c Como cualquiera de los vectores se puede expresar en términos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a, b, c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

10. b 4.Dadoel conjunto de vectores {a, b, c} contenido en el plano P z a c y P x ¿ Es LI o LD el conjunto de vectores{a, b, c}?

11. b ¿Se podrá expresar el vector b en términos de a y c ? 4. z c a y P x ¿Es LI o LD el conjunto de vectores{a, b, c}?

12. {v , v ,..., v } a v + a v +...+ a v = 0 2 1 k 2 k k 1 1 2 a = a = ... = a = 0 1 1 2 k 2 a v + a v +...+ a v = 0 1 1 2 2 k k INDEPENDENCIA LINEAL n v , v ,..., v : VECTORES DE R , El conjunto 1 2 k se llama LINEALMENTE INDEPENDIENTEsi dada la ecuación entonces y se llamaLINEALMENTE DEPENDIENTE si en al menos un a ino es cero.

13. 1. Sea V ={v1 , v2 ,..., vk }un conjunto de vectores en Rn, donde k > n. Entonces Ves linealmente dependiente. Nota :Un conjunto S de vectores linealmente independientes de Rn contine a lo mas n vectores. 2. Si k = n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es L.I. 3. 0 V Rn V es L.D.

14. BASE DE Rn Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única como combinación lineal de v1, v2 ,..., vk. PROPIEDAD:Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base deRn.

15. TEOREMA Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn} de Rn es una BASE de Rn si: 1.{V1 ,V2 ,…,Vn}es linealmente independiente. 2.{V1 ,V2 ,..,Vn}genera a Rn.

16. Vectores columna • REQUISITOS PARA QUEEL CONJUNTO • DE VECTORES{ V , V ,...,V } SEA UNA • BASE DE R • k=n(número de vectores igual al número de • componentes) • 2. DET(A) = 0 , dondeA= [ v1 , v2 ,.., vn] 1 2 k n